矢量分析與場論

1、第一章第一章 引言引言 1.6矢量分析矢量分析與與場論場論步入步入微分形式微分形式麥克斯韋方程的麥克斯韋方程的數(shù)學準備數(shù)學準備第四講第四講積分與微分形式的麥克斯韋方程sl dstbdle sl dstdjdlhvvsdv dsd0 sdsbtbe0 btdjhv d積分形式積分形式微分形式微分形式積分形式的麥氏方程積分形式的麥氏方程反映場在反映場在局部區(qū)域的平均性質(zhì)局部區(qū)域的平均性質(zhì)，而微分，而微分形式的麥氏方程形式的麥氏方程反映場在空間反映場在空間每一點性質(zhì)每一點性質(zhì)。 是什么？是什么？ 是什么？是什么？ 是什么？是什么？1. 矢量分析初步矢量分析初步概念：標量、矢量與場標量標量：只有大小，

2、沒有方向，這種物理量叫做標量，如溫：只有大小，沒有方向，這種物理量叫做標量，如溫度度t、電荷密度、電荷密度 。矢量矢量：要用大小及方向同時表示的物理量叫矢量。如速度：要用大小及方向同時表示的物理量叫矢量。如速度v、電場強度、電場強度e。場場：如果在空間域：如果在空間域 上，每一點都存在一確定的物理量上，每一點都存在一確定的物理量a，我們就說：場域我們就說：場域 上存在由場量上存在由場量a構(gòu)成的場。構(gòu)成的場。如果如果a是標量，我們就說場域是標量，我們就說場域 上存在一上存在一標量場標量場；如果；如果a是是矢量，則說明場域矢量，則說明場域 上存在一上存在一矢量場矢量場。場是物質(zhì)存在的一種形態(tài)，但有

3、別于實物粒子場是物質(zhì)存在的一種形態(tài)，但有別于實物粒子。在空間同。在空間同一點上同時允許存在多種場，或者一種場的多種模式。這一點上同時允許存在多種場，或者一種場的多種模式。這與實物粒子的不可入性和排他性有天壤之別。與實物粒子的不可入性和排他性有天壤之別。你能列舉多少標量、矢量、場？你能列舉多少標量、矢量、場？矢量表示及其加法運算矢量可表示成：矢量可表示成：0aaa 模模單位矢量單位矢量矢量加法矢量加法（按四邊形法則進行）（按四邊形法則進行）矢量的點乘和叉乘ab = baa b = -b a場量的空間位置表示場量的空間位置表示空間位置：空間位置：（位矢）（位矢）模模直角坐標系直角坐標系中單位矢量中

4、單位矢量之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：場矢量：場矢量：ab與與ab計算計算算符算符 是一個矢量。是一個矢量。 與一般的矢量不同，它有微分運算功能。與一般的矢量不同，它有微分運算功能。 作用于一標量場作用于一標量場 ( (x x, , y y, , z z) )可得到一個矢量可得到一個矢量000zyxzyx000000zyxzyxzyxzyx算符算符:算符算符 作用于一矢量場，如果是叉積運算，得到一個新的矢作用于一矢量場，如果是叉積運算，得到一個新的矢量場量場zayaxaaaazyxzyxzyx000000zyxzyxa222222000000zyxzyxzyxzyxzyx000000zyxzyxay

5、axaxazazayaaaazyxxyzxyzzyx 作用于一矢量場作用于一矢量場a(x, y, z) ，如果是點乘運算得到一，如果是點乘運算得到一標量場標量場2. 場論初步場論初步等值面、方向?qū)?shù)與梯度梯度梯度：是矢量，方向為電位變化最陡的方向，即最：是矢量，方向為電位變化最陡的方向，即最大方向?qū)?shù)的方向，大小變化最大方向的變化率，大方向?qū)?shù)的方向，大小變化最大方向的變化率，即最大方向?qū)?shù)即最大方向?qū)?shù)梯度grad = 的表達式標量場梯度的物理意義矢量矢量總之總之： 位函數(shù)的梯度位函數(shù)的梯度是一矢量，其方向為位變化是一矢量，其方向為位變化最陡的方向，大小為位變化最大方向上的變化率。最陡的方向

6、，大小為位變化最大方向上的變化率。充分描述了場空間變化特征標量場標量場 的的梯度梯度充分描述了標量場充分描述了標量場 在空間變化的在空間變化的特征特征: 場中任一點（場中任一點（x, y, zx, y, z）沿任一方向的變化率（即方）沿任一方向的變化率（即方向?qū)?shù)）是不一樣的。最大變化率（即最大方向?qū)?shù)）向?qū)?shù)）是不一樣的。最大變化率（即最大方向?qū)?shù)）的方向就是梯度的方向就是梯度的方向，最大變化率（即最大方向的方向，最大變化率（即最大方向?qū)?shù)）就是梯度導數(shù)）就是梯度的大小。的大小。 在任一方向在任一方向l0 的投影（的投影（l0）就是該方向的）就是該方向的變化率變化率（即該方向的方向?qū)?shù)）。因

7、此梯度（即該方向的方向?qū)?shù)）。因此梯度是描述是描述標量場標量場 隨空間變化特性非常好的一個物理量。隨空間變化特性非常好的一個物理量。經(jīng)過經(jīng)過梯度運算，可由一個標量場得到一個矢量場梯度運算，可由一個標量場得到一個矢量場通量的定義：通量的定義：場矢量場矢量a沿有向曲面沿有向曲面s的曲面的曲面積分。積分。矢量場通量的物理意義如定義如定義an為矢量為矢量a在面元法線在面元法線n方向的投影，方向的投影，則則ads=ands；若把；若把a理解為流體的流速，則理解為流體的流速，則ands就表示穿過就表示穿過ds的流量，的流量，這就是叫通量的原這就是叫通量的原因。因。對于閉曲面對于閉曲面s，取其外側(cè)為正，則，

8、取其外側(cè)為正，則表示表示a從從s流出的通量流出的通量表示？表示？ 0 時，時， 0 時，時， = 0 時，時，表示有凈流量流出，存在流體源表示有凈流量流出，存在流體源表示有凈流量流入，存在流體負源表示有凈流量流入，存在流體負源表示沒有凈流量流出，無凈流體源表示沒有凈流量流出，無凈流體源取一立方體單元，體積為取一立方體單元，體積為 v x y z, 考慮考慮x方向分量方向分量場量場量梯度梯度的的散度散度拉氏算符拉氏算符 2 矢量場a沿有向閉合曲線l的環(huán)量ldla矢量場矢量場a在閉合線上的線積分在閉合線上的線積分定義為定義為a沿沿l的環(huán)量的環(huán)量旋度curl a環(huán)量面密度環(huán)量面密度a沿正沿正 l方向

9、的環(huán)量方向的環(huán)量與面積與面積 s在在m點處保持以點處保持以n為法線方向條為法線方向條件下，以任意方式推向件下，以任意方式推向m點時，點時，其極限為：其極限為：這稱為這稱為矢量場矢量場a在在m點處沿點處沿n方向的環(huán)量面密度方向的環(huán)量面密度，它，它是一個是一個與方向有關(guān)與方向有關(guān)的量。的量。旋度curl a的定義與標量場中梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系類似，與標量場中梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系類似，梯度在某一方向上的投影就是該方向的方向?qū)荻仍谀骋环较蛏系耐队熬褪窃摲较虻姆较驅(qū)?shù)；當數(shù)；當n方向與方向與curla方向一致時，得到最大方向一致時，得到最大環(huán)量在密度。環(huán)量在密度。旋度curl a的計算cbay

10、z0dlyz矢量場旋度在一個面積元上的計算矢量場旋度在一個面積元上的計算abcddaonzyzylyzyzdzadyadzadyadcdonbconabonyzla旋度curl a的計算(1)當矩形當矩形abcd0時，即時，即 y, z0, 這時這時ay，az近似為近似為常常數(shù)數(shù)，則：，則： 因此因此旋度curl a的計算(2)同理：同理：斯托克斯定理有限面積有限面積s分解成面元分解成面元 sn（0），），由旋度定義，則有：由旋度定義，則有：左邊為：左邊為：右邊為：右邊為：相鄰面元交界相鄰面元交界線上的線積分線上的線積分相互抵消相互抵消矢量場的分類矢量場的分類(1)亥姆霍茲定理一個矢量場的性質(zhì)

11、由一個矢量場的性質(zhì)由激發(fā)場的源激發(fā)場的源來確定來確定源有兩類：散度源（通量源）源有兩類：散度源（通量源） 旋度源（渦旋源）旋度源（渦旋源）q: 若已知一個矢量場的散度或旋度，能否唯一確定該若已知一個矢量場的散度或旋度，能否唯一確定該矢量場？矢量場？a: 能！這就是亥姆霍茲定理能！這就是亥姆霍茲定理如果在體積如果在體積v內(nèi)的矢量場內(nèi)的矢量場a的散度和旋度已知，在的散度和旋度已知，在v的的邊界邊界s上上a的值也已知，則在的值也已知，則在v內(nèi)任一點內(nèi)任一點a的值能唯一的值能唯一確定。（證明略去）確定。（證明略去）據(jù)此定理，任一矢量場據(jù)此定理，任一矢量場a能分解為一個無旋場和一個能分解為一個無旋場和一

12、個無源場之和。無源場之和。產(chǎn)生場的源(r, t)、 j(r, t)怎么表示？產(chǎn)生場的源產(chǎn)生場的源 (r, t)、 j(r, t)或其對應復量或其對應復量 (r)、 j(r)的表示的表示體電荷密度體電荷密度 v(r)c/m3面電荷密度面電荷密度 s(r)c/m2線電荷密度線電荷密度 l(r)c/m點電荷點電荷qc體電流密度體電流密度jv(r) = vva/m2面電流密度面電流密度js(r) = sva/m線電流密度線電流密度jl(r) = lva半導體中半導體中jc= ve v = v ee = ee （電子導電）（電子導電）jc= vh v = v he = he （空穴導電）（空穴導電）by

13、by:矢量運算的幾個恒等關(guān)系由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定義，可推導出由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定義，可推導出以下矢量運算恒等關(guān)系：以下矢量運算恒等關(guān)系：例題1-9證明：直角坐標系下證明：直角坐標系下(a)( a)- 2a解：解：例題1-10例題例題1-10(1)小結(jié)、復習復習要點復習要點n算符算符 既是矢量，又有微分運算功能既是矢量，又有微分運算功能。 作用于一標量場作用于一標量場 可得到一矢可得到一矢量場量場。 作用于一矢量場作用于一矢量場a，如進行點積運算得到一標量場，如進行點積運算得到一標量場 a，如果進行一矢積運算可得到一矢量如果進行一矢積運算可得到一矢量a。n標量場標量場 的的梯度梯度grad 是一矢量，其模為最大方向?qū)?shù)，方向為場最是一矢量，其模為最大方向?qū)?shù)，方向為場最大變化率方向大變化率方向 grad = n矢量場矢量場a的散度的散度diva反映反映矢量場的通量體密度矢量場