2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)模塊素養(yǎng)評(píng)價(jià)二含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

1、模塊素養(yǎng)評(píng)價(jià)(二)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知數(shù)列an的前4項(xiàng)依次為-,1,-,則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是()a.an=(-1)nb.an=(-1)n+1c.an=(-1)nd.an=(-1)n+1【解析】選a.數(shù)列的前4項(xiàng)分別為-,-,可得奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù),偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù),可知:第n項(xiàng)的符號(hào)為(-1)n,排除選項(xiàng)b,d;取n=2,驗(yàn)證可知a正確.2.在等差數(shù)列an中,a1=2,a3+a7=28,若am=26,則m=()a.6b.7c.8d.9【解析】選d.由題意,可得a3+a7=2a5=2

2、8,故a5=14.所以公差d=3,所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1,所以am=3m-1=26,解得m=9.3.曲線y=ln(ax+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線過(guò)點(diǎn)(4,8),則a=()a.4b.3c.2d.1【解析】選c.y=ln (ax+1)的導(dǎo)數(shù)y=,切線斜率為=2,所以a=2.4.(2020武漢高二檢測(cè))等差數(shù)列an中,a1與a4 037是f(x)=x-4ln x-的兩個(gè)極值點(diǎn),則loa2 019=()a.1b.2c.0d.【解析】選b.f(x)=1-+=,因?yàn)閍1與a4 037是f(x)=x-4ln x-的兩個(gè)極值點(diǎn),令g(x)=x2-4x+m,所以a1與a4 0

3、37是方程x2-4x+m=0的兩個(gè)根,即a1+a4 037=4,也即2a2 019=4,所以a2 019=2,則loa2 019=2log22=2.5.在用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)(n+n)=2n123(2n-1)(nn+)時(shí),從k到k+1,左端需要增加的代數(shù)式是()a.2k+1b.2(2k+1)c.d.【解析】選b.當(dāng)n=k+1時(shí),左端=(k+1)(k+2)(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1),所以左端增加的代數(shù)式為(k+k+1)(k+1+k+1)=2(2k+1).6.(2020佛山高二檢測(cè))已知等比數(shù)列an滿足a1-a2=36,a1-a3=24,則使得a1a2an取得最大值

4、的n為()a.3b.4c.5d.6【解析】選b.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.因?yàn)榈缺葦?shù)列an滿足a1-a2=36,a1-a3=24,解得,q=-,a1=27,所以an=,當(dāng)n=4時(shí),a1a2an取得最大值.7.(2020石家莊高二檢測(cè))已知定義在r上的偶函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為f(x),若xf(x)-2f(x)0,f(-2)=1,則不等式0,所以,當(dāng)x0時(shí),g(x)0,即g(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增;又f(x)是r上的偶函數(shù),所以g(x)=是(-,0)(0,+)上的偶函數(shù),又f(2)=f(-2)=1;故g(2)=,于是,不等式化為g(x)g(2),故|x|2,解得-2x0的等差數(shù)列an的四

5、個(gè)命題中真命題是()a.數(shù)列an是遞增數(shù)列b.數(shù)列nan是遞增數(shù)列c.數(shù)列是遞增數(shù)列d.數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列【解析】選ad.因?yàn)閷?duì)于公差d0的等差數(shù)列an,an+1-an=d0,所以數(shù)列an是遞增數(shù)列成立,a是真命題.對(duì)于數(shù)列nan,第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的差等于 (n+1)an+1-nan=(n+1)d+an,不一定是正實(shí)數(shù),b是假命題.對(duì)于數(shù)列,第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的差等于-=,不一定是正實(shí)數(shù),c是假命題.對(duì)于數(shù)列an+3nd,第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的差等于 an+1+3(n+1)d-an-3nd=4d0,數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列成立,d是真命題.10.已知an為等比數(shù)列,下列結(jié)論中正確的結(jié)

