新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí)理數(shù)_第64講空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、1.了解直線的方向向量與平面的法向了解直線的方向向量與平面的法向量的概念；能用向量語(yǔ)言表達(dá)線線、線量的概念；能用向量語(yǔ)言表達(dá)線線、線面、面面的垂直與平行關(guān)系；能用向量面、面面的垂直與平行關(guān)系；能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理理(包括三垂線定理包括三垂線定理).2.能用向量法求空間角、空間距離，能用向量法求空間角、空間距離，體會(huì)向量法在研究立體幾何中的工具性體會(huì)向量法在研究立體幾何中的工具性作用作用.1.已知直線已知直線a的方向向量為的方向向量為a，平面，平面的法向的法向量為量為n，下列結(jié)論成立的是，下列結(jié)論成立的是( )ca.若若an,則則a b.

2、若若an=0,則則ac.若若an,則則a d.若若an=0,則則a 由方向向量和平面法向量的定義由方向向量和平面法向量的定義可知應(yīng)選可知應(yīng)選c.對(duì)于選項(xiàng)對(duì)于選項(xiàng)d，直線，直線a平面平面也滿足也滿足an=0. 2.已知已知、是兩個(gè)不重合的平面，其方向向量是兩個(gè)不重合的平面，其方向向量分別為分別為n1、n2,給出下列結(jié)論：給出下列結(jié)論： 若若n1n2,則則;若若n1n2,則則, 若若n1n2=0,則則;若若n1n2=0,則則. 其中正確的是其中正確的是( )aa. b.c. d.3.在二面角在二面角-l-中，平面中，平面的法向量為的法向量為n，平，平面面的法向量為的法向量為m.若若n,m=130，

3、則二，則二面角面角-l-的大小為的大小為( )ca.50 b.130c.50或或130 d.可能與可能與130毫無(wú)關(guān)系毫無(wú)關(guān)系 因二面角的范圍是因二面角的范圍是0,180，由法向量的夾角與二面角的平面角相等或由法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)可知，二面角的大小可能是互補(bǔ)可知，二面角的大小可能是130也也可能是可能是50.有時(shí)可從實(shí)際圖形中去觀察有時(shí)可從實(shí)際圖形中去觀察出是鈍角或銳角出是鈍角或銳角.4.若直線若直線l的方向向量與平面的方向向量與平面的法向量的的法向量的夾角等于夾角等于120，則直線，則直線l與平面與平面所成所成的角等于的角等于 .30 由題設(shè)，由題設(shè)，l與與所成的角所成的角

4、=90-(180-120)=30.5.已知三棱錐已知三棱錐p-abc各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是p(-1,0,0)，a（0，1，0），），b（-4，0，0），），c（0，0，2），則該三棱錐底面），則該三棱錐底面abc上的高上的高h(yuǎn)= .217 由已知由已知, =(-1,-1,0), =(-4,-1,0), =(0,-1,2).設(shè)平面設(shè)平面abc的法向量的法向量n=(x,y,z), n =-4x-y=0 y=-4x n =-y+2z=0， y=2z，取取x=-1，得，得n=(-1,4,2).則則h= = = .ap ab ac得得則則ab ac|n apn 2221 ( 1)( 1)4

5、0 2|(1 )42 3212171.法向量的有關(guān)概念及求法法向量的有關(guān)概念及求法如果一個(gè)向量所在直線垂直于平面，則該如果一個(gè)向量所在直線垂直于平面，則該向量是平面的一個(gè)法向量向量是平面的一個(gè)法向量.法向量的求法步驟：法向量的求法步驟：(1)設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)n=(x,y,z)；(2)列：根據(jù)列：根據(jù)na=0且且nb=0可列出方程；可列出方程；(3)解：把解：把z看作常數(shù)，用看作常數(shù)，用z表示表示x,y；(4)?。喝∪。喝為任意一個(gè)正數(shù)為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特當(dāng)然取得越特殊越好殊越好)，便得平面法向量，便得平面法向量n的坐標(biāo)的坐標(biāo). 2.立體幾何中的向量方法

