柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

1、一、解析函數(shù)的一、解析函數(shù)的cauchycauchy積分公式積分公式二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理1.1.問題的提出問題的提出 . , 0中中一一點(diǎn)點(diǎn)為為為為一一單單連連通通區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)dzd ,d)( 0 czzzzf一一般般不不為為零零所所以以 .)( , )( 00不不解解析析在在那那末末內(nèi)內(nèi)解解析析在在如如果果zzzzfdzf 根據(jù)根據(jù)閉路變形原理閉路變形原理知知, 該積分值不隨閉曲線該積分值不隨閉曲線c的變化而改變的變化而改變, 求這個(gè)值求這個(gè)值. .0的閉曲線的閉曲線內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞為為zdc一、解析函數(shù)的一、解析函數(shù)的cauchycauchy積分公式積分公式,

2、, 00 zzzc的正向圓周的正向圓周半徑為很小的半徑為很小的為中心為中心取作以取作以積分曲線積分曲線 , )( 的連續(xù)性的連續(xù)性由由zf , )( 0處的值處的值接近于它在圓心接近于它在圓心的縮小而逐漸的縮小而逐漸的值將隨著的值將隨著上函數(shù)上函數(shù)在在zzfc )(.d)( d)(000縮縮小小將將接接近近于于 cczzzzfzzzzf czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfc 2.2.cauchy積分公式積分公式 , , , , )( 0那那末末內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)為為于于它它的的內(nèi)內(nèi)部部完完全全含含閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)的的任任何何一一條條正正向向簡簡單單為為內(nèi)內(nèi)處處處處解解析

3、析在在區(qū)區(qū)域域如如果果函函數(shù)數(shù)czddcdzfd 0zccauchy積分公式積分公式 czzzzfizf.d)(21)( 00定理定理1 1證明證明：以以 為心作一完全包含于為心作一完全包含于 內(nèi)的圓盤內(nèi)的圓盤 , ,并且并且記其邊界為圓記其邊界為圓 . .在在 上，挖去圓盤上，挖去圓盤 , ,余下的點(diǎn)余下的點(diǎn)集是一個(gè)閉區(qū)域集是一個(gè)閉區(qū)域 . .在在 上上 函數(shù)解析函數(shù)解析, ,由柯西積分定理有：由柯西積分定理有：在這里沿在這里沿 的積分是按照的積分是按照 區(qū)域的正向取的，沿區(qū)域的正向取的，沿 的積的積分是按正向取的分是按正向取的, ,即逆時(shí)針方向即逆時(shí)針方向. .以下我們證明：以下我們證明：

4、0zd0c1c2cc0zd|:|0zzk|:|0zzcdkkddd0)(zfdzfdzfcc00)()(cdc)(2)(00zifdzfc 記記 由柯西積分定理知：由柯西積分定理知： 是個(gè)不依賴于是個(gè)不依賴于 的常數(shù)，從而的常數(shù)，從而我們我們證明證明由于由于和和 在在z z0 0 是連續(xù)的，所以對于任意的是連續(xù)的，所以對于任意的 ，可以找到，可以找到dzfic0)(idzfic00)(lim)(2)(lim000zifdzfc)233(dzzffzifdzfcc0000)()()(2)()(zf0 使得當(dāng)使得當(dāng) ， 時(shí)，有時(shí)，有從而當(dāng)從而當(dāng)c2| )()(|0zff| )()(| )(2)(|

5、0000dzzffzifdzfcc從而從而故故于是證得于是證得 稱為稱為積分基本公式積分基本公式或或柯西積分公式柯西積分公式 d定理定理1 1對于由對于由 條圍線所圍成的復(fù)連通區(qū)域條圍線所圍成的復(fù)連通區(qū)域仍然有效仍然有效定理定理1 1從揭示解析函數(shù)的性質(zhì)、表示解析函數(shù)及從揭示解析函數(shù)的性質(zhì)、表示解析函數(shù)及提供計(jì)算積分的方法等三方面給我們以啟示提供計(jì)算積分的方法等三方面給我們以啟示定理定理1 1為我們提供了計(jì)算如（為我們提供了計(jì)算如（* *）式左端的積分的）式左端的積分的方法方法這類積分的特征是這類積分的特征是: 積分路徑是圍線積分路徑是圍線, 被積函數(shù)為被積函數(shù)為一分式一分式, 它在積分路徑內(nèi)

