平面連桿擺動機構(gòu)問題

1、保證書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則, 我們完全明白在競賽開始后不能以任何方式與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）討論競賽題的求解問題, 抄襲別人的成果也是違反競賽規(guī)則的, 如被發(fā)現(xiàn)將會受到嚴肅處置。我們也知道如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料) 必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文和參考文獻中明確列出。為了確保競賽的公正、公平性, 我們保證嚴格遵守競賽規(guī)則。參賽報名號（由各賽區(qū)統(tǒng)一指定編號）：參賽隊員(簽名) 丁正言 湯可金 邵明智指導(dǎo)教師(簽名) （若為指導(dǎo)組，請指導(dǎo)組負責(zé)教師簽名）- 14 -賽區(qū)評閱編號：全國統(tǒng)一編號：平面連桿擺動機構(gòu)問題摘要本題主要研究

2、的是平面連桿擺動機構(gòu)問題，根據(jù)圖示通過幾何關(guān)系找出該機構(gòu)中滑塊運動的位移和擺桿的擺角的函數(shù)關(guān)系，并在此函數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，分析機構(gòu)中擺角的變化范圍，并以此求出滑塊的行程以及滑塊運動速度的均勻性。在求解過程中討論和在不同情況下對機構(gòu)擺動角度的影響。每種討論方法均用作圖法進行研究，討論是通過對位移和擺角的函數(shù)關(guān)系式進行二次求導(dǎo)后分析滑塊運動的加速度大小變化來具體分析的。不同模型下對應(yīng)的不同的滑塊運動速度的均勻性，并利用mathematic軟件程序畫出滑塊運動速度的均勻性的變化。關(guān)鍵詞：平面連桿擺動 速度均勻性 作圖法問題重述平面連桿擺動機構(gòu)在實現(xiàn)在水平方向上的高強度碰撞、打擊等工程任務(wù)以及石油開采、

3、采礦業(yè)、建筑等領(lǐng)域發(fā)揮重要作用，此外可以利用平面連桿擺動機構(gòu)完成在某些山體、懸崖的中間部位進行的水平勘探、運輸工作，某種平面連桿擺動機構(gòu)的結(jié)構(gòu)和某時刻的位置如圖1所示，擺桿OQ繞O點擺動，通過連桿PQ帶動滑塊P水平往復(fù)運動，設(shè)擺桿長OQr，連桿長PQl，擺角中心O到滑軌OP的距離為h，且rhl+r. 根據(jù)這個擺動機構(gòu)使用的一般要求，作出適當?shù)募僭O(shè)，解決以下問題： 1）P的位移x 與擺角的函數(shù)關(guān)系； 2）擺角的變化范圍； 3）滑塊P的行程（即滑動的最大距離）； 4）討論滑塊P運動速度的均勻性。圖1問題的分析根據(jù)圖1可以看出的長度都是固定的，唯一改變的只有連桿在擺動時，的角度，隨著的變化，連桿的位

4、置也在不斷變化。針對問題一，的位移與擺角的函數(shù)關(guān)系可以根據(jù)三角形的幾何關(guān)系得出；針對問題二，擺角的變化范圍的需要根據(jù)的長度關(guān)系進行討論，劃分不同的模型分別計算；針對問題三，在不同的模型下討論的位置關(guān)系，確定三者在什么情況下，滑塊的行程，即滑動的最大距離；問題四的討論則需要通過對位移和擺角的函數(shù)關(guān)系式進行二次求導(dǎo)后分析滑塊運動的加速度大小變化來具體分析的。不同模型下對應(yīng)的不同的滑塊運動速度的均勻性，并利用mathematic軟件程序畫出滑塊運動速度的均勻性的變化模型假設(shè)、建立及求解問題一：OPQOhlrlsinrsinXS圖2 的位移與擺角的函數(shù)關(guān)系根據(jù)上圖，由幾何關(guān)系可得： 解得： 式即為的位

5、移與擺角的函數(shù)關(guān)系。由，式可以看出：，從而得出和的符號相同。所以：，即時，即時，問題二、三和四：一、 第一種模型（）：1、 模型假設(shè)：（1） 滑軌為X軸,為坐標原點，X軸正向向左；（2） 桿與水平軸負向的夾角（）；（3） 桿與負向的夾角（）；（4） 滑塊的位移；（5） 擺角的變化是均勻的；（6） 滑塊運動初始位置取為最小值時的位置。（7） 在擺動過程中忽略摩擦和撞擊；模型建立：ShPOlO圖3 第一種模型假設(shè)圖2、 模型求解：（1） 擺角的范圍求解：根據(jù)圖3分析可得，由于ShlrOPPXO圖4 擺角的范圍情況一 當時，PQ滑動的范圍不可能超過水平線以下，所以的最小值應(yīng)是，最大值是，即的取值范圍