6、立體幾何中的向量方法 (1)線線關(guān)系：若不重合的兩直線線線關(guān)系：若不重合的兩直線ab、cd的方向向量分別為的方向向量分別為 、 . 一般關(guān)系：設(shè)直線一般關(guān)系：設(shè)直線ab與與cd所成的角為所成的角為 (0, )，則，則cos=|cos , | = . 特殊關(guān)系特殊關(guān)系:()abcd (用于證明線線垂直用于證明線線垂直); ()abcd 存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù),使使 (用于證明線線平行用于證明線線平行).ab cd 2ab cd |ab cdab cd ab cd =0ab cd ab cd = ab cd (2)線面關(guān)系：若平面線面關(guān)系：若平面外的直線外的直線ab的方的方向向量為向向量為 ，平面，平面

7、的法向量為的法向量為n. 一般關(guān)系一般關(guān)系:設(shè)直線設(shè)直線ab與平面與平面所成的角所成的角為為(0, )，則有，則有sin=|cos ,n| = . 特殊關(guān)系：特殊關(guān)系：()ab n存在實(shí)存在實(shí)數(shù)數(shù)，使，使 =n(用于證明線面垂直用于證明線面垂直)； ()ab n n=0(用于證明線用于證明線面平行面平行).ab 2ab | |ab nabn ab ab ab ab (3)面面關(guān)系：若平面面面關(guān)系：若平面的法向量為的法向量為n，平，平面面的法向量為的法向量為m. 一般關(guān)系一般關(guān)系:設(shè)以設(shè)以,為面的二面角為為面的二面角為(0,),則則與與n,m . 當(dāng)二面角為銳當(dāng)二面角為銳(直直)二面角時(shí)，二面角

8、時(shí)，cos=|cosn,m|= . 當(dāng)二面角為鈍二面角時(shí)當(dāng)二面角為鈍二面角時(shí),cos= . 特殊關(guān)系特殊關(guān)系:()nm . (用于證明面面垂直用于證明面面垂直)；相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ)|n mn m |n mn m nm=0 ()nm存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)，使，使 (用于證明面面平行用于證明面面平行). (4)點(diǎn)到平面的距離：若點(diǎn)到平面的距離：若ab是平面是平面外外的一條線段，的一條線段，b是是ab與平面與平面的交點(diǎn)，平的交點(diǎn)，平面面的法向量為的法向量為n. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)a到平面到平面的距離為的距離為d,則則d等于等于 在在n上的射影的絕對(duì)值上的射影的絕對(duì)值. 即即d=| |cos ,n|= .n=mab

9、 ab ab |ab nn (5)異面直線間的距離：若異面直線異面直線間的距離：若異面直線ab、cd的方向向量分別為的方向向量分別為 、 ，n ，n ，又，又mab，pcd，則異面直線，則異面直線ab、cd間的距離間的距離d= .cd ab |mp nn ab cd 1111例例1 如圖，已知直三棱柱如圖，已知直三棱柱abc-a1b1c1中，中，abc為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，bac=90，且且ab=aa1，d、e、f分別為分別為b1a、c1c、bc的中點(diǎn)的中點(diǎn). (1)求證求證:de平面平面abc； (2)求證求證:b1f平面平面aef. 如圖所示，分別以如圖所示，分別以ab、ac

10、、aa1所在所在直線為直線為x軸、軸、y軸、軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系軸建立空間直角坐標(biāo)系.令令ab=aa1=4，則，則a(0,0,0),e(0,4,2),f(2,2,0), b(4,0,0),b1(4,0,4),c(0,4,0),d(2,0,2),a1(0,0,4). (1)可得可得 =(-2,4,0). 又平面又平面abc的法向量的法向量 為為 =(0,0,4). 因?yàn)橐驗(yàn)?=-20+ 40+04=0， 所以所以de平面平面abc.de1aade1aa(2) =(-2,2,-4), =(2,-2,-2), =(2,2,0)，b1f =(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0，則則 ，所

11、以，所以b1fef， =(-2)2+22+(-4)0=0，則則 ，所以，所以b1faf.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閑faf=f，所，所b1f平面平面aef.1b f ef af ef 1b f ef 1b f af 1b f af 線面和面面平行或垂直關(guān)系的論證應(yīng)用線面和面面平行或垂直關(guān)系的論證應(yīng)用空間向量法時(shí)既可以選擇基向量，將問(wèn)題涉空間向量法時(shí)既可以選擇基向量，將問(wèn)題涉及的線面對(duì)應(yīng)的向量用基向量表示，然后通及的線面對(duì)應(yīng)的向量用基向量表示，然后通過(guò)向量平行或垂直的判定實(shí)現(xiàn)問(wèn)題論證，也過(guò)向量平行或垂直的判定實(shí)現(xiàn)問(wèn)題論證，也可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算判定線面

