北師大版數(shù)學(xué)初二上冊知識點總結(jié)

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流北師大版數(shù)學(xué)初二上冊知識點總結(jié).精品文檔.初二上冊知識點總結(jié)勾股定理（1） 兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=1，則外接圓的半徑R=2+1，

2、所以r：R=1：2+1（1） 勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的變形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2（4）由于a2+b2=c2a2，所以ca，同理cb，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊（1） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形說明：勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用

3、是判斷一個三角形是不是直角三角形必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角然后進一步結(jié)合其他已知條件來解決問題注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2 的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)說明：三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2=c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度如：3，4，

4、5；5，12，13；8，15，16；7，24，25勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊實數(shù)（1） 、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù) 如圓周率、2的平方根等（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：把有理數(shù)和無

5、理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4=4.0，13=0.33333而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2=1.414213562所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能（3）學(xué)習(xí)要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：開方開不盡的數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)，含有的數(shù)，如分數(shù)2是無理數(shù)，因為是無理數(shù)1） 定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根 一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根 （2）求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方 一個正數(shù)a的正的平方根表示為“a”，負的平方根表示為“-a” 正數(shù)a的正的

6、平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作a零的算術(shù)平方根仍舊是零（1） 算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根記為a（2）非負數(shù)a的算術(shù)平方根a 有雙重非負性：被開方數(shù)a是非負數(shù)；算術(shù)平方根a 本身是非負數(shù)（3）求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根時，可以借助乘方運算來尋找（1） 非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負性（2）利用算術(shù)平方根的非負性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，開方的結(jié)果也是非負數(shù)列出不等式求解非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值問題（1） 定義：如果一個數(shù)的立

7、方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根這就是說，如果x3=a，那么x叫做a的立方根記作：a3（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)即任意數(shù)都有立方根（3）求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)注意：符號a3 中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有唯一一個立方根（1） 任意兩個實數(shù)都可以比較大小正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而?。?）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而小估算無理數(shù)大小要用逼近法思維方

8、法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值1） 實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)數(shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而?。?） 在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離（2）實數(shù)的絕對值：正實數(shù)a的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對

9、值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0（3）實數(shù)a的絕對值可表示為|a|=a（a0）-a（a0），就是說實數(shù)a的絕對值一定是一個非負數(shù)，即|a|0并且有若|x|=a（a0），則x=±a實數(shù)的倒數(shù)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab=1；反之，若ab=1，則a與b互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù)（1） 實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有

10、的順序進行另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用二次根式的定義：一般地，我們把形如（a0）的式子叫做二次根式“”稱為二次根號a（a0）是一個非負數(shù)；（1） 二次根式的基本性質(zhì)：a0； a0（雙重非負性）（a）2=a （a0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）a2=a（a0）（算術(shù)平方根的意義）（2）二次根式的化簡：利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡ab=ab ab=ab（3）化簡二次根式的步驟：把被開方數(shù)分解因式；利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（

11、或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等（1） 積的算術(shù)平方根性質(zhì)：ab=ab（a0，b0）（2）二次根式的乘法法則：ab=ab（a0，b0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：ab=ab（a0，b0

12、）（4）二次根式的除法法則：ab=ab（a0，b0）1） 分母有理化是指把分母中的根號化去（2） 兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式（3） 一個二次根式的有理化因式不止一個同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變（1） 法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變（2）步驟：如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號把不

13、是最簡二次根式的二次根式進行化簡合并被開方數(shù)相同的二次根式（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變（1） 二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用學(xué)習(xí)二次根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點：與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)

14、，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾圖形的平移與旋轉(zhuǎn)1、 平移的概念在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移2、平移是指圖形的平行移動，平移時圖形中所有點移動的方向一致，并且移動的距離相等3、確定一個圖形平移的方向和距離，只需確定其中一個點平移的方向和距離（1） 平移的條件 平移的方向、平移的距離（2）平移的性質(zhì)把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同新圖形中的每一點

