大學(xué)課件高等數(shù)學(xué)下學(xué)期94第一類曲面積分

1、1/27第一型曲面積分的概念及性質(zhì)第一型曲面積分的概念及性質(zhì)曲面面積的計算曲面面積的計算第一型曲面積分的計算第一型曲面積分的計算小結(jié)小結(jié)2/27( , , )f x y z 若若幾幾何何形形體體 是是空空間間曲曲面面 時時，三三元元函函數(shù)數(shù)在在曲曲面面 上上的的積積分分稱稱為為第第一一型型曲曲面面積積分分，記記為為：( , , )f x y z ds 一、第一型曲面積分的概念及性質(zhì)一、第一型曲面積分的概念及性質(zhì)1第一型曲面積分的概念第一型曲面積分的概念 如如果果 是是封封閉閉曲曲面面，常常記記為為( , , )f x y z ds 3/27( , , )( , , ).f x y z dsf

2、x y z 的的物物理理意意義義表表示示以以為為面面密密度度的的非非均均勻勻有有質(zhì)質(zhì)曲曲面面 的的質(zhì)質(zhì)量量2第一型曲面積分的物理意義第一型曲面積分的物理意義( , , )1,f x y z 當(dāng)當(dāng)時時ds 的的面面積積3第一型曲面積分的幾何意義第一型曲面積分的幾何意義4/27( , )f xy z 當(dāng)在逐片光滑曲面 上當(dāng)在逐片光滑曲面 上第一型曲面積分存在第一型曲面積分存在.連續(xù)連續(xù), ,4存在條件存在條件則則及及可可分分為為分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21 1d),( szyxf szyxfd),(d2( , , )f x y zs 5性質(zhì)性質(zhì)5/27 補充補充設(shè)分片光滑的設(shè)分片光滑的

3、szyxfd),(x的奇函數(shù)的奇函數(shù)x的偶函數(shù)的偶函數(shù).d),(21 szyxf. 0),(:1 zyxx 其中其中 , 0則則曲面曲面關(guān)于關(guān)于yoz面對稱面對稱, ,為為當(dāng)當(dāng)),(zyxf為為當(dāng)當(dāng)),(zyxf6/27二、曲面面積的計算二、曲面面積的計算 d(1) 設(shè)曲面設(shè)曲面s的方程為：的方程為：),(yxfz ,dd ,d),( yx點點.),(,(的切平面的切平面上過上過為為yxfyxms ,d邊界為準(zhǔn)線邊界為準(zhǔn)線以以 如圖如圖,),(yxmads xyzo ;dss為為截曲面截曲面,da為為截切平面截切平面 sadd 設(shè)小區(qū)域設(shè)小區(qū)域則有則有母線平行于母線平行于z軸的小柱面軸的小柱面

4、,在在xoy面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為d,sd上具有上具有在在dyxf),(),(),(yxfyxfyx和和連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)7/27面面上上的的投投影影在在為為xoyadd d2211cosyxff d1d22yxffa ),(yxmxyzs o 曲面曲面s的面積元素的面積元素 cosd a dyxffa d122曲面曲面s的面積公式的面積公式 dadsdn (, 1)xynff 8/27(3) 設(shè)曲面的方程為設(shè)曲面的方程為),(xzhy 曲面面積公式曲面面積公式zdxyyaxzd122 曲面面積公式曲面面積公式(2) 設(shè)曲面的方程為設(shè)曲面的方程為),(zygx 曲面面積公式曲面面積

5、公式zyxxazydd122 (1) 設(shè)曲面設(shè)曲面s的方程為的方程為),(yxfz yxzzayxdd122 xydyzdzxd9/27xyo a a2解解)0,( yx求球面求球面,2222azyx 含在圓柱體含在圓柱體axyx 22內(nèi)部的那部分面積內(nèi)部的那部分面積.例例由對稱性知由對稱性知,41aa 第一掛限圖形第一掛限圖形 axyxd 221:曲面方程曲面方程222yxaz aaad1axyx 22xyzoyxyxaadd222 于是于是, ,yxzzyxdd122 曲面面積元素為曲面面積元素為10/27xyo a a2d1 1dd4222dyxyxaa2242aa 極坐標(biāo)極坐標(biāo) d1d