12、平行或垂直算判定線面平行或垂直. 正方體正方體abcd-a1b1c1d1中，中，e、f分分別是別是bb1、cd的中點(diǎn)的中點(diǎn). (1)證明證明:平面平面aed平面平面a1fd1; (2)在在ae上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)m,使得使得a1m平面平面dae. (1)證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系系d-xyz,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則則d(0,0,0),a(2,0,0),e(2,2,1),f(0,1,0),a1(2,0,2),d1(0,0,2).設(shè)平面設(shè)平面aed的法向量為的法向量為n1=(x1,y1,z1), n1 =(x1,y1,z1)(2,0,0)

13、=0 n1 =(x1,y1,z1)(2,2,1)=0,所以所以2x1=0,2x1+2y1+z1=0.令令y1=1,得得n1=(0,1,-2).則則da de同理可得平面同理可得平面a1fd1的法向量的法向量n2=(0,2,1).因?yàn)橐驗(yàn)閚1n20，所以平面，所以平面aed平面平面a1fd1.(2)由于點(diǎn)由于點(diǎn)m在直線在直線ae上，上，所以可設(shè)所以可設(shè) = =(0,2,1)=(0,2,)，可得可得m(2,2,),于是于是 =(0,2,-2).要使要使a1m平面平面dae,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍1mad,所以只需所以只需a1mae,所以所以 =(0,2,-2)(0,2,1)5-2=0,得得= .故當(dāng)故當(dāng)a

14、m= ae時(shí)，時(shí)，a1m平面平面dae.am ae 1am1amae 2525 本題是通過(guò)證明兩個(gè)平面的法向本題是通過(guò)證明兩個(gè)平面的法向量垂直來(lái)證明兩個(gè)平面垂直的，顯然比量垂直來(lái)證明兩個(gè)平面垂直的，顯然比用傳統(tǒng)的幾何方法證明垂直關(guān)系要簡(jiǎn)單用傳統(tǒng)的幾何方法證明垂直關(guān)系要簡(jiǎn)單得多得多.類(lèi)似地，若要證明兩個(gè)平面平行，類(lèi)似地，若要證明兩個(gè)平面平行，則可以通過(guò)證明兩個(gè)平面的法向量是平則可以通過(guò)證明兩個(gè)平面的法向量是平行向量來(lái)證明行向量來(lái)證明.例例2 單位正方體單位正方體abcd-a1b1c1d1中，中，m、n分別是分別是bc、c1d1的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)求證：求證：mn平面平面b1d1db；(2)求直線

15、求直線mn與平面與平面c1bd所成角的余弦值所成角的余弦值;(3)求點(diǎn)求點(diǎn)m到平面到平面c1bd的距離；的距離；(4)求二面角求二面角a-bc1-d的平面角的余弦值的平面角的余弦值. 正方體是一個(gè)非常適合建立空間直正方體是一個(gè)非常適合建立空間直角坐標(biāo)系的幾何體，問(wèn)題都可以用空間向角坐標(biāo)系的幾何體，問(wèn)題都可以用空間向量的坐標(biāo)計(jì)算解決量的坐標(biāo)計(jì)算解決.問(wèn)題問(wèn)題(1)，可利用方向向，可利用方向向量與平面法向量垂直來(lái)證明；量與平面法向量垂直來(lái)證明；(2)(3)(4)中中都與平面都與平面c1bd的法向量有關(guān)，故先求平面的法向量有關(guān)，故先求平面c1bd的法向量的法向量. (1)證明：以證明：以d為坐標(biāo)原點(diǎn)

16、建立空間直角為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖坐標(biāo)系，如圖.則則m( ,1,0),n(0, ,1)，a1(1,0,1),c1(0,1,1),c(0,1,0),b(1,1,0),b1(1,1,1),所以所以 =(- ,- ,1).在正方體中，易知有在正方體中，易知有a1c1平面平面b1d1db，故故 =(-1,1,0)是平面是平面b1d1db的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量.又又 =(-1,1,0)(- ,- ,1)=0,所以所以 .顯然顯然mn平面平面b1d1db,故故mn平面平面b1d1db.1212mn 121211ac11acmn 121211acmn (2)設(shè)平面設(shè)平面c1bd的法向量為的法向

