2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題專項(xiàng)六概率與統(tǒng)計(jì)課件新人教B版

1、高考大題專項(xiàng)高考大題專項(xiàng)( (六六) )概率與統(tǒng)計(jì)概率與統(tǒng)計(jì)第十章第十章2022【考情分析考情分析】 一、考查范圍全面概率與統(tǒng)計(jì)解答題對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考查較為全面,近五年的試題考點(diǎn)覆蓋了概率與統(tǒng)計(jì)的各個(gè)章節(jié)內(nèi)容,考查了抽樣方法、統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體、回歸分析、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算、獨(dú)立性檢驗(yàn)、古典概型、條件概率、相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.二、考查方向分散從近五年的高考試題來看,對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的考查主要有四個(gè)方面:一是統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例,其中回歸分析、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算、獨(dú)立性檢驗(yàn)、用樣本的數(shù)

2、字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征是考查重點(diǎn),常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識(shí)交匯考查;二是統(tǒng)計(jì)與概率分布的綜合,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、頻率、概率以及函數(shù)知識(shí)、概率分布列等知識(shí)交匯考查;三是期望與方差的綜合應(yīng)用,常與離散型隨機(jī)變量、概率、相互獨(dú)立事件、二項(xiàng)分布等知識(shí)交匯考查;四是以生活中的實(shí)際問題為背景將正態(tài)分布與隨機(jī)變量的期望和方差相結(jié)合綜合考查.三、考查難度波動(dòng)前幾年來看,高考對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)解答題的考查難度相對(duì)穩(wěn)定,一般都控制在中等或中等偏上的程度,多放在解答題的第18或19題位置,近兩年難度有所提升,甚至放在后兩道解答題位置,綜合性較強(qiáng).但實(shí)施新高考后,因?yàn)槲睦硗?

3、難度又回到中等.【典例剖析典例剖析】 題型一相關(guān)關(guān)系的判斷及回歸分析【例例1】近年來,隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展,共享經(jīng)濟(jì)覆蓋的范圍迅速擴(kuò)張,繼共享單車、共享汽車之后,共享房屋以“民宿”“農(nóng)家樂”等形式開始在很多平臺(tái)上線.某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在某景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”,為了確定未來發(fā)展方向,此創(chuàng)業(yè)者對(duì)該景區(qū)附近六家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天.得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表,x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(單位:元/日),t為入住天數(shù)(單位:天),以頻率作為各自的“入住率”,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與“入住率”y的散點(diǎn)圖如圖.x50100150200300400t906545302020(1)若從以上六家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩

4、家深入調(diào)查,記為“入住率”超過0.6的農(nóng)家樂的個(gè)數(shù),求的概率分布列.(3)若一年按365天計(jì)算,試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時(shí),年銷售額l最大?(年銷售額l=365入住率收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x)解題心得在求兩變量相關(guān)系數(shù)和兩變量的回歸方程時(shí),由于r和 的公式組成比較復(fù)雜,求它們的值計(jì)算量比較大,為了計(jì)算準(zhǔn)確,可將其分成幾個(gè)部分分別計(jì)算,這樣等同于分散難點(diǎn),各個(gè)攻破,提高了計(jì)算的準(zhǔn)確度.題型二獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問題【例2】 (2020新高考全國1,19)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100天空氣中的pm2.5和so2濃度(單位:g/m3),得下表:pm2.5so20,50

5、(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中pm2.5濃度不超過75,且so2濃度不超過150”的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的22列聯(lián)表:pm2.5so20,150(150,4750,75(75,115(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下是否可以認(rèn)為該市一天空氣中pm2.5濃度與so2濃度有關(guān)聯(lián).=p(2k)0.050.010.001k3.8416.63510.828pm2.5so20,150(150,4750,756416(75,1151010(3)零假設(shè)為h0:該市一天空氣中pm2.

