2021新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.1平面向量及其線性運(yùn)算6.1.1向量的概念課件新人教B版必修第二冊

1、第六章平面向量初步 6.1 平面向量及其線性運(yùn)算6.1.1向量的概念 必備知識必備知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)1.1.向量的定義與表示向量的定義與表示(1)(1)定義定義: :既有既有_又有又有_的量的量. .(2)(2)表示方法表示方法: :幾何表示法幾何表示法: :用以用以a a為始點為始點, ,以以b b為終點作為終點作_._.導(dǎo)思導(dǎo)思1.1.向量是如何定義的向量是如何定義的? ?如何表示向量如何表示向量? ?2.2.常見的特殊向量有哪些常見的特殊向量有哪些? ?又是如何定義的又是如何定義的? ?大小大小方向方向有向線段有向線段ab 字母表示法字母表示法: :在印刷時在印刷時, ,通常用加粗的通

2、常用加粗的_如如a, ,b, ,c等來表示向量等來表示向量, ,在書寫時在書寫時, ,可寫成帶箭頭的小寫字母如可寫成帶箭頭的小寫字母如 ,.,.(3)(3)向量的模向量的模: :向量的大小也稱為向量的長度或模向量的大小也稱為向量的長度或模, ,如如a, , 的模分別記作的模分別記作| |a| |, ,| |.| |.a b c ， ，ab ab 斜體小寫字母斜體小寫字母【思考思考】(1)(1)定義中的定義中的“大小大小”與與“方向方向”分別描述了向量的哪方面的特性分別描述了向量的哪方面的特性? ?只描述其中只描述其中一個方面可以嗎一個方面可以嗎? ?提示提示: :向量不僅有大小向量不僅有大小,

3、 ,而且有方向而且有方向. .大小是代數(shù)特征大小是代數(shù)特征, ,方向是幾何特征方向是幾何特征. .看一個看一個量是否為向量量是否為向量, ,就要看它是否具備了大小和方向兩個要素就要看它是否具備了大小和方向兩個要素, ,二者缺一不可二者缺一不可. .(2)(2)由向量的幾何表示方法我們該如何準(zhǔn)確地畫出向量由向量的幾何表示方法我們該如何準(zhǔn)確地畫出向量? ?提示提示: :要準(zhǔn)確畫出向量要準(zhǔn)確畫出向量, ,應(yīng)先確定向量的起點應(yīng)先確定向量的起點, ,再確定向量的方向再確定向量的方向, ,最后根據(jù)向量最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點的大小確定向量的終點. .2.2.特殊向量的定義特殊向量的定義(1)(1)

4、定義定義特殊向量特殊向量定義定義零向量零向量始點和終點始點和終點_的向量稱為零向量的向量稱為零向量, ,記作記作0. .單位向量單位向量長度長度( (或?；蚰? )為為_的向量稱為單位向量的向量稱為單位向量. .相等向量相等向量大小大小_且方向且方向_的向量稱為相等向量的向量稱為相等向量. .向量向量a與與b相等相等, ,記作記作a= =b. .平行向量平行向量或共線向或共線向量量方向方向_的非零向量稱為平行向量的非零向量稱為平行向量, ,也稱為共線向量也稱為共線向量. .向量向量a平行于平行于b, ,記作記作ab. .規(guī)定規(guī)定_平行于任何向量平行于任何向量. .相同相同1 1相等相等相同相同

5、相同或相反相同或相反零向量零向量(2)(2)本質(zhì)本質(zhì): :注意構(gòu)成向量的兩個基本要素注意構(gòu)成向量的兩個基本要素: :大小與方向大小與方向. .(3)(3)應(yīng)用應(yīng)用: :利用向量的大小與方向判斷向量的相等與共線問題利用向量的大小與方向判斷向量的相等與共線問題. .【思考思考】(1)0(1)0與與0相同嗎相同嗎? ?0是不是沒有方向是不是沒有方向? ?提示提示: :0 0與與0不同不同,0,0是一個實數(shù)是一個實數(shù), ,0是一個向量是一個向量. .0有方向有方向, ,其方向是任意的其方向是任意的. .(2)(2)若若a= =b, ,則兩向量在大小與方向上有何關(guān)系則兩向量在大小與方向上有何關(guān)系? ?提

