矩形截面桿薄壁桿的扭轉(zhuǎn)

1、矩形截面桿、薄壁桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)柱形桿截面的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)f(x,y)要滿足的條件 ：22 fkyxf),(1、泊松方程： (在柱形桿橫截面所組成區(qū)域r內(nèi))。2、邊界條件： （在橫截面的周界c上）。 對(duì)于矩形截面桿件的扭轉(zhuǎn)問題，能否像橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn)問題一樣假設(shè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)為其橫截面的周界方程 ？2222( , )()()f x yb xayb 顯然這個(gè)應(yīng)力函數(shù)雖然滿足邊界條件，但不滿足泊松方程。由于根據(jù)邊界條件難以直接確定滿足基本方程的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，因此首先簡(jiǎn)化扭轉(zhuǎn)問題的基本方程。 答：不能。假設(shè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)為一 狹長矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)0ffdf,xydy 設(shè)矩形截面的邊長為a和b。若a

2、/b的值很大 (圖1示)，則稱為狹長矩形。由薄膜比擬法可以推斷，應(yīng)力函數(shù)f在橫截面的絕大部分上幾乎與坐標(biāo)x無關(guān)，于是有yaxbo則 22f222d fdy 變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虉D 1 而邊界條件為0)2(byf22()4bfy 此時(shí),方程的解為代入于是得2dfdxdy232222222()43ababrbabdfdxdyydy dx 33ttgdgab(1-1)(1-2)(1-3)由式(1-1)求得應(yīng)力分量360zxzyftagyyabfagx 2by (1-4) 這個(gè)應(yīng)力表達(dá)式除在狹長矩形截面的短邊附近外,對(duì)截面的大部分區(qū)域都是正確的。由薄膜比擬法可知，最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形截面的長邊上，即 ，其大

3、小為max223|bzxytab(1-5)二 任意邊長比的矩形截面桿的扭轉(zhuǎn) 在狹長矩形截面扭桿應(yīng)力函數(shù)(1-1)的基礎(chǔ)上，加上修正項(xiàng)f1，即221( , )( , )4bf x yyf x y22f (, )0,( ,)022abfyf x(1-6)函數(shù)f應(yīng)滿足方程 ，將式(1-6)代入，得到f1滿足方程2211220ffxy(1-7)另外，應(yīng)力函數(shù)f在矩形截面的邊界處滿足如下邊界條件(1-8)1( , )( ) ( )f x yx x y y2xyxy 20xx20yy2211(, )24( ,)02abfyybf x所以，修正函數(shù)f1的邊界條件為(1-9)設(shè)(1-10)將(1-10)代入(

4、1-7)中，有由此得方程(1-11)(1-12)(1-13)其中， 為任意常數(shù)。12( )chshx xbxbx12( )cossiny ycycy1( , )chcosf x yaxychcos02bax解之得方程(1-12)和(1-13)的通解 根據(jù)薄膜比擬法，應(yīng)力函數(shù)為坐標(biāo)x和y的偶函數(shù)。所以(1-14)由邊界條件(1-9)的第二式得(1-15)由此(21)nnb(0,1,2,3,.)n 10( , )chcosnnnnf x yaxy220(21)(21)chcos24nnnanbayybb1233( 1)8(21) (21) ch2nnbananb121330( 1)chcos8(

5、, )(21)(21) ch2nnnnxybf x ynanb代入式(1-15),并作如下級(jí)數(shù)由邊界條件(1-9)的第一式,確定其中的系數(shù)an等式兩邊同時(shí)乘以(21)cosmydyb，并在區(qū)間(-b/2,b/2)積分,得代入式(1-16),得(1-16)得到應(yīng)力函數(shù)1222330( 1)chcos8( , )(21)4(21) ch2nnnnxybbf x yynanb3550(21)th164223(21)rnnaabdfdxdyabbn3550(21)th16423(21)nttnagdabab gbn(1-17)由式(1-2),可求得由此得(1-18)(1-19) 由薄膜比擬可以推斷，最

6、大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形截面長邊的中點(diǎn),其值為220max2550511(21)(21) th2(21)th16423(21)nntnanbnaababbn3tab gmax2tab(2-20)將式(1-19)和式(1-20)分別寫成(2-21)(2-22) 其中 和 都是僅與比值 有關(guān)的參數(shù)，這兩個(gè)因子通過計(jì)算可以表示如下：/a b 由表可見，對(duì)于很狹長矩形截面的扭桿， 很大，則 和 都趨近于1/3,這時(shí)式(2-21)和(2-22)分別簡(jiǎn)化為式(1-3)和(1-5)。/a b圖 2薄壁桿的扭轉(zhuǎn) 實(shí)際工程上經(jīng)常遇到開口薄壁桿件，例如角鋼、槽鋼、工字鋼等，這些薄壁件其橫截面大都是由等寬的狹長矩形組成。