6、5濃度與so2濃度無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷h0不成立,即認(rèn)為該市一天空氣中pm2.5濃度與so2濃度有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.解題心得有關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題的解題步驟:(1)作出22列聯(lián)表;(2)計(jì)算隨機(jī)變量2的值;(3)查臨界值,檢驗(yàn)作答.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1手機(jī)支付也稱為移動(dòng)支付,是指允許用戶使用其移動(dòng)終端(通常是手機(jī))對(duì)所消費(fèi)的商品或服務(wù)進(jìn)行賬務(wù)支付的一種服務(wù)方式.隨著信息技術(shù)的發(fā)展,手機(jī)支付越來越成為人們喜歡的支付方式.某機(jī)構(gòu)對(duì)某地區(qū)年齡在15到75歲的人群“是否使用手機(jī)支付”的情況進(jìn)行了調(diào)查,隨機(jī)抽取了100人,其年齡頻率分布

7、表和使用手機(jī)支付的人數(shù)如下所示:(年齡單位:歲)年齡段15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75頻率0.10.320.280.220.050.03使用人數(shù) 828241221(1)若以45歲為分界點(diǎn),根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的22列聯(lián)表,依據(jù)=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為“使用手機(jī)支付”與年齡有關(guān)聯(lián).是否使用手機(jī)支付年齡低于45歲年齡不低于45歲使用不使用(2)若從年齡在55,65),65,75的樣本中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談,記選中的4人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)為x,求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù): =p(2k)0.050.010.0050.001k3

8、.8416.6357.87910.828解 (1)由統(tǒng)計(jì)表可得,低于45歲人數(shù)為70人,不低于45歲人數(shù)為30人,可得列聯(lián)表如下是否使用手機(jī)支付年齡低于45歲年齡不低于45歲使用6015不使用1015零假設(shè)為h0:“使用手機(jī)支付”與年齡無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷h0不成立,即認(rèn)為“使用手機(jī)支付”與年齡有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.(2)由題意可知,年齡段在55,65),65,75中不使用手機(jī)支付的人數(shù)分別為3,2.x的所有可能取值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為 于是x的分布列為 題型三離散型隨機(jī)變量的分布列類型一互斥事件、獨(dú)立

9、事件的概率及分布列【例3】 隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代入“必考”的證件之一.若某人報(bào)名參加了駕駛證考試,要順利地拿到駕駛證,他需要通過四個(gè)科目的考試,其中科目二為場(chǎng)地考試.在一次報(bào)名中,每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過考試,就算順利通過,即進(jìn)入下一科目考試;若5次都沒有通過,則需重新報(bào)名),其中前2次參加科目二考試免費(fèi),若前2次都沒有通過,則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校對(duì)以往2 000個(gè)學(xué)員第1次參加科目二考試進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到下表:考試情況男學(xué)員女學(xué)員第1次考科目二人數(shù)1 200800第1次通過科目二人數(shù)960600第1次

10、未通過科目二人數(shù)240200若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過科目二考試的概率,且每人每次是否通過科目二考試相互獨(dú)立.現(xiàn)有一對(duì)夫妻同時(shí)在此駕校報(bào)名參加了駕駛證考試,在本次報(bào)名中,若這對(duì)夫妻參加科目二考試的原則為:通過科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止.(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;(2)若這對(duì)夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過,記這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為x,求x的分布列與數(shù)學(xué)期望.解 事件ai表示男學(xué)員在第i次考科目二通過,事件bi表示女學(xué)員在第i次考科目二通過(其中i=1,2,3,4