17、量為n=(x,y,z), =(1,1,0), =(-1,0,1). n =0 x+y=0 n =0 -x+z=0.令令x=1，則，則n=(1,-1,1).設(shè)設(shè)mn與平面與平面c1bd所成的角為所成的角為，則則sin=|cos ，n|= = = ,故故cos= .所以直線所以直線mn與平面與平面c1bd所成角的余弦值為所成角的余弦值為 .db 1bc 則則,即即db mn | |mn nmnn | 0.50.5 1|632 237373(3)dm是平面是平面c1bd的一條斜線段的一條斜線段,平面平面c1bd的法向量為的法向量為n=(1,-1,1).設(shè)設(shè)m到平面到平面c1bd的距離為的距離為d，則

18、則d=| |cos ,n|= = ，所以點(diǎn)所以點(diǎn)m到平面到平面c1bd的距離為的距離為 .dm |dm nn dm 1|10|23 3636(4)平面平面c1bd的法向量為的法向量為n=(1,-1,1).由正方體的性質(zhì)，易知平面由正方體的性質(zhì)，易知平面abc1d1的一個(gè)的一個(gè)法向量為法向量為 =(-1,0,-1).設(shè)二面角設(shè)二面角a-bc1-d的平面角為的平面角為，由圖形易，由圖形易知，知，為銳角為銳角.而而cos=|cosn, |= = = ，故二面角故二面角a-bc1-d的平面角的余弦值為的平面角的余弦值為 .1bc1bc11| |n bcnbc | 1 1|32 6363 立體幾何中空間

19、角、空間距離的計(jì)立體幾何中空間角、空間距離的計(jì)算往往技巧性較強(qiáng)，思路易受阻，可借助算往往技巧性較強(qiáng)，思路易受阻，可借助向量的運(yùn)算，特別是坐標(biāo)運(yùn)算的功能，極向量的運(yùn)算，特別是坐標(biāo)運(yùn)算的功能，極大地減少了邏輯論證的思維量，取而代之大地減少了邏輯論證的思維量，取而代之的是向量帶來(lái)的運(yùn)算量的是向量帶來(lái)的運(yùn)算量.用向量的方法解決用向量的方法解決此類(lèi)問(wèn)題的要點(diǎn)有：建系后，寫(xiě)有關(guān)點(diǎn)此類(lèi)問(wèn)題的要點(diǎn)有：建系后，寫(xiě)有關(guān)點(diǎn)或向量的坐標(biāo)時(shí)要仔細(xì)；要明確空間角、或向量的坐標(biāo)時(shí)要仔細(xì)；要明確空間角、空間距離的向量描述方式；要熟悉本例空間距離的向量描述方式；要熟悉本例中求平面的法向量的方法中求平面的法向量的方法. 如圖，平

20、面如圖，平面abef平面平面abcd,四邊形四邊形a b e f 與與 a b c d 都 是 直 角 梯 形 ，都 是 直 角 梯 形 ，bad=fab=90，bc ad,be af. (1)證明：證明：c、d、f、e四點(diǎn)共面；四點(diǎn)共面； (2)設(shè)設(shè)ab=bc=be，求二面角，求二面角 a-ed-b的大小的余弦值的大小的余弦值.1212 (方法一方法一)（1）證明：延長(zhǎng)證明：延長(zhǎng)dc交交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)g.由由bc ad,得得 = = = .延長(zhǎng)延長(zhǎng)fe交交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)g.同理可得同理可得 = = = ,故故 = ,即即g與與g重合重合,因此直線因此直線cd、ef

21、相交于相交于g,所以所以c、d、e、f四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面.12gbgagcgdbcad12g eg f g bg a beaf12g bg a gbga(2)設(shè)設(shè)ab=1,則則bc=be=1,ad=2.取取ae的中點(diǎn)的中點(diǎn)m，則，則bmae.又由已知得又由已知得ad平面平面abef,故故adbm,因?yàn)橐驗(yàn)閎m與平面與平面ade內(nèi)兩相交直線內(nèi)兩相交直線ad、ae都垂直都垂直,所以所以bm平面平面ade.作作mnde,垂足為垂足為n,連接連接bn.由三垂線定理知由三垂線定理知bned,bnm為二面角為二面角a-ed-b的平面角的平面角.因?yàn)橐驗(yàn)閎m= ,mn= = ,故故tanbnm= = .所以二