6、示提示: :若若a= =b, ,意味著意味著| |a|=|=|b|,|,且且a與與b的方向相同的方向相同. .(3)“(3)“向量平行向量平行”與與“幾何中的平行幾何中的平行”一樣嗎一樣嗎? ?提示提示: :向量平行與幾何中的平行不同向量平行與幾何中的平行不同, ,向量平行包括基線重合的情況向量平行包括基線重合的情況, ,故也稱向故也稱向量共線量共線. .【基礎(chǔ)小測基礎(chǔ)小測】1.1.辨析記憶辨析記憶( (對的打?qū)Φ拇颉啊薄啊? ,錯的打錯的打“”)”)(1)(1)兩個有共同起點兩個有共同起點, ,且長度相等的向量且長度相等的向量, ,它們的終點相同它們的終點相同. .( () )(2)(2)任

7、意兩個單位向量都相等任意兩個單位向量都相等. .( () )(3)(3)平行向量的方向相同或相反平行向量的方向相同或相反. .( () )提示提示: :(1)(1). .兩個有共同起點兩個有共同起點, ,且長度相等的向量且長度相等的向量, ,方向不一定相同方向不一定相同, ,其終點也其終點也不一定相同不一定相同. .(2)(2). .任意兩個單位向量只有長度相等任意兩個單位向量只有長度相等, ,方向不一定相同方向不一定相同, ,故不一定相等故不一定相等. .(3).(3).由平行向量的定義可知由平行向量的定義可知. .2.2.下列物理量下列物理量: :質(zhì)量質(zhì)量; ;速度速度; ;位移位移; ;

8、力力; ;加速度加速度; ;路程路程; ;密度密度. .其中不其中不是向量的有是向量的有( () )a.1a.1個個b.2b.2個個c.3c.3個個d.4d.4個個【解析解析】選選c.c.既有大小既有大小, ,又有方向又有方向, ,是向量是向量; ;只有大小只有大小, ,沒有方向沒有方向, ,不是向量不是向量. .3.(3.(教材二次開發(fā)教材二次開發(fā): :例題改編例題改編) )設(shè)點設(shè)點o o是正方形是正方形abcdabcd的中心的中心, ,則下列結(jié)論錯誤的是則下列結(jié)論錯誤的是( () )a. a. b. b. c. c. 與與 共線共線d. d. aooc bo db ab cd aobo 【

9、解析解析】選選d.d.如圖如圖, ,因為因為 與與 方向相同方向相同, ,長度相等長度相等, ,所以所以a a正確正確; ;因為因為b,o,db,o,d三點在一條直線上三點在一條直線上, ,所以所以 ,b,b正確正確; ;因為因為abcd,abcd,所以所以 與與 共線共線,c,c正確正確; ;因為因為 與與 方向不同方向不同, ,所以所以 ,d,d錯誤錯誤. .ao oc bo db ab cd ao bo ao bo 關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)合作學(xué)習(xí)類型一向量的概念、零向量與單位向量類型一向量的概念、零向量與單位向量( (數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象) )【題組訓(xùn)練題組訓(xùn)練】1.1.以下選項中以下選項

10、中, ,都是向量的是都是向量的是( () )a.a.正弦線、海拔正弦線、海拔b.b.質(zhì)量、摩擦力質(zhì)量、摩擦力c.c.三角形的邊長、體積三角形的邊長、體積d.d.余弦線、速度余弦線、速度2.2.有下列說法有下列說法: :若向量若向量a與向量與向量b不平行不平行, ,則則a與與b方向一定不相同方向一定不相同; ;若向量若向量 滿足滿足| | |,| | |,且且 與與 同向同向, ,則則 ; ;若若| |a|=|=|b|,|,則則a, ,b的長度相等且方向相同或相反的長度相等且方向相同或相反; ;由于零向量方向不確定故其不能與任何由于零向量方向不確定故其不能與任何向量平行向量平行. .其中正確說法

11、的個數(shù)是其中正確說法的個數(shù)是 ( () )a.1a.1b.2b.2c.3c.3d.4d.4abcd ，ab cd ab cd ab cd 3.3.給出下列命題給出下列命題: :兩個向量兩個向量, ,當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點相同當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點相同, ,終點相同時才相等終點相同時才相等; ;若平面上所有單位向量的起點移到同一個點若平面上所有單位向量的起點移到同一個點, ,則其終點在同一個圓上則其終點在同一個圓上; ;在菱形在菱形abcdabcd中中, ,一定有一定有 若若a= =b, ,b= =c, ,則則a= =c. .其中所有正確命題的序號為其中所有正確命題的序號為_._.ab dc ；【解析解

12、析】1.1.選選d.d.三角函數(shù)線、摩擦力、速度既有大小又有方向三角函數(shù)線、摩擦力、速度既有大小又有方向, ,是向量是向量; ;海拔、海拔、質(zhì)量、三角形的邊長、體積只有大小沒有方向質(zhì)量、三角形的邊長、體積只有大小沒有方向, ,不是向量不是向量. .2.2.選選a.a.對于對于, ,由共線向量的定義由共線向量的定義, ,知兩向量不平行知兩向量不平行, ,方向一定不相同方向一定不相同, ,故正故正確確; ;對于對于, ,因為向量不能比較大小因為向量不能比較大小, ,故錯誤故錯誤; ;對于對于, ,由由| |a|=|=|b|,|,只能說明只能說明a, ,b的長度相等的長度相等, ,確定不了它們的方向

13、確定不了它們的方向, ,故錯誤故錯誤; ;對于對于, ,因為零向量與任一向量平行因為零向量與任一向量平行, ,故錯誤故錯誤. .3.3.兩個向量相等只要模相等且方向相同即可兩個向量相等只要模相等且方向相同即可, ,而與起點和終點的位置無關(guān)而與起點和終點的位置無關(guān), ,故故不正確不正確. .單位向量的長度為單位向量的長度為1,1,當(dāng)所有單位向量的起點在同一點當(dāng)所有單位向量的起點在同一點o o時時, ,終點都在以終點都在以o o為圓為圓心心,1,1為半徑的圓上為半徑的圓上, ,故正確故正確. .顯然正確顯然正確, ,故所有正確命題的序號為故所有正確命題的序號為. .答案答案: :【解題策略解題策略

14、】理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題(1)(1)零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的, ,所有的零向量都相等所有的零向量都相等. .(2)(2)單位向量不一定相等單位向量不一定相等, ,易忽略向量的方向易忽略向量的方向. .提醒提醒: :兩個單位向量的長度相等兩個單位向量的長度相等, ,但這兩個單位向量不一定相等但這兩個單位向量不一定相等. .【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】在下列判斷中在下列判斷中, ,正確的是正確的是( () )長度為長度為0 0的向量都是零向量的向量都是零向量; ;零向量的方向都是相同的零向量的方向都是相同的; ;長度相等的向量長度相等的向量都是單位

15、向量都是單位向量; ;單位向量都是同方向單位向量都是同方向; ;向量向量 與向量與向量 的長度相等的長度相等. .a.a.b.b.c.c.d.d.【解析解析】選選d.d.由定義知正確由定義知正確, ,由于兩個零向量是平行的由于兩個零向量是平行的, ,但不能確定是否但不能確定是否同向同向, ,也不能確定是哪個具體方向也不能確定是哪個具體方向, ,故不正確故不正確. .長度相等的向量其模不一定為長度相等的向量其模不一定為1,1,不正確不正確, ,單位向量的方向不一定相同單位向量的方向不一定相同, ,不正確不正確, ,正確正確. .ba ab 類型二相等向量與共線向量類型二相等向量與共線向量( (直

16、觀想象直觀想象) )【典例典例】如圖如圖, ,四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形, ,四邊形四邊形abdeabde是矩形是矩形. . (1)(1)找出與向量找出與向量 相等的向量相等的向量. .(2)(2)找出與向量找出與向量 共線的向量共線的向量. .ab ab 【思路導(dǎo)引思路導(dǎo)引】(1)(1)找與向量找與向量 相等的向量相等的向量, ,就是找與就是找與 長度相等且方向相長度相等且方向相同的向量同的向量. .(2)(2)找與向量找與向量 共線的向量共線的向量, ,就是找與就是找與 方向相同或相反的向量方向相同或相反的向量. .ab ab ab ab 【解析解析】(1)(1)

17、由四邊形由四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形, ,四邊形四邊形abdeabde是矩形知是矩形知, , 與與 的長度相等且方向相同的長度相等且方向相同, ,所以與向量所以與向量 相等的向量為相等的向量為 . .(2)(2)由題圖可知由題圖可知 與與 方向相同方向相同, , 與與 方向相反方向相反, ,所以與向量所以與向量 共線的向量有共線的向量有 ab dc,ed ab dc,ed dc,ed,ec ab ba,cd,de,ce ab ab dc,ed,ec,ba,cd,de,ce. 【解題策略解題策略】相等向量與共線向量的探求方法相等向量與共線向量的探求方法1.1.尋找相等向量的方

18、法尋找相等向量的方法: :先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量, ,再再確定哪些是同向且共線的確定哪些是同向且共線的. .2.2.尋找共線向量的方法尋找共線向量的方法: :先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段, ,再構(gòu)造同向或反向的向量再構(gòu)造同向或反向的向量. .3.3.共線向量與相等向量的關(guān)系共線向量與相等向量的關(guān)系: :相等向量一定是共線向量相等向量一定是共線向量, ,但共線向量不一定但共線向量不一定是相等向量是相等向量. .若兩向量相等若兩向量相等, ,則兩向量方向相同則兩向量方向相同,

19、,模相等模相等; ;若兩向量共線若兩向量共線, ,則兩向則兩向量方向相同或相反量方向相同或相反. .【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】在等腰梯形在等腰梯形abcdabcd中中,abcd,abcd,對角線對角線acac與與bdbd相交于點相交于點o,efo,ef是過點是過點o o且平行于且平行于abab的的線段線段, ,在所標(biāo)的向量中在所標(biāo)的向量中: : (1)(1)寫出與寫出與 共線的向量共線的向量. .(2)(2)寫出與寫出與 方向相同的向量方向相同的向量. .(3)(3)寫出與寫出與 的模相等的向量的模相等的向量. .(4)(4)寫出與寫出與 相等的向量相等的向量. .ab efobod ，eo 【解析

20、解析】等腰梯形等腰梯形abcdabcd中中,abcdef,ad=bc.,abcdef,ad=bc.(1)(1)題圖中與題圖中與 共線的向量有共線的向量有 (2)(2)題圖中與題圖中與 方向相同的向量有方向相同的向量有 (3)(3)題圖中與題圖中與 的模相等的向量為的模相等的向量為 , ,與與 的模相等的向量為的模相等的向量為 . .(4)(4)題圖中與題圖中與 相等的向量為相等的向量為 . .ab dc eo ofef. ， ， ，efabdc eo of. ， ， ，ob ao od oc eo of 【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示如圖所示, ,四邊形四邊形abcdabcd為邊長為為邊長為3

21、3的正方形的正方形, ,把各邊三等分后把各邊三等分后, ,共有共有1616個交點個交點, ,從從中選取兩個交點作為向量的起點和終點中選取兩個交點作為向量的起點和終點, ,則與則與 平行且長度為平行且長度為2 2 的向量的向量有哪些有哪些?(?(在圖中標(biāo)出相關(guān)字母在圖中標(biāo)出相關(guān)字母, ,寫出這些向量寫出這些向量) )ac 2【解析解析】如圖所示如圖所示, ,滿足與滿足與 平行且長度為平行且長度為2 2 的向量有的向量有 共共8 8個個. .2ac affa ecce gh, ， ， ， ，hg,ij,ji 【拓展延伸拓展延伸】向量平行不具有傳遞性向量平行不具有傳遞性向量的平行不具備傳遞性向量的平

22、行不具備傳遞性, ,即若即若ab, ,bc, ,則未必有則未必有ac. .因為當(dāng)因為當(dāng)b= =0時時, ,a, ,c可可以是任意向量以是任意向量, ,故故a, ,c不一定平行不一定平行; ;只有當(dāng)只有當(dāng)b0b0時時, ,才有才有ab, ,bc, ,則則ac, ,即平即平行可傳遞行可傳遞. .因此在今后學(xué)習(xí)時要特別注意零向量的特殊性因此在今后學(xué)習(xí)時要特別注意零向量的特殊性, ,解答問題時解答問題時, ,一定看一定看清題目中是清題目中是“零向量零向量”, ,還是還是“非零向量非零向量”. .【拓展訓(xùn)練拓展訓(xùn)練】下列命題正確的是下列命題正確的是( () )a.a.向量向量a與與b共線共線, ,向量向

23、量b與與c共線共線, ,則向量則向量a與與c共線共線b.b.向量向量a與與b不共線不共線, ,向量向量b與與c不共線不共線, ,則向量則向量a與與c不共線不共線c.c.向量向量 與與 是共線向量是共線向量, ,則則a,b,c,da,b,c,d四點一定共線四點一定共線d.d.向量向量a與與b不共線不共線, ,則則a與與b都是非零向量都是非零向量ab cd 【解析解析】選選d.d.當(dāng)當(dāng)b= =0時時,a,a不對不對; ;如圖如圖, ,a= ,= ,c= ,= ,b= ,= ,b與與a, ,b與與c均不共均不共線線, ,但但a與與c共線共線, ,所以所以b b錯錯. .在在 abcdabcd中中,

24、, 與與 共線共線, ,但但a,b,c,da,b,c,d四點不共線四點不共線, ,所以所以c c錯錯; ;若若a與與b有一個為有一個為零向量零向量, ,則則a與與b一定共線一定共線, ,所以所以a, ,b不共線時不共線時, ,一定有一定有a與與b都是非零向量都是非零向量, ,故故d d正正確確. .ab cd bc bd ab 類型三向量的表示與應(yīng)用類型三向量的表示與應(yīng)用( (數(shù)學(xué)抽象、直觀想象數(shù)學(xué)抽象、直觀想象) ) 角度角度1 1向量的表示向量的表示【典例典例】(1)(1)如圖如圖1,b,c1,b,c是線段是線段adad的三等分點的三等分點, ,分別以圖中各點為起點和終點分別以圖中各點為起

25、點和終點, ,可以寫出可以寫出_個向量個向量.(2)(2)在如圖在如圖2 2所示的坐標(biāo)紙上所示的坐標(biāo)紙上( (每個小方格邊長為每個小方格邊長為1),1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向用直尺和圓規(guī)畫出下列向量量: : , ,使使| |=4| |=4 , ,點點a a在點在點o o北偏東北偏東4545; ; , ,使使| |=4,| |=4,點點b b在點在點a a正東正東; ; , ,使使| |=6,| |=6,點點c c在點在點b b北偏東北偏東3030. .oaoa2ab ab bc bc 【思路導(dǎo)引思路導(dǎo)引】(1)(1)從四個點里選取排序即可從四個點里選取排序即可;(2);(2)先找到方向先找到

26、方向, ,再從該方向上截再從該方向上截取對應(yīng)的長度即可取對應(yīng)的長度即可. .【解析解析】(1)(1)可以寫出可以寫出1212個向量個向量, ,分別是分別是: :答案答案: :1212abac ad bc bd cd ba ca da cb ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，dbdc. ，(2)(2)由于點由于點a a在點在點o o北偏東北偏東4545處處, ,所以在坐標(biāo)紙上點所以在坐標(biāo)紙上點a a距點距點o o的橫向小方格數(shù)的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等與縱向小方格數(shù)相等. .又又| |=4 ,| |=4 ,小方格邊長為小方格邊長為1,1,所以點所以點a a距點距點o o的橫向小方格數(shù)與

27、縱向小方格數(shù)的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為都為4,4,于是點于是點a a位置可以確定位置可以確定, ,畫出向量畫出向量 如圖所示如圖所示. .oa2oa由于點由于點b b在點在點a a正東方向處正東方向處, ,且且| |=4,| |=4,所以在坐標(biāo)紙上點所以在坐標(biāo)紙上點b b距點距點a a的橫向小方的橫向小方格數(shù)為格數(shù)為4,4,縱向小方格數(shù)為縱向小方格數(shù)為0,0,于是點于是點b b位置可以確定位置可以確定, ,畫出向量畫出向量 如圖所示如圖所示. .由于點由于點c c在點在點b b北偏東北偏東3030處處, ,且且| |=6,| |=6,依據(jù)勾股定理可得依據(jù)勾股定理可得: :在坐標(biāo)紙上點在坐

28、標(biāo)紙上點c c距點距點b b的橫向小方格數(shù)為的橫向小方格數(shù)為3,3,縱向小方格數(shù)為縱向小方格數(shù)為3 5.2,3 5.2,于是點于是點c c位置可以確定位置可以確定, ,畫出向量畫出向量 如圖所示如圖所示. .ab ab bc 3bc 角度角度2 2向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用【典例典例】如圖所示如圖所示, ,在四邊形在四邊形abcdabcd中中, n,m, n,m分別是分別是ad,bcad,bc上的點上的點, ,且且 求證求證: : cnma. abdc, dnmb.【思路導(dǎo)引思路導(dǎo)引】利用向量相等證明四邊形利用向量相等證明四邊形abcd,cnamabcd,cnam是平行四邊形

29、是平行四邊形, ,進(jìn)而得到向進(jìn)而得到向量量 dnmb.【證明證明】因為因為 所以所以| |=| |,| |=| |,且且abcd,abcd,所以四邊形所以四邊形abcdabcd是平行是平行四邊形四邊形. .所以所以| |=| |,| |=| |,且且dacb.dacb.又因為又因為 與與 的方向相同的方向相同, ,所以所以 同理可證四邊形同理可證四邊形cnamcnam是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以 因為因為| |=| |,| |=| |,| |=| |,| |=| |,所以所以| |=| |,| |=| |,dnmb,dnmb,即即 與與 的模相等且方向相同的模相等且方向相同, ,所以

30、所以 = .= .abdc, ab dc dacb dacb cbda. cmna.cb dacmnambdndnmbdnmb【解題策略解題策略】1.1.向量的兩種表示方法向量的兩種表示方法(1)(1)幾何表示法幾何表示法: :先確定向量的起點先確定向量的起點, ,再確定向量的方向再確定向量的方向, ,最后根據(jù)向量的長度最后根據(jù)向量的長度確定向量的終點確定向量的終點. .(2)(2)字母表示法字母表示法: :為了便于運(yùn)算可用字母為了便于運(yùn)算可用字母a,b,ca,b,c表示表示, ,為了聯(lián)系平面幾何中的圖為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)形性質(zhì), ,可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量可用表示向

31、量的有向線段的起點與終點表示向量, ,如如 等等. .abcd ef ， ，2.2.兩種向量表示方法的作用兩種向量表示方法的作用(1)(1)用幾何表示法表示向量用幾何表示法表示向量, ,便于用幾何方法研究向量運(yùn)算便于用幾何方法研究向量運(yùn)算, ,為用向量處理幾何為用向量處理幾何問題打下了基礎(chǔ)問題打下了基礎(chǔ). .(2)(2)用字母表示法表示向量用字母表示法表示向量, ,便于向量的運(yùn)算便于向量的運(yùn)算. .3.3.向量相等的應(yīng)用向量相等的應(yīng)用利用向量的相等利用向量的相等, ,可以證明線段相等或直線平行可以證明線段相等或直線平行, ,但需說明兩向量所在的基線但需說明兩向量所在的基線無公共點無公共點. .

32、用平行向量可證明用平行向量可證明( (判斷判斷) )直線平行直線平行, ,但證明直線平行時但證明直線平行時, ,除說明向量除說明向量平行外還需說明向量所在的基線無公共點平行外還需說明向量所在的基線無公共點. .【題組訓(xùn)練題組訓(xùn)練】1.(20201.(2020西安高一檢測西安高一檢測) )在四邊形在四邊形abcdabcd中中, , 則四邊形則四邊形abcdabcd的形狀一定是的形狀一定是( () )a.a.正方形正方形b.b.矩形矩形c.c.菱形菱形d.d.等腰梯形等腰梯形【解析解析】選選c.c.因為因為 所以所以bacd,ba=cd,bacd,ba=cd,四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊

33、形是平行四邊形, ,又又 , ,所以四邊形所以四邊形abcdabcd是菱形是菱形. .|ab|ad|bacd 且，bacd ，|ab|ad| 2.2.某人從某人從a a點出發(fā)向東走了點出發(fā)向東走了5 5米到達(dá)米到達(dá)b b點點, ,然后改變方向按東北方向走了然后改變方向按東北方向走了1010 米到達(dá)米到達(dá)c c點點, ,到達(dá)到達(dá)c c點后又改變方向向西走了點后又改變方向向西走了1010米到達(dá)米到達(dá)d d點點. .(1)(1)作出向量作出向量 (2)(2)求求 的模的模. .2abbccd ， ， ；ad 【解析解析】(1)(1)作出向量作出向量 , ,如圖所示如圖所示: :(2)(2)由題意得由

34、題意得, ,bcdbcd是直角三角形是直角三角形, ,其中其中bdc=90bdc=90,bc=10 ,bc=10 米米,cd=10,cd=10米米, ,所所以以bd=10bd=10米米. .abdabd是直角三角形是直角三角形, ,其中其中abd=90abd=90,ab=5,ab=5米米,bd=10,bd=10米米, ,所以所以ad=ad= =5 ( =5 (米米),),所以所以| |=5 | |=5 米米. .abbccd ， ，2225105ad 5【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】一輛汽車從一輛汽車從a a點出發(fā)向西行駛了點出發(fā)向西行駛了100 km100 km到達(dá)到達(dá)b b點點, ,然后又改變方向向

35、西偏北然后又改變方向向西偏北5050行駛了行駛了200 km200 km到達(dá)到達(dá)c c點點, ,最后又改變方向最后又改變方向, ,向東行駛了向東行駛了100 km100 km到達(dá)到達(dá)d d點點. .(1)(1)作出向量作出向量 (2)(2)求這輛汽車的位移大小求這輛汽車的位移大小. .abbccd. ， ，【解析解析】(1)(1)如圖所示如圖所示. .(2)(2)由題意由題意, ,易知易知 與與 方向相反方向相反, ,故故 與與 平行平行. .又又| |=| |,| |=| |,所以在四邊形所以在四邊形abcdabcd中中,abcd,abcd,且且ab=cd. ab=cd. 所以四邊形所以四邊

36、形abcdabcd為平行四邊形為平行四邊形. .所以所以 =200 km,=200 km,即這輛汽車位移的大小為即這輛汽車位移的大小為200 km.200 km.ab cd ab cd ab cd |ad|bc| 備選類型向量在生活中的應(yīng)用備選類型向量在生活中的應(yīng)用( (數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象) )【典例典例】已知飛機(jī)從已知飛機(jī)從a a地按北偏東地按北偏東3030的方向飛行的方向飛行2 000 km2 000 km到達(dá)到達(dá)b b地地, ,再從再從b b地地按南偏東按南偏東3030的方向飛行的方向飛行2 000 km2 000 km到達(dá)到達(dá)c c地地, ,再從再從c c地按西南方向

37、飛行地按西南方向飛行1 0001 000 km km到達(dá)到達(dá)d d地地. .問問d d地在地在a a地的什么方向地的什么方向?d?d地距地距a a地多遠(yuǎn)地多遠(yuǎn)? ?2轉(zhuǎn)化模板轉(zhuǎn)化模板1. 1. 建建 由題意此架飛機(jī)的三次飛行位移是向量問題由題意此架飛機(jī)的三次飛行位移是向量問題, ,故可以建立向量模故可以建立向量模型解決型解決. .2. 2. 設(shè)設(shè) 設(shè)飛機(jī)三次飛行位移分別為向量設(shè)飛機(jī)三次飛行位移分別為向量 3. 3. 譯譯 已知向量已知向量 的方向為北偏東的方向為北偏東3030, ,長度為長度為2 000 km,2 000 km,向量向量 的的方向為南偏東方向為南偏東3030, ,長度為長度為2

38、 000 km,2 000 km,向量向量 的方向為西南方向的方向為西南方向, ,長度為長度為1 0001 000 km, km,求向量求向量 的方向及長度的方向及長度. .abbccd. ， ，ab cd 2bc da4. 4. 解解 (1)(1)由題意由題意, ,作出向量作出向量 , ,如圖所示如圖所示, ,abbccd da ， ， ，(2)(2)依題意知依題意知, ,三角形三角形abcabc為正三角形為正三角形, ,所以所以ac=2 000 km.ac=2 000 km.又因為又因為acd=45acd=45, ,cd=1 000cd=1 000 km, km,所以所以acdacd為等腰

39、直角三角形為等腰直角三角形, ,即即ad=1 000ad=1 000 km,cad= km,cad=4545. .所以所以d d地在地在a a地的東南方向地的東南方向, ,距距a a地地1 0001 000 km. km.5. 5. 答答 dd地在地在a a地東南方向地東南方向, ,距距a a地地1 0001 000 km. km.2222【解題策略解題策略】解決實際問題的一般步驟解決實際問題的一般步驟(1)(1)審清題意審清題意, ,理順問題的條件和結(jié)論理順問題的條件和結(jié)論, ,找到關(guān)鍵量找到關(guān)鍵量; ;(2)(2)建立文字?jǐn)?shù)量關(guān)系式建立文字?jǐn)?shù)量關(guān)系式; ;(3)(3)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型; ;(4)(4)解決數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題, ,得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論; ;(5)(5)返本還原返本還原, ,即還原為實際問題本身所具有的意義即還原為實際問題本身所具有的意義. .【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】一輛消防車從一輛消防車從a a地去地去b b地執(zhí)行任務(wù)地執(zhí)行任務(wù), ,先從先從a a地向北偏東地向北偏東3030方向行駛方向行駛2 2千米到千米到d d地地, ,然后從然后從d d地沿北偏東地沿北偏東606