11、,5).(1)事件m表示這對(duì)夫妻考科目二都不需要交補(bǔ)考費(fèi).解題心得使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述解答過程是解答這類問題并得分的根本保證.引進(jìn)字母表示事件可使得事件的描述簡單而準(zhǔn)確,使得問題描述有條理,不會(huì)有遺漏,也不會(huì)重復(fù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2020廣西桂林高三模擬)某企業(yè)為抓住機(jī)遇,計(jì)劃在某地建立獼猴桃飲品基地,進(jìn)行飲品a,b,c的開發(fā).(1)在對(duì)三種飲品市場(chǎng)投放的前期調(diào)研中,對(duì)100名試飲人員進(jìn)行抽樣調(diào)查,得到對(duì)三種飲品選擇情況的條形圖.若飲品a的百件利潤為400元,飲品b的百件利潤為300元,飲品c的百件利潤為700元,請(qǐng)估計(jì)三種飲品的平均百件利潤;(2)為進(jìn)一步提高企業(yè)利潤,企業(yè)決定對(duì)飲品c進(jìn)

12、行加工工藝的改進(jìn)和飲品d的研發(fā).已知工藝改進(jìn)成功的概率為 ,開發(fā)新飲品成功的概率為 ,且工藝改進(jìn)與飲品研發(fā)相互獨(dú)立.求工藝改進(jìn)和新品研發(fā)恰有一項(xiàng)成功的概率;若工藝改進(jìn)成功則可為企業(yè)獲利80萬元,不成功則虧損30萬元,若飲品研發(fā)成功則獲利150萬元,不成功則虧損70萬元,求該企業(yè)獲利的數(shù)學(xué)期望.類型二超幾何分布【例4】 某市為了解本市1萬名小學(xué)生的普通話水平,在全市范圍內(nèi)進(jìn)行了普通話測(cè)試,測(cè)試后對(duì)每個(gè)小學(xué)生的普通話測(cè)試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)總體(1萬名小學(xué)生普通話測(cè)試成績)服從正態(tài)分布n(69,49).(1)從這1萬名小學(xué)生中任意抽取1名小學(xué)生,求這名小學(xué)生的普通話測(cè)試成績?cè)?2,90內(nèi)的概率;(2

13、)現(xiàn)在從總體中隨機(jī)抽取12名小學(xué)生的普通話測(cè)試成績,對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)如下:50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.從這12個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4個(gè),記x表示大于總體平均分的個(gè)數(shù),求x的方差.參考數(shù)據(jù):若yn(,2),則p(-y+)0.683,p(-2y+2)0.954,p(-3y+3)0.997.解題心得判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布,關(guān)鍵是要看隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布的特征:不放回抽樣;一個(gè)總體(共有n個(gè))內(nèi)含有兩種不同的事物a(有m個(gè)),b(有n-m個(gè)),任取n個(gè),其中恰有x個(gè)a.符合以上特征即可斷定隨機(jī)變量服從超幾何分布.滿足超幾何分布模型的事件的總體都是由較

14、明顯的兩部分組成,如男生,女生;正品,次品;優(yōu),劣等.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2020內(nèi)蒙古呼和浩特高三質(zhì)檢)某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位:克),重量的分組區(qū)間為(490,495,(495,500,(510,515,由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求重量超過500克的產(chǎn)品數(shù)量;(2)在這40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)y為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求y的分布列及數(shù)學(xué)期望.解(1)重量超過500克的產(chǎn)品數(shù)量是40(0.075+0.055+0.015)=26件;(2)由題意知y的所有可能取值為0,1,2;重

15、量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量是40(0.055+0.015)=12件,重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量是28件.類型三古典概型及分布列的綜合【例5】 為提升學(xué)生的文化素養(yǎng),養(yǎng)成多讀書、讀好書的文化生活習(xí)慣,某中學(xué)開展圖書漂流活動(dòng),讓圖書發(fā)揮它的最大價(jià)值,該校某班圖書角有文學(xué)名著類圖書5本,學(xué)科輔導(dǎo)書類圖書3本,其他類圖書2本,共10本不同的圖書,該班班委會(huì)從圖書角的10本不同的圖書中隨機(jī)挑選3本不同的圖書參加學(xué)校的圖書漂流活動(dòng).(1)求選出的三本圖書來自兩個(gè)不同類別的概率;(2)設(shè)隨機(jī)變量x表示選出的3本圖書中,文學(xué)名著類本數(shù)與學(xué)科輔導(dǎo)類本數(shù)差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望.解題心得利用古典