22、面角所以二面角a-de-b的大小的余弦值為的大小的余弦值為 .2212ad aede 33bmmn62105(方法二方法二)（1）證明證明:由題意，以由題意，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系a-xyz.設(shè)設(shè)ab=a,bc=b,be=c,則則b(a,0,0),c(a,b,0),e(a,0,c),d(0,2b,0),f(0,0,2c), =(0,b,-c), =(0,2b,-2c).故故 = ,從而由從而由e fd,得得ecfd,故故c、d、f、e四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面.ec fd ec fd 12 (2)由題可設(shè)由題可設(shè)ab=1,則則bc=be=1,a(

23、0,0,0),所以所以b(1,0,0),c(1,1,0),d(0,2,0),e(1,0,1),所以所以 =(0,2,0), =(1,0,1), =(-1,2,0), =(0,0,1).設(shè)平面設(shè)平面ade與平面與平面bde的法向量分別為的法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2), n1 =2y1=0 y1=0 n1 =x1+z1=0 x1=-z1所以所以n1=(-1,0,1).adae bd be 則則adae ,解得解得,取取z1=1,同理，同理，n2=(2,1,0).所以所以cos= = =- ,所以二面角所以二面角a-de-b的大小的余弦值為的大小的余弦值為 .1

24、212|n nnn 225 105105 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐p-abcd中，中，pa底面底面a b c d , d a b 為 直 角為 直 角 , a b c d ，ad=cd=2ab，e、f分別為分別為pc、cd的中點(diǎn)的中點(diǎn). (1)求證：求證：cd平面平面bef； (2)設(shè)設(shè)pa=kab,且二面角且二面角 e-bd-c的平面角大于的平面角大于30, 求求k的取值范圍的取值范圍. 已知三條棱兩兩互相垂直，故可考已知三條棱兩兩互相垂直，故可考慮建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解慮建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解. (1)證明：如下圖，以證明：如下圖，以a為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，ab所所在直線

25、為在直線為x軸，軸，ad所在直線為所在直線為y軸，軸，ap所在所在直線為直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)設(shè)ab=a，則，則易知點(diǎn)易知點(diǎn)a,b,c,d,f的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為a(0，0，0)，b(a,0,0),c(2a,2a,0), d(0,2a,0),f(a,2a,0),從而從而 =(2a,0,0), =(0,2a,0),所以所以 =0,故故 .設(shè)設(shè)pa=b,則則p(0，0，b),而而e為為pc的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，故故e(a,a, )，從而，從而 =(0,a, ).所以所以 =0,故故 .由此得由此得cd平面平面bef.dcbf dcbf dcbf 2bbe 2bdcbe

26、dcbe (2)設(shè)設(shè)e在在xay平面上的投影為平面上的投影為g.過(guò)過(guò)g作作ghbd,垂足為垂足為h.由三垂線定理知由三垂線定理知ehbd.從而從而ehg為二面角為二面角e-bd-c的平面角的平面角.由由pa=kab，得，得p(0,0,ka),e(a,a, ),g(a,a,0).設(shè)設(shè)h(x,y,0),則則 =(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0).由由 =0,得得-a(x-a)+2a(y-a)=0，即即x-2y=-a. 2kaghbd ghbd 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?=(x-a,y,0),且且 與與 的方向相同的方向相同,故故 = ,即即2x+y=2a. 由解得由解得x= a，y= a.從而從而

27、 =(- a,- a,0),| |= a,tanehg= = = .由由k0知知ehg是銳角是銳角.由由ehg30,得得tanehgtan30，即，即 ,解得解得k .故故k的取值范圍為的取值范圍為( ,+).ghbd bhbhxaa 2ya453515gh5535|ehgh255kaa52k52k332 15152 1515 此題的關(guān)鍵是通過(guò)向量的運(yùn)算，把此題的關(guān)鍵是通過(guò)向量的運(yùn)算，把二面角的平面角用二面角的平面角用k表示出來(lái)，利用三角表示出來(lái)，利用三角不等式求不等式求k的取值范圍的取值范圍.1.熟練掌握空間向量的運(yùn)算、性質(zhì)及基熟練掌握空間向量的運(yùn)算、性質(zhì)及基本定理是解決空間向量問(wèn)題的基礎(chǔ)，