7、無論是直的還是曲的，根據(jù)薄膜比擬，只要狹長矩形具有相同的長度和寬度，則兩個(gè)扭桿的扭矩及其橫截面剪應(yīng)力沒有多大差別。一 開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)圖 3a1 a2a1a1 a3a2a1 a3213iai 設(shè) 及 分別表示扭桿橫截面的第i個(gè)狹矩形的長度和寬度，ti表示該矩形截面上承受的扭矩，t表示整個(gè)橫截面上的扭矩，i代表該矩形長邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力， 為單位長度扭轉(zhuǎn)角。則由狹長矩形的結(jié)果，得33iiitga23iiiita33iiig at 33iiigtta(2-1)(2-2)由式(2-1)得(2-3)這個(gè)橫截面上的扭轉(zhuǎn)為(2-4)33iitga33iiiita33iiiiiatta由式(2-3)和式(

8、2-4)消去 ,得代回式(2-3)和式(2-4),我們得到值得注意的是：由上述公式給出的狹矩形長邊中點(diǎn)的剪應(yīng)力已相當(dāng)精確，然而，由于應(yīng)力集中的存在，兩個(gè)狹矩形的連接處，可能存在遠(yuǎn)大于此的局部剪應(yīng)力。(2-5)(2-6)1 1ttt(2-6)(2-6)圖圖 4 4(2-6)(2-6)4 4(2-6)(2-6)(2-6)(2-6)ttt二 閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn) 對(duì)于閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)問題，可以通過薄膜比擬法求得近似解答。如圖5所示，假想在薄桿橫截面的外邊界上張一張膜，保證薄膜外邊界的垂度為零，內(nèi)邊界處的垂度為常量。由于桿壁厚度很小，所以沿壁的厚度方向薄膜的斜率可視為常量。于是，在桿壁的厚度 處，剪應(yīng)

9、力的大小應(yīng)等于薄膜的斜率，即 設(shè)外邊界所包圍面積的平均值（即薄壁桿件截面中線所包圍的面積）為a，于是有h2tah(2-7)(2-8)其中，h為桿壁厚度 薄膜的垂度。圖 5由此得代入式（2-7）得 可見，剪應(yīng)力與桿壁的厚度成反比，最大的剪應(yīng)力發(fā)生在桿壁最薄處。2tha2ta2ta2g a 為了求出單位長度扭轉(zhuǎn)角，先求出桿橫截面中心線上的應(yīng)力環(huán)量，以a表示中心線所包圍的面積，于是有(2-9)42tsa g24ta g(2-10)得如果桿壁為等厚度的，則其中，s為桿截面中心線的長度。 若閉口的薄壁桿有凹角在凹角處有可能發(fā)生高度的應(yīng)力集中現(xiàn)象。比值 和 之間的關(guān)系，如圖6所示。其中 為圓角半徑。max

10、/ 圖 6 111222121 112333hhhh 對(duì)于薄壁桿的橫截面有兩個(gè)孔的多連通域情況，如圖7所示，由于桿壁厚都很小，于是有其中，h1和h2表示薄膜內(nèi)邊界s1和s2的高度。(2-11)圖 7再分別對(duì)兩根中心閉合線acba和abda求應(yīng)力環(huán)量，有13123222acbbabdaabdsdsg adsdsg a(2-13) 求得扭矩11222()ta ha h11 12222()taa 也可以表示為(2-12)若 、 為常數(shù)，則式（2-13）可變?yōu)榍蟮? 13 312 23 3222ssg assg a1212123 212 312122213 223 112 3123 121 31222

11、2213 223 112 3121 212 12322213 223 112 312()2()()2()2()ts asaas as asaats asaas as asaats as as as asaa 121 231 322 3122213 223 112 312()4()t s ss ss sgs as asaa (2-14)(2-15)(2-16)12例例2 2 兩個(gè)截面完全相同的變厚度 薄壁桿如圖8所示，其中（a）為閉口，（b）為開口，試分析兩桿件在抗扭轉(zhuǎn)剛度和最大剪應(yīng)力方面的特點(diǎn)。解解（1）開口薄壁桿由式(2-6),得單位長度扭轉(zhuǎn)角：截面扭轉(zhuǎn)剛度：3333iittgagds3333iigdsgatgd3333iiiiittads剪應(yīng)力：最大剪應(yīng)力：maxmaxmaxmax3333( )iiittads最大剪切力發(fā)生