15、，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等（1） 確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離（1） 旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某一個點O旋轉(zhuǎn)一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP，那么這兩個點叫做對應(yīng)點（2）注意：旋轉(zhuǎn)是圍繞一點旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這時判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵 旋轉(zhuǎn)中心是點而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向（1） 旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某一個點O旋轉(zhuǎn)一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角

16、叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP，那么這兩個點叫做對應(yīng)點（2）注意：旋轉(zhuǎn)是圍繞一點旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這時判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵 旋轉(zhuǎn)中心是點而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向（1） 旋轉(zhuǎn)對稱圖形 如果某一個圖形圍繞某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360°）后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形（2）常見的旋轉(zhuǎn)對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等（1） 旋轉(zhuǎn)圖形的作法：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋

17、轉(zhuǎn)后的圖形（2）旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等（1） 平移變換：在平移變換下，對應(yīng)線段平行且相等兩對應(yīng)點連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等（2）軸對稱變換：在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分（3）旋轉(zhuǎn)變換：在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角（4）位似變換：在位似變換下，一對位似對應(yīng)點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上，且保持順序，即共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線；對應(yīng)線段的比等于位似比的絕對值，對應(yīng)圖形面積的

18、比等于位似比的平方；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應(yīng)點；兩對應(yīng)圓相切時切點為位似中心四邊形性質(zhì)探索（1） 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形符號語言：ABDC，ADBC四邊行ABCD是平行四邊形（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形符號語言：AB=DC，AD=BC四邊行ABCD是平行四邊形（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形符號語言：ABDC，AB=DC四邊行ABCD是平行四邊形（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形符號語言：ABC=ADC，DAB=DCB四邊行ABCD是平行四邊形（5

19、）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形符號語言：OA=OC，OB=OD四邊行ABCD是平行四邊形平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙希ㄟ^證明四邊形是平行四邊形達到上述目的運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四邊形的性質(zhì)和判定去

20、解決問題（1） 菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（2）菱形的性質(zhì) 菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)； 菱形的四條邊都相等； 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角； 菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線（3）菱形的面積計算 利用平行四邊形的面積公式 菱形面積=12ab（a、b是兩條對角線的長度）菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；四條邊都相等的四邊形是菱形幾何語言：AB=BC=CD=DA四邊形ABCD是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）幾何語言：ACBD，四邊形

21、ABCD是平行四邊形平行四邊形ABCD是菱形（1） 依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形（1） 性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三

22、角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形該定理可一用來判定直角三角形（1） 矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）矩形的性質(zhì) 平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有； 角：矩形的四個角都是直角； 邊：鄰邊垂直； 對角線：矩形的對角線相等； 矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角線的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（1） 矩形的判定：矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；有三個角

23、是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形（1） 關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認識其特殊性：一個內(nèi)角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等同時平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題（2）下面的結(jié)論對于證題也是有用的：OAB、OBC都是等腰三角形；OA

24、B=OBA，OCB=OBC；點O到三個頂點的距離都相等（1） 正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形（2）正方形的性質(zhì) 正方形的四條邊都相等，四個角都是直角； 正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角； 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì) 兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸正方形的判定方法：先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定（1） 梯形的定義：一組對邊平行，另

25、一組對邊不平行的四邊形叫做梯形梯形中平行的兩邊叫梯形的底，其中較短的底叫上底，不平行的兩邊叫梯形的腰，兩底的距離叫梯形的高（2）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形（3）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形邊：有一條腰與底邊垂直，另一條腰不垂直角：有兩個內(nèi)角是直角過不是直角的一個頂點作梯形的高，則把直角梯形分割成一個矩形和直角三角形這是常用的一種作輔助線的方法（1） 性質(zhì)：等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過上下底的中點的直線；等腰梯形同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等（2）由等腰梯形的性質(zhì)可知，如果過上底的兩個頂點分別作下底的兩條