16、概型求解分布列的概率一定要注意事件的等可能性以及事件的組成,若涉及排列、組合求解基本事件的個(gè)數(shù),則需分清元素有序與無序,分清排列還是組合,做到不重不漏.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2020山西臨汾高三模擬)元旦期間,某轎車銷售商為了促銷,給出了兩種優(yōu)惠方案,顧客只能選擇其中的一種.方案一:每滿6萬元,可減6千元;方案二:金額超過6萬元(含6萬元),可搖號(hào)三次,其規(guī)則是依次從裝有2個(gè)幸運(yùn)號(hào)、2個(gè)吉祥號(hào)的一號(hào)搖號(hào)機(jī),裝有2個(gè)幸運(yùn)號(hào)、2個(gè)吉祥號(hào)的二號(hào)搖號(hào)機(jī),裝有1個(gè)幸運(yùn)號(hào)、3個(gè)吉祥號(hào)的三號(hào)搖號(hào)機(jī)各搖號(hào)一次,其優(yōu)惠情況為:若搖出3個(gè)幸運(yùn)號(hào)則打6折,若搖出2個(gè)幸運(yùn)號(hào)則打7折;若搖出1個(gè)幸運(yùn)號(hào)則打8折;若沒搖出幸運(yùn)號(hào)則不

17、打折.(1)若某型號(hào)的車正好6萬元,兩個(gè)顧客都選擇第二種方案,求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率;(2)若購買一款價(jià)格為10萬元的轎車,應(yīng)選擇哪種付款方案.類型四二項(xiàng)分布【例6】 某興趣小組在科學(xué)館的帕斯卡三角儀器前進(jìn)行探究實(shí)驗(yàn).如圖所示,每次使一個(gè)實(shí)心小球從帕斯卡三角儀器的頂部入口落下,當(dāng)它在依次碰到每層的菱形擋板時(shí),會(huì)等可能地向左或者向右落下,在最底層的7個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球,該小組連續(xù)進(jìn)行200次試驗(yàn),并統(tǒng)計(jì)容器中的小球個(gè)數(shù)得到柱狀圖:(1)用該實(shí)驗(yàn)來估測(cè)小球落入4號(hào)容器的概率,若估測(cè)結(jié)果的誤差小于5%,則稱該實(shí)驗(yàn)是成功的.試問:該興趣小組進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)是否成功?(2)再取3

18、個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn),設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為x,求x的分布列與數(shù)學(xué)期望.(計(jì)算時(shí)采用概率的理論值).解題心得對(duì)于實(shí)際問題中的隨機(jī)變量x,如果能夠斷定它服從二項(xiàng)分布b(n,p),則其概率、均值與方差可直接利用公式 (k=0,1,2,n),e(x)=np,d(x)=np(1-p)求得,因此,熟記二項(xiàng)分布的相關(guān)公式,可以避免煩瑣的運(yùn)算過程,提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5某發(fā)電廠新引進(jìn)4臺(tái)發(fā)電機(jī),已知每臺(tái)發(fā)電機(jī)一個(gè)月中至多出現(xiàn)1次故障,且每臺(tái)發(fā)電機(jī)是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的,出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修,每臺(tái)發(fā)電機(jī)出現(xiàn)故障的概率為 .(1)若一個(gè)月中出現(xiàn)故障的發(fā)電機(jī)臺(tái)數(shù)為x,求x的分布列及數(shù)學(xué)期望e