6、部只含一個(gè)奇點(diǎn)它在積分路徑內(nèi)部只含一個(gè)奇點(diǎn), 且該奇點(diǎn)且該奇點(diǎn)是使分母是使分母 為零的點(diǎn)為零的點(diǎn), 而在積分路徑上無被積而在積分路徑上無被積函數(shù)的奇點(diǎn)函數(shù)的奇點(diǎn) （*）關(guān)于關(guān)于cauchy積分公式的說明積分公式的說明: : 把函數(shù)在把函數(shù)在c內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的 值表示值表示. （這是解析函數(shù)的一個(gè)重要特征）（這是解析函數(shù)的一個(gè)重要特征）(2) 公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積 分的一種方法分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)而且給出了解析函數(shù)的一個(gè) 積分表達(dá)式積分表達(dá)式. (這是研究解析函數(shù)的有力工具這是研究

7、解析函數(shù)的有力工具)例例1 1解解 44.d3211)2( ;dsin(1) zzzzzzzz求求下下列列積積分分 4dsin(1)zzzz , sin)( 在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析因因?yàn)闉閦zf , 4 0內(nèi)內(nèi)位位于于 zz 4dsinzzzz; 0 由由cauchy積分公式積分公式0sin2 zzi 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 例例2 2 2.d1 zzzze計(jì)計(jì)算算積積分分解解 , )( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析zezf , 2 1內(nèi)內(nèi)位于位于 zz由由cauchy積分公式積分公式122d1 zzzzeizze.2ie 例例3

8、 3 計(jì)算積分計(jì)算積分 解解 首先，識別積分的類型它是具有（首先，識別積分的類型它是具有（*）式左端積分）式左端積分的特征的那類積分的特征的那類積分其次，將所求積分與（其次，將所求積分與（*）式左端的積分比較后，知）式左端的積分比較后，知道所求積分在形式上與（道所求積分在形式上與（*）式左端的積分相同由此想）式左端的積分相同由此想到利用（到利用（*）式計(jì)算積分）式計(jì)算積分最后，經(jīng)驗(yàn)證，所求積分滿足最后，經(jīng)驗(yàn)證，所求積分滿足定理定理1的條件，于是，的條件，于是，由（由（*）式得）式得解解 首先，識別積分類型它是具有（首先，識別積分類型它是具有（*）式左端積分的特）式左端積分的特征的那類積分征的那

9、類積分其次，將所求積分與（其次，將所求積分與（*）式左端的積分比較，在形式）式左端的積分比較，在形式上是不一樣的但是，如果將它變形為上是不一樣的但是，如果將它變形為例例4 4 計(jì)算積分計(jì)算積分 那么在形式上與（那么在形式上與（*）式左端的積分一樣由此利用（）式左端的積分一樣由此利用（*）式計(jì)算式計(jì)算最后，經(jīng)驗(yàn)證所求積分滿足最后，經(jīng)驗(yàn)證所求積分滿足定理定理1的條件，于是由（的條件，于是由（*）式得式得例例5 5計(jì)算積分計(jì)算積分22d1zzzz 被積函數(shù)在積分路徑內(nèi)部含有兩個(gè)奇點(diǎn)被積函數(shù)在積分路徑內(nèi)部含有兩個(gè)奇點(diǎn)1z與與1z211:,211:21zczc21d1d1d12222cczzzzzzzz

10、zz作作，有，有計(jì)算上式右端兩個(gè)積分計(jì)算上式右端兩個(gè)積分 11d11d12cczzzzzzz11 i2zzzi22d11d12cczzzzzzz11 i2zzzii2d122zzzz故故觀察下列等式觀察下列等式 問題：問題： 解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一定為解析函數(shù)？解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一定為解析函數(shù)？ 若是，則其導(dǎo)函數(shù)可否用一公式來表示呢？若是，則其導(dǎo)函數(shù)可否用一公式來表示呢？ 內(nèi)解析，內(nèi)解析，的在單連通區(qū)域的在單連通區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)dzf )( 曲線，曲線，的一條可求長的正向的一條可求長的正向圍繞圍繞內(nèi)內(nèi)為為jordanzdc 0，的的內(nèi)內(nèi)部部全全含含于于而而且且它它d : )(0階導(dǎo)數(shù)為階導(dǎo)數(shù)為處的處

