關(guān)于不定方程的整數(shù)解及應(yīng)用

1、關(guān)于不定方程的整數(shù)解及應(yīng)用 四川省黑水縣中學(xué) 徐昌華 對于不定方程ax+by=c來說，它的整解數(shù)解雖然有無數(shù)個，但也有它的規(guī)律性。 其規(guī)律為： 應(yīng)用舉例例1：求方程3x+2y=5的整數(shù)解。例2：一袋5角、2角、1角的硬幣共15枚，合計3.50元，問各有多少枚？解：設(shè)5角、2角、1角的硬幣各有x、y、z枚，由題意列方程組： 4x+y=20它的一組解為， 所以 ， ，例3：（古代問題）公雞每只5文錢，母雞每只3文錢，小雞每3只1文錢，現(xiàn)用100文錢買100只雞，問公雞、母雞、小雞各買多少只？ ， ， （這是古代張丘算經(jīng)中有名的“百雞問題”）例4：（數(shù)學(xué)競賽題選）甲、乙兩人到特價商店去買商品，已知兩

2、人購買的商品件數(shù)相同，且每件商品的單價只有8元、9元兩種，若兩人共花去172元，8元、9元的商品各有多少件？解：設(shè)兩人共買8元的商品x件，9元的商品y件。 則 8x+9y=172 （x、y均為偶數(shù)） 由于x、y均為偶數(shù) 例5：（數(shù)學(xué)競賽題選）已知：n=23x+92y為完全平方數(shù)，且n不超過2392。則滿足上述條件的一切正整數(shù)對（x，y）共有多少對？ 解： n=23（x+4y）且n是一個完全平方數(shù) n=23232392， 或 n=232342392 x+4y=23 或 x+4y=234 這樣的（x，y）共有5對 這樣的（x，y）共有22對這樣適合已知條件的正整數(shù)對（x，y）共有27對。例6、一個

3、人在2000時，他的年齡等于他的出生年份的各位數(shù)字之和，求他的出生年份。解：設(shè)這個出生于19xy，由題意列方程： 即（x、y只能是數(shù)字）是它的一組整數(shù)解那么所有的整數(shù)解為：（k為一切整數(shù)）由于x、y只能是數(shù)字，所以解之得： 答：這個出生于1981年。例7、爸爸現(xiàn)年（2004年）不到40歲，爸爸的年齡正好是兒子的5倍，過若干年后，爸爸的年齡是兒子的4倍，再過若干年后，爸爸的年齡比兒子的年齡大2倍，那么爸爸、兒子各是哪一年出生的？解：設(shè)兒子今年的年齡為x歲，爸爸的年齡為y歲。過m年爸爸的年齡是兒子的4倍，過了n年爸爸的年齡比兒子的年齡大2倍。由題意列方程組。， 解之得k-1（1） （2）（3） 。所以爸爸是1974年出生的，兒子是1998年出生的。利用不定方程ax+by=c的整數(shù)解，解決我們常見的一些問題，能使在解決問題時不發(fā)生遺漏，而且方向明確，從而避免了逐個