26、高，可把等腰梯形分成矩形和兩個全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是軸對稱圖形，而一般的梯形不具備這個性質(zhì)（1） 利用定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形（3）對角線：對角線相等的梯形是等腰梯形判定一個梯形是否為等腰梯形，主要判斷梯形的同一底上的兩個角是否相等，可以通過添加輔助線把梯形底上的兩個角平移到同一個三角形中，利用三角形來證明角的關(guān)系注意：對角線相等的梯形是等腰梯形這個判定方法不可以直接應(yīng)用（1） 中位線定義：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線（2）梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半（3）梯形面積與中位線的關(guān)系：梯

27、形中位線的2倍乘高再除以2就等于梯形的面積，即梯形的面積=12×2×中位線的長×高=中位線的長×高（4）中位線在關(guān)于梯形的各種題型中都是一條得天獨厚的輔助線（1） 多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側(cè)每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形（5

28、）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心 常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）任意多邊形（1） 多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線（2）n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線從n個頂點出發(fā)引出（n-3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為：n（n-3）2（n3，且n為整數(shù)）（3）對多邊形對角線條數(shù)公：n（n-3）2的理解：n邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連成對角線，故可連出（n-3）條共有n個頂

29、點，應(yīng)為n（n-3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2（4）利用以上公式，求對角線條數(shù)時，直接代入邊數(shù)n的值計算，而計算邊數(shù)時，需利用方程思想，解方程求n（1） 多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）80 （n3）且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n-3）條對角線，將n邊形分割為（n-2）個三角形，這（n-2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法（2）多邊形的外角和等于360度多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，

30、其外角和永遠為360°借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以上結(jié)論：外角和=180°n（n-2）180°=360°（1） 平面圖形鑲嵌的定義：用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌（2）正多邊形鑲嵌有三個條件限制：邊長相等；頂點公共；在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360°，則說明能夠進行平面鑲嵌，反之則不能（3）單一正多邊形的鑲嵌：正三角形，正四邊形，正六邊形（1） 中心對稱的定

31、義 把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點（2）中心對稱的性質(zhì) 關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合； 關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分（1） 定義 把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心注意：中心對稱圖形和中心對稱不同，中心對稱是兩個圖形之間的關(guān)系，而中心對稱圖形是指一個圖形自身的特點，這點應(yīng)注意區(qū)分，它們性質(zhì)相同，應(yīng)用方法相同（

32、2）常見的中心對稱圖形平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等位置的確定平面內(nèi)特殊位置的點的坐標特征（1）各象限內(nèi)點P（a，b）的坐標特征：第一象限：a0，b0；第二象限：a0，b0；第三象限：a0，b0；第四象限：a0，b0（2）坐標軸上點P（a，b）的坐標特征：x軸上：a為任意實數(shù)，b=0；y軸上：b為任意實數(shù)，a=0；坐標原點：a=0，b=0（3）兩坐標軸夾角平分線上點P（a，b）的坐標特征：一、三象限：a=b；二、四象限：a=-b（1） 我們把有順序的兩個數(shù)a和b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作（a，b）（2）平面直角坐標系的相關(guān)概念建立平面直角坐標系的方法：在同一平面內(nèi)畫；兩條有公共原點且

33、垂直的數(shù)軸各部分名稱：水平數(shù)軸叫x軸（橫軸），豎直數(shù)軸叫y軸（縱軸），x軸一般取向右為正方向，y軸一般取象上為正方向，兩軸交點叫坐標系的原點它既屬于x軸，又屬于y軸（3）坐標平面的劃分建立了坐標系的平面叫做坐標平面，兩軸把此平面分成四部分，分別叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限坐標軸上的點不屬于任何一個象限（4）坐標平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的關(guān)系1、 點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：到x軸的距離與縱坐標有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關(guān)；距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作