28、特別是本定理是解決空間向量問(wèn)題的基礎(chǔ)，特別是共線向量定理、共面向量定理、空間向量分共線向量定理、共面向量定理、空間向量分解定理、數(shù)量積的性質(zhì)等解定理、數(shù)量積的性質(zhì)等.2.利用向量解立體幾何題的一般方法：利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算或證明表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算或證明去解決問(wèn)題去解決問(wèn)題.向量法是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化向量法是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，若能恰當(dāng)選取基底或建立空間為代數(shù)問(wèn)題，若能恰當(dāng)選取基底或建立空間直角坐標(biāo)系，會(huì)使運(yùn)算更簡(jiǎn)捷直角坐標(biāo)系，會(huì)使運(yùn)算更簡(jiǎn)捷.3.利用坐

29、標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題，降利用坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題，降低了推理難度，可以避開(kāi)一些較復(fù)雜的線低了推理難度，可以避開(kāi)一些較復(fù)雜的線面關(guān)系面關(guān)系.但較復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算也容易導(dǎo)致出但較復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算也容易導(dǎo)致出錯(cuò)，因此，在解決問(wèn)題時(shí)，可以靈活地選錯(cuò)，因此，在解決問(wèn)題時(shí)，可以靈活地選用解題方法，不要生搬硬套用解題方法，不要生搬硬套.4.用空間向量解決立體幾何中的平行或用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問(wèn)題一般用向量共線定理；解決兩點(diǎn)共線問(wèn)題一般用向量共線定理；解決兩點(diǎn)間的距離或某一線段的長(zhǎng)度，一般用向量間的距離或某一線段的長(zhǎng)度，一般用向量的模來(lái)解決；求異面直線的夾角，一般可的模來(lái)解決；求異面直線的夾

30、角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)注意轉(zhuǎn)化；解決垂直的范圍不同，最后應(yīng)注意轉(zhuǎn)化；解決垂直問(wèn)題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零問(wèn)題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零.學(xué)例1 (2008江蘇卷江蘇卷)如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)p在棱長(zhǎng)為的正方體在棱長(zhǎng)為的正方體abcd-a1b1c1d1的對(duì)角線的對(duì)角線bd1上，記上，記 =.當(dāng)當(dāng)apc為為鈍角時(shí)，求鈍角時(shí)，求的取值范圍的取值范圍.11d pd b 由題設(shè)可知，以由題設(shè)可知，以 、 、 為單位正為單位正交基底交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d-xyz,則有則有a(1

31、,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),d1(0,0,1).由由 =(1,1,-1),得得 = =(,-),所以所以 = + =(,-,)+(1,0,-1)=(1-,-,-1), = + =(-,-,)+(0,1,-1) =(-,1-,-1).da dc1dd 1d b 1d p 1d b pa 1pd 1d a pc 1pd 1dc 顯然顯然apc不是平角，所以不是平角，所以apc為鈍角為鈍角,等價(jià)于等價(jià)于cosapc=cos = 0,這等價(jià)于這等價(jià)于 0,即即(1-)(-)+(-)(1-)+(-1)2=(-1)(3-1)0, 1.因此，因此，的取值范圍為的取值范圍為( ,1).pa

32、 pc | |pa pcpapc pa pc 1313 (2009天津卷天津卷)如圖，在五面體如圖，在五面體abcdef中中,fa平面平面abcd,adbcfe， abad,m為為ec的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，af=ab=bc=fe= ad (1)求異面直線求異面直線bf與與de所成的角的大?。凰傻慕堑拇笮。?(2)證明平面證明平面amd平面平面cde； (3)求二面角求二面角a-cd-e的余弦值的余弦值.學(xué)例212 (方法一）方法一）(1)由題設(shè)知，由題設(shè)知，bfce，所，所以以ced（或其補(bǔ)角）為異面直線（或其補(bǔ)角）為異面直線bf與與de所成的角所成的角.設(shè)設(shè)p為為ad的中點(diǎn)，連接的中點(diǎn)，連接ep，pc.因因?yàn)闉閒e ap，所以，所以fa ep，同理，同理，ab pc.又又fa平面平面abcd，所以