測量與地圖學3

1、第二章地圖的數學基礎第二章地圖的數學基礎 3.地圖投影的定義 球面上任一點的位置用地理坐標（、）表示，而平面上點的位置用直角坐標（x, y）或極坐標（r，）表示，所以要將地球球面上的點轉移到平面上，必須采用一定的數學方法來確定地理坐標與平面坐標之間的關系。 這種在球面和平面之間建立點與點之間函數關系的數學方法，稱為地圖投影。二、地圖投影的基本方法二、地圖投影的基本方法 1.幾何投影（透視投影）：假想地球是一個透明體，光源位于球心，然后把球面上的經緯網投影到平面上，就得到一張球面經緯網投影。地圖投影面除平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除位于球心之外，還可以在球面、球外，或無窮遠處等

2、。 利用光源把地球面上的經緯網投影到平面上的方法叫幾何投影或幾何透視法。這是人們最早用來解決地球球面和地圖平面矛盾的方法。2.數學解析法：隨著科學的發(fā)展，幾何透視法遠不能滿足編制各類地圖的需要，出現了解析法。解析法是不借助于幾何投影光源（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數學分析法確定球面與平面點與點之間一一對應的函數關系。 X=f1(、) Y=f2(、) 函數f1、f2的具體形式，是由給定的投影條件確定的。有了這種對應關系，就可把球面上的經緯網交點表示到平面上了。 球面上任意一點的位置決定于它的經緯度，實際投影時是先將一些經緯線的交點展繪在平面上，再將相同經度的點連成經線，相同緯度

3、的點連成緯線，構成經緯線網。地圖投影的實質是將地球橢球面上的經緯網按一定的數學法則轉移到平面上。經緯線網是繪制地圖的“基礎”，是地圖的主要數學要素。三、地圖投影的變形三、地圖投影的變形 1.地圖投影變形的概念 由于球面是一個不可直接展成平面的曲面，無論采用什么投影，投影后經緯網形狀與球面上的經緯網形狀不完全相似。這表明地圖上的經緯網發(fā)生了變形，而根據地理坐標展繪在地圖上的各種地面事物也必然發(fā)生了變形。為正確使用地圖，必須了解投影后產生的變形，所以變形問題是地圖投影的重要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大的實際應用價值。 地球儀上的經緯線網格面積的特點： 1、在同一緯度帶內，經

4、差相同的球面網格面積相等 2、在同一經度帶內，緯度愈高，網格面積愈小 地球儀上的經緯線角度的特點： 在下圖中，只有中央經線和各緯線相交成直角，其余的經線和緯線均不呈直角相交，而在地球儀上經線和緯線處處都呈直角相交，這表明地圖上有角度變形 2.投影變形的相關概念 （1）變形橢圓 在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點位置外，一般情況下為橢圓， 下面我們用數學方法驗證一下。 設o為球面上一點，以它為圓心的微小圓的半徑是單位長度（為1），M(x,y)是微小圓周上一點，圓心曲線方程為： x2+y2=1 A位于以經緯線為直角坐標軸X、Y的坐標系上 ，X、Y為投影后坐標軸，A(x，y)是A(x

5、，y)的投影，令經線長度比為m，緯線長度比為n，則: x/x=m，y/y=n x=x/m，y=y/n (x,y)為圓上一點，將其代入圓的方程，得：x2/ m 2+y2/ n 2=1這是一個橢圓方程，這就證明了橢球體面上的微小圓，投影后為橢圓。故叫做變形橢圓。 研究投影時，可借助變形橢圓與微小圓比較，說明變形性質和數量。 橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說明長度變形。很明顯的看出長度變形是隨方向的變化而變化，在長短半徑方向上有極大和極小長度比a和b，而長短半徑方向之間，長度比，為b 1 經線長度比 1 庫德（Goode）投影 美地理學家古德（J.Paul Goode）于1923年提出在整個制圖區(qū)域主