34、垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題兩點間的距離公式：設(shè)有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點間的距離為說明：求直角坐標系內(nèi)任意兩點間的距離可直接套用此公式（1） 關(guān)于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點P的坐標是（x，-y）（2）關(guān)于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點P的坐標是（-x，y）關(guān)于原點對稱的點的坐標特點（1）兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關(guān)

35、于原點O的對稱點是P（-x，-y）（2）關(guān)于原點對稱的點或圖形屬于中心對稱，它是中心對稱在平面直角坐標系中的應(yīng)用，它具有中心對稱的所有性質(zhì)但它主要是用坐標變化確定圖形注意：運用時要熟練掌握，可以不用圖畫和結(jié)合坐標系，只根據(jù)符號變化直接寫出對應(yīng)點的坐標（1） 關(guān)于x軸對稱 橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)（2）關(guān)于y軸對稱 縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)（3）關(guān)于直線對稱 關(guān)于直線x=m對稱，P（a，b）P（2m-a，b） 關(guān)于直線y=n對稱，P（a，b）P（a，2n-b）（1） 平移變換與坐標變化 向右平移a個單位，坐標P（x，y）P（x+a，y） 向左平移a個單位，坐標P（x，y）P（x-a，y）

36、 向上平移b個單位，坐標P（x，y）P（x，y+b） 向下平移b個單位，坐標P（x，y）P（x，y-b）（2）在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減）（1） 關(guān)于原點對稱的點的坐標 P（x，y）P（-x，-y）（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標 圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45

37、6;，60°，90°，180°一次函數(shù)（1） 變量和常量的定義：在一個變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量（2）方法：常量與變量必須存在于同一個變化過程中，判斷一個量是常量還是變量，需要看兩個方面：一是它是否在一個變化過程中；二是看它在這個變化過程中的取值情況是否發(fā)生變化；常量和變量是相對于變化過程而言的可以互相轉(zhuǎn)化；不要認為字母就是變量，例如是常量函數(shù)的定義：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量說明：對于函數(shù)概念的理解：有兩個變量；一個變量的數(shù)值隨著另一個

38、變量的數(shù)值的變化而發(fā)生變化；對于自變量的每一個確定的值，函數(shù)值有且只有一個值與之對應(yīng)，即單對應(yīng)用來表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關(guān)系式注意：函數(shù)解析式是等式函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個字母表示自變量的函數(shù)函數(shù)的解析式在書寫時有順序性，列y=x+9時表示y是x的函數(shù)，若寫成x=-y+9就表示x是y的函數(shù)自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達式都有意義當(dāng)表達式的分母不含有自變量時，自變量取全體實數(shù)例如y=2x+13中的x當(dāng)表達式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零例如y=x+2x-1當(dāng)函數(shù)的表達式是偶次根式時，自變量的取值范圍必須使被開

39、方數(shù)不小于零對于實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達式有意義外，還要保證實際問題有意義函數(shù)值是指自變量在取值范圍內(nèi)取某個值時，函數(shù)與之對應(yīng)唯一確定的值注意：當(dāng)已知函數(shù)解析式時，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；當(dāng)已知函數(shù)解析式，給出函數(shù)值時，求相應(yīng)的自變量的值就是解方程；當(dāng)自變量確定時，函數(shù)值是唯一確定的但當(dāng)函數(shù)值唯一確定時，對應(yīng)的自變量可以是多個函數(shù)的圖象定義對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每一對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形就是這個函數(shù)的圖象注意：函數(shù)圖形上的任意點（x，y）都滿足其函數(shù)的解析式；滿足解析式的任意一對x、y的值，所對應(yīng)的點一定在函數(shù)圖象

40、上；判斷點P（x，y）是否在函數(shù)圖象上的方法是：將點P（x，y）的x、y的值代入函數(shù)的解析式，若能滿足函數(shù)的解析式，這個點就在函數(shù)的圖象上；如果不滿足函數(shù)的解析式，這個點就不在函數(shù)的圖象上函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖（1） 一次函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx+b（k0，k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)（2）注意：又一次函數(shù)的定義可知：函數(shù)為一次函數(shù)其解析式為y=kx+b（k0，k、b是常數(shù)）的形式一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：k0；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項