6、422aayxzzadyxdd14122 02 cosa0yxyxaadd222 yxzzyxdd122 cosa 11/27例例22yxz )0(22 aaxyx因曲面方程為因曲面方程為,22yxxzx 22yxyzy 所以所以,2 d2 da 2 242a oxzy22yxz axyx 22d22yxz 解解221yxzz 截下的截下的有限曲面片有限曲面片的面積的面積.被柱面被柱面求曲面求曲面a12/27三、第一型曲面積分的計算三、第一型曲面積分的計算, yxf szyxfd),(: 若若曲曲面面則則按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：思想是思想是:yxzzsy

7、xdd1d22 化為二重積分計算化為二重積分計算. .),(yxzyxzzyxdd122 xyd),(yxzz (1)13/27 ,zxf szyxfd),(則則 ,zyf szyxfd),(：若若曲曲面面 則則xzdyzd),(zyxzyxxzydd122 (2)(3),(zyxx ( , )yy x z : 若曲面若曲面( , )y x zd d221xzyyx z14/27確定投影域并寫出確定投影域并寫出 然后算出曲面面積元素然后算出曲面面積元素; ;最后將曲面方程代入最后將曲面方程代入被積函數(shù)被積函數(shù), ,對面積的曲面積分時對面積的曲面積分時, ,首先應(yīng)根據(jù)首先應(yīng)根據(jù)化為二化為二曲面曲

8、面選好投影面選好投影面, ,曲面曲面的方程的方程, ,重積分進行計算重積分進行計算. .15/27xyzo例例解解yz 5投影域投影域:25| ),(22 yxyxdxy5,d)( zyszyx為平面為平面其中其中計算計算 2522 yx被被柱柱面面所截得的部分所截得的部分.: 曲面曲面 szyxd)(xydy 52yxdd故故 )(yxyxzzsyxdd1d22 xydyxxdd)5(2 2125 二重積分二重積分的對稱性的對稱性 xydyxdd52對稱性對稱性d d2 x y 16/27 例例3 求求2(1)dsxy 111解解1 zyxxyzo0,0,0 xyz 的界面.的界面.1xyz

9、, ,其中 為四面體其中 為四面體1,0,0,0zxy xyz投影域投影域:( , )|01,01xydx yyxx: 曲面曲面四面體的界面由四部分組成四面體的界面由四部分組成yxzzsyxdd1d22 3d dx y 17/27 例例3 求求2(1)dsxy 1111 zyxxyzo0,0,0 xyz 的界面.的界面.1xyz, ,其中 為四面體其中 為四面體0 x 投影域投影域:( , )|01,01yzdy zzyy: 2 2曲面曲面ddydz221yzsxxd dy z 18/27 例例3 求求2(1)dsxy 1111 zyxxyzo0,0,0 xyz 的界面.的界面.1xyz, ,

10、其中 為四面體其中 為四面體0y 投影域投影域:( , )|01,01xzdx zzxx: 3 3曲面曲面ddxdz221xzsyyd dx z 19/27 例例3 求求2(1)dsxy 1111 zyxxyzo0,0,0 xyz 的界面.的界面.1xyz, ,其中 為四面體其中 為四面體0z 投影域投影域:( , )|01,01xydx yyxx: 4 4曲面曲面ddxdz221xzsyyd dx z 20/272(1)dsxy 112003(1)xdydxxy 11200(1)ydzdyy 11200(1)xdzdxx 11200(1)xdydxxy 33( 31)ln22 21/27例例

11、所圍成的空間立體的表面所圍成的空間立體的表面. ,dsx計算計算, 122 yx是圓柱面是圓柱面其中其中 02 zxz及及平面平面zxyozxyozxyo22/27解解 2d sx 1 2 3 1d sx dyxxdd0 dyxxdd110 0 z2 xz122 yx投影域投影域1:22 yxd例例所圍成的空間立體的表面所圍成的空間立體的表面. ,dsx計算計算, 122 yx是圓柱面是圓柱面其中其中 02 zxz及及平面平面對稱性對稱性zxyo23/27zxyo(左右兩片投影相同左右兩片投影相同)zxyyszxdd1d22 zxxdd112 sxd1:223 yx 將將投影域投影域選在選在面上面上xoz注注21xy 分成左、右兩片分成左、右兩片 3d sx sxd31 sxd32 31 2 x2xzdzxxdd112 zxxxdd122 01 2 x12 xz sxd 00對稱性對稱