典型題高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)知識點總結(jié)不等式及線性規(guī)劃

1、不等式及線性規(guī)劃1 四類不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(2)簡單分式不等式的解法變形0(0(1時，af(x)ag(x)f(x)g(x)；當(dāng)0aag(x)f(x)1時，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；當(dāng)0alogag(x)f(x)0，g(x)0.2 五個重要不等式(1)|a|0，a20(ar)(2)a2b22ab(a、br)(3)(a0，b0)(4)ab()2(a，br)(5) (a0，b0)3

2、二元一次不等式(組)和簡單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等(2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可行域；根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點；求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值4 兩個常用結(jié)論(1)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是考點一一元二次不等式的解法例1(2012江蘇)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，br)的值域為0，)，若關(guān)于x的不等式f(x)c的解集為(m，m6)，則實數(shù)c的值為_答案9解析由題意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域為0，)，b0，即b.f(x)2.

3、又f(x)c.2c，即x0.若pq為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是()a(，2) b2,0)c(2,0) d0,2(2)設(shè)命題p：x|02x11，命題q：x|x2(2k1)xk(k1)0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是_答案(1)c(2)解析(1)pq為真命題，等價于p，q均為真命題命題p為真時，m0；命題q為真時，m240，解得2m2.故pq為真時，2m0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時取等號)，3x4y的最小值為5.(2)方法一4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)22xy1，(2xy)221，解之得(2xy)2，即2xy.

4、等號當(dāng)且僅當(dāng)2xy0，即x，y時成立方法二令t2xy，則yt2x，代入4x2y2xy1，得6x23txt210，由于x是實數(shù)，故9t224(t21)0，解得t2，即t，即t的最大值也就是2xy的最大值為.方法三化已知4x2y2xy1為221，令2xycos ，ysin ，則ysin ，則2xy2xyycos sin sin().在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤解題時應(yīng)根據(jù)已知條件適當(dāng)進行添(拆)項，創(chuàng)造應(yīng)用基本不等式的條件(1

5、)已知關(guān)于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為()a1 b. c2 d.答案b解析2x2(xa)2a22a42a，由題意可知42a7，得a，即實數(shù)a的最小值為，故選b.(2)(2013山東)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0.則當(dāng)取得最小值時，x2yz的最大值為()a0 b.c2 d.答案c解析由題意知：zx23xy4y2，則31，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時取等號，此時zxy2y2.所以x2yz2y2y2y22y24y2(y1)222.所以當(dāng)y1時，x2yz取最大值2.考點三簡單的線性規(guī)劃問題例3(2013湖北)某旅行社租用a、b兩種型號的客車安排900名客人旅行，a、b兩種

6、車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且b型車不多于a型車7輛則租金最少為()a31 200元 b36 000元c36 800元 d38 400元答案c解析設(shè)租a型車x輛，b型車y輛時租金為z元則z1 600x2 400yx、y滿足畫出可行域如圖直線yx過點a(5,12)時縱截距最小，zmin51 6002 4001236 800，故租金最少為36 800元(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何

7、意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解(3)對于應(yīng)用問題，要準(zhǔn)確地設(shè)出變量，確定可行域和目標(biāo)函數(shù)(1)(2013山東)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，m為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線om斜率的最小值為()a2 b1 c d(2)(2013北京)設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點p(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是()a. b.c. d.答案(1)c(2)c解析(1)由得a(3，1)此時線om的斜率最小，且為.(2)當(dāng)m0時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點p(x0，y0)滿足x02y02，因此m0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示

8、的平面區(qū)域要使可行域內(nèi)包含yx1上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線yx1的下方即可，即mm1，解得m0b0直線axbyc0上方直線axbyc0下方axbyc0直線axbyc0下方直線axbyc0上方主要看不等號與b的符號是否相向，若同向則在直線上方，若異向則在直線下方，簡記為“同上異下”，這叫b的值判斷法解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點問題要驗證解決1 若實數(shù)x、y滿足4x4y2x12y1，則t2x2y的取值范圍是()a0t2 b0t4c20，且t0，因此有t2，故2l