41、b可以為任意實數(shù)一般情況下自變量的取值范圍是任意實數(shù)若k=0，則y=b（b為常數(shù)），此時它不是一次函數(shù)（1） 正比例函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)注意：正比例函數(shù)的定義是從解析式的角度出發(fā)的，注意定義中對比例系數(shù)的要求：k是常數(shù)，k0，k是正數(shù)也可以是負數(shù)（2）正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k0），我們通常稱之為直線y=kx當(dāng)k0時，直線y=kx依次經(jīng)過第三、一象限，從左向右上升，y隨x的增大而增大；當(dāng)k0時，直線y=kx依次經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，y隨x的增大而減?。?）“兩點法”畫正比例函數(shù)的圖象：經(jīng)過

42、原點與點（1，k）的直線是y=kx（k是常數(shù)，k0）的圖象根據(jù)實際問題確定一次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是一次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運用幾何知識建立量與量的等式（1） 一次函數(shù)的圖象的畫法：經(jīng)過兩點（0，b）、（-bk，0）或（1，k+b）作直線y=kx+b注意：使用

43、兩點法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點，而要根據(jù)具體情況，所選取的點的橫、縱坐標盡量取整數(shù)，以便于描點準確一次函數(shù)的圖象是與坐標軸不平行的一條直線（正比例函數(shù)是過原點的直線），但直線不一定是一次函數(shù)的圖象如x=a，y=b分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是一次函數(shù)的圖象（2）一次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系：直線y=kx+b，可以看做由直線y=kx平移|b|個單位而得到當(dāng)b0時，向上平移；b0時，向下平移注意：如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；兩條直線相交，其交點都適合這兩條直線一次函數(shù)的性質(zhì)：k0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；

44、k0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降由于y=kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸由于y=kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸k0，b0y=kx+b的圖象在一、二、三象限；k0，b0y=kx+b的圖象在一、三、四象限；k0，b0y=kx+b的圖象在一、二、四象限；k0，b0y=kx+b的圖象在二、三、四象限一次函數(shù)y=kx+b，（k0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線它與x

45、軸的交點坐標是（-bk，0）；與y軸的交點坐標是（0，b）直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b直線y=kx+b，（k0，且k，b為常數(shù)）關(guān)于x軸對稱，就是x不變，y變成-y：-y=kx+b，即y=-kx-b；（關(guān)于X軸對稱，橫坐標不變，縱坐標是原來的相反數(shù)）關(guān)于y軸對稱，就是y不變，x變成-x：y=k（-x）+b，即y=-kx+b；（關(guān)于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標是原來的相反數(shù)）關(guān)于原點對稱，就是x和y都變成相反數(shù)：-y=k（-x）+b，即y=kx-b（關(guān)于原點軸對稱，橫、縱坐標都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)）待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解

46、析式時，先設(shè)y=kx+b；（2）將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進而寫出函數(shù)解析式注意：求正比例函數(shù)，只要一對x，y的值就可以，因為它只有一個待定系數(shù)；而求一次函數(shù)y=kx+b，則需要兩組x，y的值直線y=kx+b，（k0，且k，b為常數(shù)），當(dāng)k相同，且b不相等，圖象平行；當(dāng)k不同，且b相等，圖象相交；當(dāng)k，b都相同時，兩條線段重合（1）兩條直線的交點問題兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解（2）兩條直線的平行問題若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同例如：若直線y1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2平行，那么k1=k21、 分段函數(shù)問題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實際2、函數(shù)的多變量問題解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù)3、概括整合（1）簡單的一次函數(shù)問題：建立函數(shù)模型的方法；分段函數(shù)思想的