大學(xué)課件高等數(shù)學(xué)下學(xué)期97場論初步

1、1/7第七節(jié)第七節(jié) 場論初步場論初步幾類特殊的場幾類特殊的場2/7在物理學(xué)中，把分布著某種物理量的平面或在物理學(xué)中，把分布著某種物理量的平面或者空間區(qū)域稱為場。如果形成場的物理量是者空間區(qū)域稱為場。如果形成場的物理量是數(shù)量，就稱為是數(shù)量場，例如溫度場、密度數(shù)量，就稱為是數(shù)量場，例如溫度場、密度場、電位場都是數(shù)量場；如果形成的物理量場、電位場都是數(shù)量場；如果形成的物理量是向量，則稱為是向量場，例如速度場、引是向量，則稱為是向量場，例如速度場、引力場都是向量場。力場都是向量場。散度和旋度是描述向量場特征的兩個基本概散度和旋度是描述向量場特征的兩個基本概念。上一節(jié)在介紹高斯公式和斯托克斯公式念。上一

2、節(jié)在介紹高斯公式和斯托克斯公式的物理意義時我們已經(jīng)介紹過散度和旋度的的物理意義時我們已經(jīng)介紹過散度和旋度的概念。本節(jié)將介紹幾類特殊的場概念。本節(jié)將介紹幾類特殊的場3/7幾類特殊的場幾類特殊的場1.無源場無源場 在向量場在向量場 中，如果對于中，如果對于 內(nèi)任內(nèi)任意一點意一點 ，都有，都有 則稱向量場則稱向量場 為無為無源場源場 )(mmaam0)(mdivaa對于重力場對于重力場 有有mgf, 0 , 00)(00zmgdivf因此重力場是無源場因此重力場是無源場4/72.無旋場無旋場 在向量場在向量場 中，如果對于中，如果對于 內(nèi)任內(nèi)任意一點意一點 ，都有，都有 則稱向量場則稱向量場 為無為

3、無旋場旋場 )(mmaam0)(mrotaa對于重力場對于重力場 有有mgf, 0 , 000 , 0 , 000mgzyxkjirotf因此重力場也是無旋場因此重力場也是無旋場5/73.調(diào)和場調(diào)和場 如果向量場如果向量場 既是無源場又是無既是無源場又是無旋場，即對任一點旋場，即對任一點 ，有，有 則稱向量場則稱向量場 為調(diào)和場為調(diào)和場 )(mmaaam0)(mdiva重力場重力場 顯然是調(diào)和場顯然是調(diào)和場mgf, 0 , 00)(mrota6/74.有勢場有勢場 對于向量場對于向量場 ，如果存在單值函，如果存在單值函數(shù)數(shù) ，使得，使得 則稱向量場則稱向量場 為有勢場，稱為有勢場，稱 為為 的

4、勢函數(shù)的勢函數(shù))(mmaaa)(mmuuzuyuxuua,ua5.保守場保守場 對于向量場對于向量場 ，如果曲線積分，如果曲線積分在在 內(nèi)與路徑無關(guān)，則稱內(nèi)與路徑無關(guān)，則稱 為保守場，其中為保守場，其中 為為 內(nèi)任意兩點內(nèi)任意兩點)(mmaabadlma)(aba,7/7下面的定理說明了無旋場、有勢場與保守場是等價的下面的定理說明了無旋場、有勢場與保守場是等價的定理：設(shè)定理：設(shè) 為一維單連通域為一維單連通域 ，其中，其中 在在 內(nèi)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則以下四個命題等價內(nèi)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則以下四個命題等價rqpa,rqp,1. 是一個無旋場，即在是一個無旋場，即在 內(nèi)恒有內(nèi)恒有ypxqxrzpzqyr,a2. 沿沿 內(nèi)任一簡單閉曲線內(nèi)任一簡單閉曲線 均有環(huán)量均有環(huán)量0rdzqdypdxdla3. 是保守場，即在是保守場，即在 內(nèi)曲線積分內(nèi)曲線積分 與路