11、的在在則則nzzf), 2 , 1( d)()(2!)(100)( nzzzzfinzfcnnd 0zc高階導(dǎo)數(shù)公式的作用高階導(dǎo)數(shù)公式的作用: : 不在于通過積分來求導(dǎo)不在于通過積分來求導(dǎo), , 而在于而在于通過求導(dǎo)來求積分通過求導(dǎo)來求積分. .二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理定理定理2 2證證 利用數(shù)學(xué)歸納法證明該定理利用數(shù)學(xué)歸納法證明該定理設(shè)設(shè) ，證上式成立，即證，證上式成立，即證 (1)欲證欲證(1)式，只須證式，只須證為此，設(shè)為此，設(shè) c 的長度為的長度為 ， 在在c 上滿足上滿足 ，令，令由定理有由定理有于是于是由此有由此有故故即即 設(shè)設(shè) 時(shí)，題設(shè)式子成立，證時(shí)，題設(shè)式子成立，證 時(shí)，時(shí)，

12、題設(shè)式子成立，即證題設(shè)式子成立，即證d1c2cz0c 假設(shè)（假設(shè)（3-3-33-3-3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)成立。時(shí)成立。kn 設(shè)以設(shè)以 為心，以為心，以 為半徑的圓盤完全包含在為半徑的圓盤完全包含在 內(nèi)，并且在這圓盤內(nèi)取內(nèi)，并且在這圓盤內(nèi)取 使得使得 ，那么當(dāng)那么當(dāng) 時(shí)，時(shí)，zd2dhzdh |0dhzdz| ,|c 那么那么dzfikhzfhzfkkk2)()()()(2)!1()()(dzfikdhzfikhkk11)()(2!)()(2!1dzfikk2)()(2)!1(2112)()(2)!1()()()()(1()(2!kkkkzdfikdzhzhohzkfihk)()(1)()(1)(2)

13、!1(21hodzzhzfikkk533 由此可以證明：當(dāng)由此可以證明：當(dāng) ， 的右邊趨于零。于是（的右邊趨于零。于是（3-3-33-3-3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)成立。時(shí)成立。證畢。證畢。0h5331 kn由與證得定理由與證得定理 推論：推論： 若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 解析，則存解析，則存在點(diǎn)在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域 ，使得在該鄰域內(nèi)，使得在該鄰域內(nèi) 有有任意階導(dǎo)數(shù)，其各階導(dǎo)數(shù)也解析；并且在該鄰域內(nèi)函數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)，其各階導(dǎo)數(shù)也解析；并且在該鄰域內(nèi)函數(shù) 和和 的各階偏導(dǎo)數(shù)不僅存在而且都連的各階偏導(dǎo)數(shù)不僅存在而且都連續(xù)。續(xù)。 證明：證明： 由函數(shù)在點(diǎn)由函數(shù)在點(diǎn) 解析知：可作一圓盤解析知：可作一圓盤使得使得

14、 在該閉圓盤上解析。于是對該圓盤應(yīng)用定理在該閉圓盤上解析。于是對該圓盤應(yīng)用定理2。iyxvyxuzf),(),()()(zf0z0z|0zz),(yxuu ),(yxvv 0z|0zz)(zf例例6 6計(jì)算積分計(jì)算積分解：由解：由高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式1134d) 1(zzzz141134)(! 2i2d) 1( zzzzzzi12解解 首先，識別積分的類型它是具有（首先，識別積分的類型它是具有（*）式左端積分的）式左端積分的特征的那類積分特征的那類積分 其次，將所求積分與（其次，將所求積分與（*）式左端的積分比較后，知道）式左端的積分比較后，知道所求積分在形式上與（所求積分在形式上與（*）