6、要部分中央都設置一條中央經線，分別進行投影，則全圖就分成幾瓣，各瓣沿赤道連接在一起。投影特點： 分瓣、組合投影， 變形減小且均勻 大陸完整，大洋割裂 大洋完整，大陸割裂 常用于編制世界地圖五、高斯五、高斯-克呂格投影克呂格投影 高斯-克呂格投影是一種橫軸等角切橢圓柱投影。它是假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切于某一條經線上，按照等角條件將中央經線東、西各3或1.5經線范圍內的經緯線投影到橢圓柱面上，然后將橢圓柱面展開成平面即成。 投影的特點： 高斯-克呂格投影的中央經線和赤道為垂直相交的直線，經線為凹向對稱于中央經線的曲線，緯線為凸向對稱于赤道的曲線，經緯線成直角相交。 無角度變形；中央經線長

7、度比等于1，沒有長度變形；其余經線長度比均大于1，長度變形為正；距中央經線越遠，變形越大；最大變形在邊緣經線與赤道的交點上，但最大長度、面積變形分別僅為+0.14和+0.27（6帶），變形極小。 為控制投影變形，高斯-克呂格投影采用6帶、3帶分帶投影的方法 ，我國1：2.5萬-1：50萬地形圖均采用6帶投影，1：1萬及更大比例尺地形圖采用3帶投影。 6分帶法規(guī)定：從格林威治零度經線開始，由西向東每隔6為一個投影帶，全球共分60個投影帶，分別用阿拉伯數字1-60予以標記。我國位于東經72-136之間，共包括11個投影帶（13-23帶）。 3分帶法規(guī)定：從東經130起算，每3為一帶，全球共分120

8、帶，（下圖）表示了6分帶與3分帶的中央經線與帶號的關系 該投影的平面直角坐標規(guī)定為：每個投影帶以中央經線為坐標縱軸即軸，以赤道為坐標橫軸即軸組成平面直角坐標系。為避免值出現負值，將軸西移500km組成新的直角坐標系，即在原坐標橫值上均加上500km，因我國位處北半球，值均為正值。60個投影帶構成了60個相同的平面直角坐標系，為區(qū)分之，在地形圖南北的內外圖廓間的橫坐標注記前，均加注投影帶帶號。為應用方便，在圖上每隔1km、2km或10km繪出中央經線和赤道的平行線，即坐標縱線或坐標橫線，構成了地形圖方里網（公里網）。 中國國家基本比例尺地形圖中的大中比例尺地形圖采用高斯-克呂格投影： 11萬（3

9、分帶） 12.5萬、15萬、110萬、125萬、150萬。（ 6分帶）百萬分一地形圖投影 新編國際百萬分一地圖采用雙標準緯線等角圓錐投影，自赤道起按緯差4分帶，北緯84以北和南緯80以南采用等角方位投影。中國1100萬地形圖編繪規(guī)范規(guī)定采用邊緯線與中緯線長度變形絕對值相等的雙標準緯線等角割圓錐投影,按緯差4分帶。長度變形最大值: 0.03% 面積變形最大值: 0.06%雙標準緯線圓錐投影假想圓錐軸和地球橢球體旋轉軸重合并套在橢球體上圓錐面與地球橢球體面相割，將經緯網投影于圓錐面上展開而成。 我國現編的1:100萬地圖系采用雙標準緯線正軸等角圓錐投影雙標準緯線圓錐投影 變形分析：無角度變形 等變

10、形線和緯線一致,同 一條緯線上的變形處處相等 兩條標準緯線上無變形 在同一條經線上，兩標準 緯線外側為正變形，之間為 負變形 同一條緯線上等經 差的線段長度相等，兩條緯 線間的經線線段長度處處相等六、地圖投影判別與選擇六、地圖投影判別與選擇 1、地圖投影的判別 (1)確定投影系統(tǒng) (2)確定投影變形性質 (3)確定投影形式 2、地圖投影的選擇 地圖投影將直接影響地圖的精度和使用價值。通常地圖投影對中小比例尺地圖影響很大，對于大比例尺地圖，則影響很小。一般國家基本比例尺地形圖的地圖投影選擇是由國家測繪部門制訂，不允許隨便更改。 地圖投影的選擇主要考慮以下因素：制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置；地圖的用途、出版方式及地圖圖面配置等。 地圖投影選擇的主要依據是目標區(qū)域的地理位置、輪廓形狀、地圖用途。世界地圖常采用正圓柱、偽圓柱和多圓錐三種類型。大洲圖和大的國家