19、(x)和方差d(x);(2)該發(fā)電廠至少有多少名工人,才能保證每臺(tái)發(fā)電機(jī)在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí),能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%?(3)已知一名工人每月只有維修1臺(tái)發(fā)電機(jī)的能力,每臺(tái)發(fā)電機(jī)不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修,就使該廠產(chǎn)生2萬元的利潤,否則將不產(chǎn)生利潤,若該發(fā)電廠現(xiàn)有2名工人,要使求該發(fā)電廠每月獲利的均值不少于6萬元,則該發(fā)電廠每月需支付給每位工人的工資最多為多少萬元?(2)設(shè)該廠有n名工人,則“每臺(tái)發(fā)電機(jī)在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修”為事件“發(fā)生故障的發(fā)電機(jī)臺(tái)數(shù)xn”,即x=0,x=1,x=n,這n+1個(gè)互斥事件的和事件,則 題型四樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合【例7】

20、 某學(xué)校高二年級(jí)舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽,計(jì)分規(guī)則如下表:每分鐘跳繩個(gè)數(shù)145,155)155,165)165,175)175,185)185,+)得分1617181920年級(jí)組為了解學(xué)生的體質(zhì),隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)作為一個(gè)樣本,繪制了如下樣本頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)中,任意抽取2人的跳繩個(gè)數(shù),求兩人得分之和小于35分的概率;(2)若該校高二年級(jí)共有2 000名學(xué)生,所有學(xué)生的一分鐘跳繩個(gè)數(shù)x近似服從正態(tài)分布n(,2),其中2225,為樣本平均數(shù)的估計(jì)值(同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)值作代表).利用所得的正態(tài)分布模型,解決以下問題:估

21、計(jì)每分鐘跳繩164個(gè)以上的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));若在全年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,每分鐘跳繩在179個(gè)以上的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.附:若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布n(,2),則p(-x+)0.683,p(-2x+2)0.954,p(-3x+3)0.997.解 (1)設(shè)“兩人得分之和小于35分”為事件a,則事件a包括以下四種情況:兩人得分均為16分;兩人中一人16分,一人17分;兩人中一人16分,一人18分;兩人均17分.由頻率分布直方圖可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,則由古典概型的概率計(jì)算公式可得解題心得解決正態(tài)分布有關(guān)的問題,在理解,2

22、意義的情況下,記清正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于x=對(duì)稱的鐘形曲線,很多問題都是利用圖像的對(duì)稱性解決的.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7某市要對(duì)全市中小學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”情況進(jìn)行了解,決定通過隨機(jī)抽樣選擇幾個(gè)樣本學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行體能達(dá)標(biāo)測(cè)試,并規(guī)定測(cè)試成績低于60分為不合格,否則為合格,若樣本學(xué)校學(xué)生不合格人數(shù)不超過其總?cè)藬?shù)的5%,則該樣本學(xué)校體能達(dá)標(biāo)為合格.已知某樣本學(xué)校共有1 000名學(xué)生,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測(cè)試,首先將這40名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩組,其中甲乙兩組學(xué)生人數(shù)的比為3 2,測(cè)試后,兩組各自的成績統(tǒng)計(jì)如下:甲組的平均成績?yōu)?0,方差為16,乙組的平均成績?yōu)?0,方差為36.(1)估計(jì)該樣本

23、學(xué)校學(xué)生體能測(cè)試的平均成績;(2)求該樣本學(xué)校40名學(xué)生測(cè)試成績的標(biāo)準(zhǔn)差s;(注:1.本題所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù);2.若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布,則p(-z+)0.683,p(-2z+2)0.954,p(-3z+3)0.997)題型五概率與分布列及其他知識(shí)綜合交匯【例8】 (2019全國1,理21)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治

24、愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為x.(1)求x的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=p(x=-1),b=p(x=0),c=p(x=1).假設(shè)=0.5,=0.8.證明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)為等比數(shù)列;求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.解 (1)x的所有可能取值為-1,0,1.p(x=-1)=(1-),p(x=0)=+(1-)(1-),p(x=1)=(1-)