9、g x(x0)bsin x2(xk，kz)cx212|x|(xr)d.1(xr)答案c解析應(yīng)用基本不等式：x，yr，(當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件當(dāng)x0時，x22xx，所以lglg x(x0)，故選項a不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當(dāng)xk，kz時，sin x的正負(fù)不定，故選項b不正確；由基本不等式可知，選項c正確；當(dāng)x0時，有1，故選項d不正確2 設(shè)ab1，c；acloga(bc)其中所有的正確結(jié)論的序號是()a bc d答案d解析由不等式的基本性質(zhì)可知對；冪函數(shù)yxc(cb1，所以對；由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得logb(ac)logb(

10、bc)，又由對數(shù)的換底公式可知logb(bc)loga(bc)，所以logb(ac)loga(bc)，故選項d正確3 設(shè)ax|x22x30，bx|x2axb0，若abr，ab(3,4，則ab等于()a7 b1 c1 d7答案d解析依題意，a(，1)(3，)，又因為abr，ab(3,4，則b1,4所以a(14)3，b144，于是ab7.故選d.4 (2012陜西)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其全程的平均時速為v，則()aav bvc.v dv答案a解析由小王從甲地往返到乙地的時速分別為a和b，則全程的平均時速為v，又ab，av0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a

11、等于()a. b. c1 d2答案b解析作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)易知直線z2xy過交點a時，z取最小值，由得zmin22a1，解得a，故選b.6 已知變量x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zyax僅在點(3,0)處取到最大值，則實數(shù)a的取值范圍為()a(3,5) b.c(1,2) d.答案b解析如圖所示，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域及直線yax0，要使目標(biāo)函數(shù)zyax僅在點(3,0)處取到最大值(即直線zyax僅當(dāng)經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(3,0)時，在y軸上的截距達到最大)，結(jié)合圖形可知a.二、填空題7 已知p：0，q：4x2xm0，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是

12、_答案6，)解析由p得：00，a1)的圖象恒過定點a，若點a在直線mxny10 (mn0)上，則的最小值為_答案4解析定點a(1,1)，又a在mxny10上，mn1.(mn)24.當(dāng)且僅當(dāng)mn時取等號9 已知實數(shù)x，y滿足若zyax取得最大值時的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個，則a的值為_答案1解析依題意，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示要使zyax取得最大值時的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個，則直線zyax必平行于直線yx10，于是有a1.10(2013浙江)設(shè)zkxy，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k_.答案2解析作出可行域如圖陰影部分所示：由圖可知當(dāng)0k時，直線y

13、kxz經(jīng)過點m(4,4)時z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；當(dāng)k時，直線ykxz經(jīng)過點(0,2)時z最大，此時z的最大值為2，不合題意；當(dāng)k0時，直線ykxz經(jīng)過點m(4,4)時z最大，所以4k412，解得k2，符合題意綜上可知，k2.三、解答題11求解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10.解(1)當(dāng)a0時，原不等式變?yōu)閤11(2)當(dāng)a0時，原不等式可化為a(x1)0.若a0，又因為1或x0，則上式即為(x1)0.當(dāng)1時，原不等式的解集為；當(dāng)1，即a1時，原不等式的解集為；當(dāng)1，即0a1時，原不等式的解集為.綜上所述，當(dāng)a1；當(dāng)0a1時，原不等式的解集為.12某工廠利用輻射對食品進行滅菌

14、消毒，現(xiàn)準(zhǔn)備在該廠附近建一職工宿舍，并對宿舍進行防輻射處理，建防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關(guān)若建造宿舍的所有費用p(萬元)和宿舍與工廠的距離x(km)的關(guān)系式為p(0x8)，若距離為1 km時，測算宿舍建造費用為100萬元為了交通方便，工廠與宿舍之間還要修一條道路，已知購置修路設(shè)備需5萬元，鋪設(shè)路面每公里成本為6萬元設(shè)f(x)為建造宿舍與修路費用之和(1)求f(x)的表達式；(2)宿舍應(yīng)建在離工廠多遠(yuǎn)處，可使總費用f(x)最小，并求最小值解(1)根據(jù)題意得100，所以k800，故f(x)56x,0x8.(2)因為f(x)2(3x5)5805，當(dāng)且僅當(dāng)2(3x5)即x5時f(x)min75.所以宿舍應(yīng)建在離廠5 km處，可使總費用f(x)最小，最小為75萬元13已知函數(shù)f(x)ax3bx2(2b)x1在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，且0x11x20；(2)若za2b，求z的取值范圍(1)證明