15、式左端的積分相同由此想到）式左端的積分相同由此想到用（用（*）式計(jì)算積分）式計(jì)算積分 最后，經(jīng)驗(yàn)證，所求積分滿足最后，經(jīng)驗(yàn)證，所求積分滿足定理定理2的條件，由（的條件，由（*）式得式得例例7 7計(jì)算積分計(jì)算積分例例8 8 （1 1） （2 2）1| 1|23) 1(zzdz1| 1|31coszzzdz1z1| 1|z0)re(z221) 1()(zzzf1| 1|z94) 1 (2) 1()() 1(11| 1|211| 1|23iifzdzzfzdzzz解解 （1 1） 函數(shù)函數(shù) 的奇點(diǎn)的奇點(diǎn) 在圓在圓 的內(nèi)部，而其它的兩個(gè)奇點(diǎn)在左半平面的內(nèi)部，而其它的兩個(gè)奇點(diǎn)在左半平面 ，從而，從而在該

16、圓的外部。于是函數(shù)在該圓的外部。于是函數(shù) 在閉圓盤在閉圓盤 上解析，由上解析，由定理定理2 2 可得：可得：231) 1(1)(zz1)(1cos)(232zzfzzz1cos)(22zzzzf1| 1|z31cos2) 1 (21)(1cos21| 1|21| 1|3iifzdzzfzzdzzz（2 2）同理）同理 其中其中在閉圓盤在閉圓盤 上解析，因此上解析，因此例例9 9.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求求積積分分解解 , 1 )1(3在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析函函數(shù)數(shù) z , 2 10內(nèi)內(nèi)在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32

17、 zzi;2 i cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根據(jù)公式根據(jù)公式 12dcos)2(zzzzze , cos 在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析函函數(shù)數(shù)zez , 1 00內(nèi)內(nèi)在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 典型例題典型例題例例.d)1(1 212 izzzz計(jì)算積分計(jì)算積分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在因因?yàn)闉?izzf,0iz 由由cauchy積分公式積分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizz

18、izizzi )(122212ii . i 例例解解).1( ,d173)( , 3 222ifzzfyxcc 求求表表示示正正向向圓圓周周設(shè)設(shè) 根據(jù)根據(jù)cauchy積分公式積分公式知知, , 內(nèi)內(nèi)時(shí)時(shí)在在當(dāng)當(dāng)czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 內(nèi)內(nèi)在在而而ci ).136(2)1( iif 所所以以例例;211 (1): ,d14sin 2 zczzzc其中其中計(jì)算積分計(jì)算積分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 例例;211 (2): ,d14sin 2 zczz

19、zc其中其中計(jì)算積分計(jì)算積分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解 22d14sin)3(zzzz由由復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理, 得得例例. 2 (3): ,d14sin 2 zczzzc其其中中計(jì)計(jì)算算積積分分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 例例解解 czczzezzzrzc.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225為為正正向向圓圓周周其其中中計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分 , 1 )1(cos )1(5處不解析處不解析內(nèi)內(nèi)在在函數(shù)

20、函數(shù) zczz , cos 內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在在但但cz cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根據(jù)公式根據(jù)公式 czzzd) 1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22處處不不解解析析內(nèi)內(nèi)的的在在函函數(shù)數(shù)izczez 1c2cxyo ici , 1cic為為中中心心作作一一個(gè)個(gè)正正向向圓圓周周內(nèi)內(nèi)以以在在 , 2ci為中心作一個(gè)正向圓周為中心作一個(gè)正向圓周以以 , , )1( 2122圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析在在由由則則函函數(shù)數(shù)ccczez 根據(jù)根據(jù)復(fù)合閉路原理復(fù)合閉路原理 czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222czczzzezze 1d)1(22czzze 1d)()(22czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei1c2cxyo ici 2d)1( 22czzze同同理理可可得得,2)1( iei czzzed)1( 22 2)1(iei 2)1(iei于是于是)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i).1cos1(sin i例例解解) (.d 1為整數(shù)為整數(shù)求積分求積分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由由cauchy 積分定理積分定理得得 1; 0dznzzze, 1)2( n