6、是。SShlrlQOrQ1PPOXX圖5 擺角的范圍情況二 當時，PQ滑動的范圍在水平線之上，則當時有最大或最小值。連桿從向右移動，當移動至圖示位置時，連桿無法繼續(xù)運動，此時，又因為，所以距的距離為，已知，所以，即的最小角度為，根據(jù)連桿擺動是對稱的可得的最大角度為，則的取值范圍是：。hOOPPNlMQrQXX圖6 滑塊的行程S（2）滑塊的行程：連桿、從最小角度的位置開始擺動，逐漸增大，逐漸向左擺動，則逐漸向右擺動，運動過程中，存在兩根連桿成一直線的狀態(tài)，假定此時長度的連桿為，連桿從該位置繼續(xù)向左擺動，這時連桿應(yīng)向左返回，而不是繼續(xù)向右擺動。因為，若連桿繼續(xù)向右擺動，假設(shè)行至一點，由三角形的兩邊

7、和大于第三邊可得,又因為,所以,所以,又因為，所以兩者矛盾。于是可知，當三點在一條直線上時，滑塊距的距離最大。此距離為，所以滑塊的行程的是。（3）滑塊運動速度的均勻性：隨著擺角的變化，連桿擺動的速度也在不斷變化，對連桿的位移進行兩次求導(dǎo)可得到加速度的均勻性，連桿的位移為，當時, ,則二次求導(dǎo)得:當時, ,則二次求導(dǎo)得:那么運用mathematic軟件進行速度均勻性分析可得： 圖中速度的變動較大，總體不均勻。二、第二種模型（）:1、模型假設(shè)：假設(shè)條件同第一種模型:2、模型建立：hlQOPOrXX圖7 第二種模型假設(shè)圖S3、模型求解：（1）擺角的范圍：hlOlPOPXX圖8 第二種模型擺角的范圍如

8、圖所示，當長度為的連桿運動至圖示位置，若想要繼續(xù)向下擺動，則點的豎直位置下降此時點到達的最小距離大于，這是不可能的，因此連桿運動到圖中的位置后不會繼續(xù)向下擺動，距的距離為，已知，所以，所以的取值范圍是：。（2） 滑塊的行程：模型二的滑塊擺動hQQPPOOXXrll圖8 第二種模型滑塊的行程情況同模型一，所以滑塊的行程的是。（3）滑塊運動速度的均勻性： 與模型一相比較，速度的變化開始逐漸趨于均勻。三、第三種模型（）:1、模型假設(shè)：（1）假設(shè)條件同第一種模型；（2）假設(shè)連桿逆時針擺動；2、模型建立：hQlPOOrS圖8 第二種模型假設(shè)圖3、模型求解：（1）擺角的范圍：因為，所以連桿能夠行至最低點后

9、繼續(xù)繞擺動，其擺動軌跡是一個以為半徑的圓，所以擺角的取值范圍是（3） 滑塊的行程：圖8 第二種模型滑塊的行程hDQQPPXXSOC圖中假設(shè)連桿是逆時針擺動，隨著角的不斷增大，三點將出現(xiàn)兩次在同一直線上的狀態(tài)。第一次三點成一直線，點位于兩點的中間，此時滑塊的位移最大，分析情況同模型一、二。第二次三點成一直線，點位于兩點的中間, 即、重合，此時滑塊的位移為零。因為連桿能繼續(xù)向右擺動，假設(shè)其到達一點，而若連桿能繼續(xù)向上擺動，假設(shè)其到達一點，由三角形的兩邊和大于第三邊可得,而,所以,所以,這于題目矛盾，所以連桿擺動至位置后滑塊不會再向右移動。所以三點成一直線，點位于兩點的中間時，位移最小為零。那么，滑塊的行程為。（3）滑塊運動速度的均勻性：因為在第三種模型中，滑塊只能在一側(cè)擺動，又因為假設(shè)連桿逆時針轉(zhuǎn)動，所以時, ,則二次求導(dǎo)得:該模型的速度變化，總體上較均勻。附錄mathematic均勻性分析代碼ManipulatePlotr Cosb-(r2 Cosb2 (h-r Sinb)2)/(l2-(h-r Sinb)2)3/2-(r2 Cosb2)/-(r Sinb (h-r Sinb)/,b,0,p,PlotRange30,r,1,1,5,h