空間解析幾何與空間向量

1、 數(shù)量積數(shù)量積1 向量積向量積 2 小結(jié)小結(jié) 3 一一物物體體在在常常力力f作作用用下下沿沿直直線線從從點點1m移移動動到到點點2m，以以s表表示示位位移移，則則力力f所所作作的的功功為為 cos|sfw (其中其中 為為f與與s的夾角的夾角)啟示啟示向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba cos|baba (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)實例實例兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個數(shù)量結(jié)果是一個數(shù)量.定義定義一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積ab cos|baba ,prcos|bjba ,prcos|ajab ajbbabpr| .pr|bjaa 數(shù)量積也稱為數(shù)量積

2、也稱為“點積點積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. .關(guān)于數(shù)量積的說明：關(guān)于數(shù)量積的說明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)

3、為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為 設(shè)設(shè)o為為一一根根杠杠桿桿

4、l的的支支點點，有有一一力力f作作用用于于這這杠杠桿桿上上p點點處處力力f與與op的的夾夾角角為為 ，力力f對對支支點點o的的力力矩矩是是一一向向量量m，它它的的模模|foqm sin|fop m的方向垂直于的方向垂直于op與與f所決所決定的平面定的平面, 指向符合右手系指向符合右手系.實例實例二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積lfpqo 向量向量a與與b的的向量積向量積為為 bac sin|bac (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)定義定義c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0)1( aa)0s

5、in0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000, 0 yxaa補(bǔ)充補(bǔ)充|ba 表示以表示以a和和b為鄰邊為鄰邊的平行四邊形的面積的平行四邊形的面積.xb、yb、zb不不能能同同時時為為零零，但但允允許許兩兩個個為為零零，例如，例如，abbac 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj ,