特征方程法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

1、高考數(shù)學(xué)專題講座 授人以魚，不如授人以漁。讓數(shù)學(xué)不再成為障礙！ 特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)一、（一階線性遞推式）設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足,其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問(wèn)題，然而這樣做太過(guò)繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法特征方程法：針對(duì)問(wèn)題中的遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程稱之為特征方程；借助這個(gè)特征方程的根快速求解通項(xiàng)公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.定理1：設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：因?yàn)橛商卣鞣匠痰米鲹Q元?jiǎng)t當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，為0數(shù)列，故（證畢）下面列舉兩例

2、，說(shuō)明定理1的應(yīng)用.例1已知數(shù)列滿足：求解：作方程當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是例2已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位。當(dāng)取何值時(shí)，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？解：作方程則要使為常數(shù)，即則必須二、（二階線性遞推式）定理2：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關(guān)于a、b的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關(guān)于a、b的方程組）。例3：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。

3、解法二（特征根法）：數(shù)列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故三、(分式遞推式)定理3：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的根（稱作特征根）時(shí)，若則若，則其中特別地，當(dāng)存在使時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、（稱作特征根）時(shí)，則，其中例3、已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式.解:依定理作特征方程變形得其根為故特征方程有兩個(gè)相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有即例5已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩

4、個(gè)相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)對(duì)于都有(2) 令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開始都不存在，當(dāng)4，時(shí)，.(3)令則對(duì)于(4)、顯然當(dāng)時(shí)，數(shù)列從第2項(xiàng)開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過(guò)程知，時(shí)，數(shù)列是存在的，當(dāng)時(shí)，則有令則得且2.當(dāng)（其中且n2）時(shí)，數(shù)列從第項(xiàng)開始便不存在.于是知：當(dāng)在集合或且2上取值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列都不存在.練習(xí)題：求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式：1、 在數(shù)列中，求。（key：）2、 在數(shù)列中，且，求。（key：）3、 在數(shù)列中，求。（key：）4、 在數(shù)列中，求。（key：）5、 在數(shù)列中，求。（key：）6、 在數(shù)列中，且.求.（key：時(shí)，；時(shí)，）7、 在數(shù)列中，（是非

5、0常數(shù)）.求.（key： ()； ）()8、在數(shù)列中，給定，.求.(key:；若，上式不能應(yīng)用，此時(shí)，附定理3的證明定理3(分式遞推問(wèn)題)：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的根（稱作特征根）時(shí)，若則若，則其中特別地，當(dāng)存在使時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、（稱作特征根）時(shí)，則，其中證明：先證明定理的第（1）部分.作交換則 是特征方程的根，將該式代入式得 將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是 當(dāng)，即=時(shí)，由式得故當(dāng)即時(shí)，由、兩式可得此時(shí)可對(duì)式作如下變化： 由是方程的兩個(gè)相同的根可以求得 將此式代入式得令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.其中當(dāng)時(shí)，當(dāng)存在使時(shí)，無(wú)意義.故此時(shí)，無(wú)窮數(shù)列是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下：特征方程有兩個(gè)相異的根、，其中必有一個(gè)特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得 由第（1）部分的證明過(guò)程知不是特征方程的根，故故所以由式可得： 特征方程有兩個(gè)相異根、方程有兩個(gè)相異根、，而方程與方程又是同解方程.將上兩式代入式得當(dāng)即時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時(shí)對(duì)于都有當(dāng)即