大學(xué)課件高等數(shù)學(xué)下學(xué)期97場(chǎng)論初步

1、1/7第七節(jié)第七節(jié) 場(chǎng)論初步場(chǎng)論初步幾類特殊的場(chǎng)幾類特殊的場(chǎng)2/7在物理學(xué)中，把分布著某種物理量的平面或在物理學(xué)中，把分布著某種物理量的平面或者空間區(qū)域稱為場(chǎng)。如果形成場(chǎng)的物理量是者空間區(qū)域稱為場(chǎng)。如果形成場(chǎng)的物理量是數(shù)量，就稱為是數(shù)量場(chǎng)，例如溫度場(chǎng)、密度數(shù)量，就稱為是數(shù)量場(chǎng)，例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)、電位場(chǎng)都是數(shù)量場(chǎng)；如果形成的物理量場(chǎng)、電位場(chǎng)都是數(shù)量場(chǎng)；如果形成的物理量是向量，則稱為是向量場(chǎng)，例如速度場(chǎng)、引是向量，則稱為是向量場(chǎng)，例如速度場(chǎng)、引力場(chǎng)都是向量場(chǎng)。力場(chǎng)都是向量場(chǎng)。散度和旋度是描述向量場(chǎng)特征的兩個(gè)基本概散度和旋度是描述向量場(chǎng)特征的兩個(gè)基本概念。上一節(jié)在介紹高斯公式和斯托克斯公式念。上一

2、節(jié)在介紹高斯公式和斯托克斯公式的物理意義時(shí)我們已經(jīng)介紹過散度和旋度的的物理意義時(shí)我們已經(jīng)介紹過散度和旋度的概念。本節(jié)將介紹幾類特殊的場(chǎng)概念。本節(jié)將介紹幾類特殊的場(chǎng)3/7幾類特殊的場(chǎng)幾類特殊的場(chǎng)1.無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng) 在向量場(chǎng)在向量場(chǎng) 中，如果對(duì)于中，如果對(duì)于 內(nèi)任內(nèi)任意一點(diǎn)意一點(diǎn) ，都有，都有 則稱向量場(chǎng)則稱向量場(chǎng) 為無(wú)為無(wú)源場(chǎng)源場(chǎng) )(mmaam0)(mdivaa對(duì)于重力場(chǎng)對(duì)于重力場(chǎng) 有有mgf, 0 , 00)(00zmgdivf因此重力場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)因此重力場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)4/72.無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng) 在向量場(chǎng)在向量場(chǎng) 中，如果對(duì)于中，如果對(duì)于 內(nèi)任內(nèi)任意一點(diǎn)意一點(diǎn) ，都有，都有 則稱向量場(chǎng)則稱向量場(chǎng) 為無(wú)為

3、無(wú)旋場(chǎng)旋場(chǎng) )(mmaam0)(mrotaa對(duì)于重力場(chǎng)對(duì)于重力場(chǎng) 有有mgf, 0 , 000 , 0 , 000mgzyxkjirotf因此重力場(chǎng)也是無(wú)旋場(chǎng)因此重力場(chǎng)也是無(wú)旋場(chǎng)5/73.調(diào)和場(chǎng)調(diào)和場(chǎng) 如果向量場(chǎng)如果向量場(chǎng) 既是無(wú)源場(chǎng)又是無(wú)既是無(wú)源場(chǎng)又是無(wú)旋場(chǎng)，即對(duì)任一點(diǎn)旋場(chǎng)，即對(duì)任一點(diǎn) ，有，有 則稱向量場(chǎng)則稱向量場(chǎng) 為調(diào)和場(chǎng)為調(diào)和場(chǎng) )(mmaaam0)(mdiva重力場(chǎng)重力場(chǎng) 顯然是調(diào)和場(chǎng)顯然是調(diào)和場(chǎng)mgf, 0 , 00)(mrota6/74.有勢(shì)場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng) 對(duì)于向量場(chǎng)對(duì)于向量場(chǎng) ，如果存在單值函，如果存在單值函數(shù)數(shù) ，使得，使得 則稱向量場(chǎng)則稱向量場(chǎng) 為有勢(shì)場(chǎng)，稱為有勢(shì)場(chǎng)，稱 為為 的

4、勢(shì)函數(shù)的勢(shì)函數(shù))(mmaaa)(mmuuzuyuxuua,ua5.保守場(chǎng)保守場(chǎng) 對(duì)于向量場(chǎng)對(duì)于向量場(chǎng) ，如果曲線積分，如果曲線積分在在 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，則稱內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，則稱 為保守場(chǎng)，其中為保守場(chǎng)，其中 為為 內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn))(mmaabadlma)(aba,7/7下面的定理說明了無(wú)旋場(chǎng)、有勢(shì)場(chǎng)與保守場(chǎng)是等價(jià)的下面的定理說明了無(wú)旋場(chǎng)、有勢(shì)場(chǎng)與保守場(chǎng)是等價(jià)的定理：設(shè)定理：設(shè) 為一維單連通域?yàn)橐痪S單連通域 ，其中，其中 在在 內(nèi)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則以下四個(gè)命題等價(jià)內(nèi)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則以下四個(gè)命題等價(jià)rqpa,rqp,1. 是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，即在是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，即在 內(nèi)恒有內(nèi)恒有ypxqxrzpzqyr,a2. 沿沿 內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線 均有環(huán)量均有環(huán)量0rdzqdypdxdla3. 是保守場(chǎng)，即在是保守場(chǎng)，即在 內(nèi)曲線積分內(nèi)曲線積分 與路