6、論是()a.a3+a52a4b.+2c.若a3=a5,則a1=a2d.若a5a3,則a7a5【解析】選bd.若an=(-1)n,則a3+a52a4不成立,故a錯(cuò)誤;因?yàn)?2|a3a5|=2,故+2,故b正確;若an=(-1)n,則a3=a5=-1,但a1=-1,a2=1,a1=a2不成立,故c錯(cuò)誤;若a5a3,則q2a3a3,因?yàn)閝20,所以q4a3q2a3,即a7a5成立,故d正確.11.(2020濟(jì)南高二檢測(cè))設(shè)f(x),g(x)分別是定義在r上的奇函數(shù)和偶函數(shù),f(x),g(x)為其導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)g(x)+f(x)g(x)0且g(-3)=0,則使不等式f(x)g(x)0成立的

7、x的取值范圍是()a.(-,-3)b.(-3,0)c.(0,3)d.(3,+)【解析】選bd.因?yàn)閒(x),g(x)分別是定義在r上的奇函數(shù)和偶函數(shù),所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),令h(x)=f(x)g(x),則h(-x)=-h(x),故h(x)=f(x)g(x)為r上的奇函數(shù),因?yàn)楫?dāng)x0時(shí),f(x)g(x)+f(x)g(x)0,即x0時(shí),h(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)0,所以h(x)=f(x)g(x)在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞減,所以奇函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,+)上也單調(diào)遞減,又g(-3)=0,所以g(3)=0,所以h(-3)=h(3)=0,所以當(dāng)x(-3,0

8、)(3,+)時(shí),h(x)=f(x)g(x)2時(shí),對(duì)任意的x2且xa,恒有f(x)f(a)+f(a)(x-a)d.函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【解析】選bcd.f(x)=x3-2x2-4x-7,其導(dǎo)函數(shù)f(x)=3x2-4x-4.令f(x)=0,解得x=-,x=2,當(dāng)f(x)0時(shí),即x2時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)f(x)0時(shí),即-x2時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;故當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)有極小值,極小值為f(2)=-15,當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)有極大值,極大值為f2時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增且f(x)逐漸增大.若xa2,則f(a)f(x)f(a)+f(a)(x-a),若ax2,則f(a)+f(a)(x-a),故c正確.

9、三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+a+a2+an+1=(a1,nn+),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是_.【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+an+1=(a1,nn+)”時(shí),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),將n=1代入,左邊以1即a0開(kāi)始,以a1+1=a2結(jié)束,所以左邊應(yīng)該是1+a+a2.答案:1+a+a214.已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a2=1,a3+a4=6.設(shè)數(shù)列an-n的前n項(xiàng)和為sn,那么s4_s5(填“”“”或“=”).【解析】因?yàn)閿?shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a2=1,a3+a4=6.解方程可

10、得,q=2或q=-3(舍),所以a1=,所以an-n=2n-1-n=2n-2-n,所以s5-s4=a5-5=23-5=3,所以s4s5.答案:1,則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最大值時(shí),n的最大值為_(kāi).【解析】若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an是一個(gè)“2 020積數(shù)列”,且a11,所以q0.所以a2 020=a1a2a3a2 020,所以a1a2a3a2 019=1.又an0,所以a1 010=1,因?yàn)閍11,所以0q1,0a1 0111,所以當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最大值時(shí),n的最大值為1 010.答案:1 01016.(2020石嘴山高二檢測(cè))已知曲線y=f(x)=4sin x+x3在x=0處的切線與直線nx-

11、y-6=0平行,則n為_(kāi).【解析】根據(jù)題意得f(x)=4cos x+x2,則有f(0)=4+0=4,即曲線y=f(x)在x=0處的切線的斜率k=4,又曲線y=f(x)在x=0處的切線與直線nx-y-6=0平行,所以n=4.答案:4【加練固】已知曲線f(x)=ln (a+x)(ar)在(0,0)處的切線方程為y=x,則滿足0f(x-2)1的x的取值范圍為_(kāi).【解析】因?yàn)閒(x)=,所以f(0)=,f(0)=ln a,則曲線在(0,0)處的切線方程為y=x+ln a,所以=1,ln a=0,解得a=1,所以f(x)=ln (x+1),則0f(x-2)1即0ln (x-1)1,所以1x-1e.解得2

12、xe+1.答案:2,e+1四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且a1+s3=20,s5=50.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)請(qǐng)確定3 998是否是數(shù)列an中的項(xiàng).【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d.由題意有解得a1=2,d=4,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2+4(n-1)=4n-2.(2)假設(shè)3 998是數(shù)列an中的項(xiàng),則有4n-2=3 998,得n=1 000,故3 998是數(shù)列an中的第1 000項(xiàng).18.(12分)已知函數(shù)f(x)=xln x.(1)求函數(shù)f(x)的圖象在x=e處的切線方程;(

13、2)求函數(shù)f(x)的最小值.【解析】(1)f(x)=ln x+1,所以函數(shù)f(x)的圖象在x=e處的切線斜率k=f(e)=ln e+1=2.又f=e,切點(diǎn)坐標(biāo)為,所以函數(shù)f(x)的圖象在x=e處的切線方程為y=2+e,即y=2x-e.(2)函數(shù)f(x)=xln x的定義域?yàn)?0,+),令f(x)=ln x+1=0,得x=.當(dāng)x時(shí),f(x)0,f(x)在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)f(x)的最小值為f=-.19.(12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足an=1-2sn(nn+).(1)求證:數(shù)列an是等比數(shù)列;(2)設(shè)函數(shù)f(x)=lox,bn=f(a1)+f(a2)+f(an),tn=+,求t100.

14、【解析】(1)因?yàn)閍n=1-2sn,所以an-1=1-2sn-1(n2),所以an-an-1=2sn-1-2sn=-2an(n2),所以an=an-1(n2).又a1=1-2s1,所以a1=.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.(2)因?yàn)閒(x)=lox,所以bn=loa1+loa2+loan=lo(a1a2an)=lo=1+2+n=.所以=2,所以t100=+=2=.20.(12分)(2020北京高考)已知函數(shù)f(x)=12-x2.(1)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程;(2)設(shè)曲線y=f(x)在(t,f(t)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為s(t),求s(t)的最小值.

15、【解析】(1)f(x)定義域?yàn)閞,f(x)=-2x,設(shè)切點(diǎn)為p(x0,y0),則k=f(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切點(diǎn)為(1,11),所以所求切線方程為y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)切線方程為y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=+,所以s(t)=(t2+12)|+|,t0,易知s(t)為偶函數(shù),當(dāng)t0時(shí),s(t)=t3+6t+,s(t)=,令s(t)=0得t=2,-2(舍),t(0,2)2(2,+)s(t)-0+s(t)極小值所以s(t)有極小值也是最小值s(2)=32,又s(t)為偶

16、函數(shù),所以當(dāng)t=2時(shí),s(t)有最小值32.21.(12分)觀察以下等式:13=12;13+23=(1+2)2;13+23+33=(1+2+3)2;13+23+33+43=(1+2+3+4)2;(1)請(qǐng)用含n的等式歸納猜想出一般性結(jié)論,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且an=n3+n,求s10.【解析】(1)猜想13+23+33+n3=(1+2+3+n)2.證明如下:當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,等式成立;假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kn+)時(shí),13+23+33+k3=(1+2+3+k)2成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),13+23+33+k3+(k+1)3=(1+2+3+k)2+(k+1)3=+(k+1)3=(k+1)2=1+2+(k+1)2,可得n=k+1時(shí),猜想也成立,綜上可得對(duì)任意的正整數(shù)n,13+23+33+n3=(1+2+3+n)2.(2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且