概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)

1、1、隨機(jī)事件的表示，由簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算表達(dá)復(fù)雜事件；2、概率的運(yùn)算性質(zhì)，如加法公式，減法公式，乘法公式等；3、條件概率公式，全概率公式，貝葉斯公式；4、事件獨(dú)立性定義 例. 試用a、b、c 表示下列事件： a 出現(xiàn)； 僅 a 出現(xiàn)； 恰有一個(gè)出現(xiàn)； 至少有一個(gè)出現(xiàn)； 至多有一個(gè)出現(xiàn)； 都不出現(xiàn)； 不都出現(xiàn)； 至少有兩個(gè)出現(xiàn)； abcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabacbca)()()()(abpbpapbap)()()()()(,bpapbpapbapba獨(dú)立若)()()(,bpapbapba不相容若)()()(abpapbap加法公式加法公式減法公式減法公

2、式 例、p(a)=0.4，p(b)=0.3，p(ab)=0.6， 求 p(ab). )()()()()(0)(,)()()(apabpbpbapabpbpbpabpbapiniiniibbbbbpbpbapap兩兩不相容，且全概率公式, 0)(),()()(211niiiiiibpbapbpbapabp1)()()()()(貝葉斯公式條件概率條件概率乘法公式乘法公式111anbna bn ma bn m1、會(huì)由隨機(jī)變量的已知分布律或密度函數(shù)求出其分布函數(shù)；2、六種重要分布的分布律和密度函數(shù)；3、有關(guān)正態(tài)分布的概率計(jì)算；4、會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的分布；xxxidxxfxxpxxpxfi)()()()

3、()()( )( )( )ibixabap xxp axbf bf af x dx一、分布函數(shù)、分布律、密度函數(shù)、概率之間關(guān)系一、分布函數(shù)、分布律、密度函數(shù)、概率之間關(guān)系例x 0 1 2p 1/3 1/6 1/2求 x 的分布函數(shù).0, 01/3, 01( )1/2, 121, 2 xxf xxx解：例設(shè) x 1,10( ) 1, 01 0, xxf xxx 其 它求 f(x).220,11,1022( )1,01221,1 xxxxf xxxxx解：離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：（0-1）分布）分布： px=1=p, px=0=1-p 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布：x b (n，p)：()(1),0,1

4、,kkn knp xkc ppkn泊松分布泊松分布:x p () ：, (0)0,1,2,!kep xkkk二、幾種重要分布二、幾種重要分布連續(xù)型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：均勻分布：均勻分布：xu(a,b),1,( )0,a x bf xb a el s e,0( )0 xexf x，else，指數(shù)分布：指數(shù)分布：xexp()22()21( ),2xf xexr正態(tài)分布：正態(tài)分布：xn( , 2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：221( )d ,2txxetx一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理 設(shè) x n(, 2),xy則 y n(0, 1).結(jié)論: 若 x n(, 2), 則( )xf x 設(shè) x n(1

5、0, 4), 求 p(10x13), p(|x10|2).解: p(10x13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5p(|x10|2) = p(8x0, 令則有 e(y)=0, var(y)=1.()var()xe xxy稱 y 為 x 的標(biāo)準(zhǔn)化.常見(jiàn)常見(jiàn) 分布分布 的數(shù)學(xué)期望和方差的數(shù)學(xué)期望和方差分布期望參數(shù)為p 的 0-1分布pb(n,p)npp()方差p(1p)np(1p)分布期望區(qū)間(a,b)上的均勻分布2ba exp()1n(, 2)12)(2ab 方差212 第4章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布1、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律和聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)；2、由聯(lián)合分布

6、律或聯(lián)合密度函數(shù)計(jì)算有關(guān)二維隨機(jī)變量的某個(gè)概率；3、由聯(lián)合分布求邊緣分布；會(huì)判斷兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性；4、兩個(gè)隨機(jī)變量和及最大值最小值的分布計(jì)算公式；5、協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)公式；gyxjigyxdxdyyxfyyxxpgyxpji),(),(),(),(),(一、聯(lián)合分布函數(shù)（分布律，密度函數(shù)）、概率一、聯(lián)合分布函數(shù)（分布律，密度函數(shù)）、概率若 (x, y) (23 )6,0, 0( , )0,xyexyf x y其 它試求 p(x, y)d, 其中d為 2x+3y6.dxyxfyfdyyxfxfyx),()(,),()(二、邊際分布與獨(dú)立性二、邊際分布與獨(dú)立性)()(),(,)()(),(,y

7、fxfyxfyxyypxxpyyxxpyxyxyxjijiji對(duì)任意對(duì)任意相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)與已知 (x, y) 的聯(lián)合密度為 ,0, 0;( , )0 ,.xyexyf x y 其 他問(wèn) x 與y 是否獨(dú)立？()0d0( )00 x yxeyexf xx, 0( ) 0,0yeyf yy所以x 與y 獨(dú)立。注意：f(x, y) 可分離變量.解: 邊緣密度函數(shù)分別為:221212, , , , 則 x n ( )，211, y n ( ).222, 2、二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布.3、 若 (x, y) 服從二元正態(tài) n ( ) 則 x與y 獨(dú)立的充要條件是 = 0.22121

8、2, , , , 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量x與y 獨(dú)立， 則 z=x+ y 的密度函數(shù)為( )( )()d =()( )dzxyxyfzfx fzxxfzy fyy三、兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布的計(jì)算dyyyzfzfdxxzxfzfzz),()(),()(或設(shè)離散隨機(jī)變量 x 與 y 獨(dú)立，則 z=x+ y 的分布列為11)()() ()()( = liliiljjjp xxp yzxp xzyp yyp zz若 x b(n1, p)，y b(n2, p)，注意：若 xi b(1, p)，且獨(dú)立，則 z = x1 + x2 + + xn b(n, p).且獨(dú)立，則 z = x+ y b(n1+n2, p).若

9、 x p(1) ，y p(2)，且獨(dú)立，則 z = x+ y p(1+2).若 x n( )，y n( ) ，注意： x y 不服從 n( ).211, 222, 則 z = x y n( ).221212, 221212, x y n( ).221212, xi n(i, i2), i =1, 2, . n. 且 xi 間相互獨(dú)立, 實(shí)數(shù) a1, a2, ., an 不全為零, 則22111 , iiinniiiniiiaaa xn( ,) (,) ( , )( , ) ( , )ijijijg x y p xx yye g x yg x y f x y dxdy 四、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)四

10、、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)()() ( ),()()( )2(, )()( )e xye x e yvar xyvar xvar ycov x yvar xvar y獨(dú)立獨(dú)立,( , )( )( )()( ) ( )( , )( )( )x ycov x ye xe xye ye xye x e ycov x yvar x var y 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理1、掌握chebyshev不等式，2、知道大數(shù)定律的基本結(jié)論，3、會(huì)用中心極限定理求概率的近似值。定理定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理獨(dú)立同分布下的中心極限定理）設(shè)設(shè)x1,x2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且變量序列，且e(xi)= d(xi)= ，i=1,2,，則，則2 分布近似服從) 1 , 0(21nnnxyniin定理定理2( (棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理）n分布近似服從) 1 , 0()1 (npnpnpynn都是兩點(diǎn)分布。每個(gè)iniinxx ,1已知某種疾病的發(fā)病率為已知某種疾