高中數(shù)學(xué)-公式-柯西不等式

1、第一課時(shí) 3.1 二維形式的柯西不等式（一）2. 練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證 提出定理1：若a、b、c、d為實(shí)數(shù)，則. 證法一：（比較法）=.=證法二：（綜合法） . （要點(diǎn)：展開配方） 證法三：（向量法）設(shè)向量，則，. ，且，則. . 證法四：（函數(shù)法）設(shè)，則0恒成立. 0，即.二維形式的柯西不等式的一些變式： 或 或. 提出定理2：設(shè)是兩個(gè)向量，則. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 討論：上面時(shí)候等號(hào)成立？（是零向量，或者共線） 練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證. 證法：（分析法）平方 應(yīng)用柯西不等式 討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）2. 教學(xué)三角不等式： 出示定理

2、3：設(shè)，則.分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式：若，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？ 3. 小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點(diǎn)、三點(diǎn)）第二課時(shí) 3.1 二維形式的柯西不等式（二）教學(xué)過(guò)程：； 3. 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值? 要點(diǎn)：利用變式.二、講授新課：1. 教學(xué)最大（小）值： 出示例1：求函數(shù)的最大值？ 分析：如何變形？ 構(gòu)造柯西不等式的形式 板演 變式： 推廣： 練習(xí)：已知，求的最小值. 解答要點(diǎn)：（湊配法）. 2. 教學(xué)不等式的證明： 出示例2：若，求證：.分析：如何變形后利用柯西不等式？ （注意對(duì)比 構(gòu)造） 要點(diǎn)：

3、討論：其它證法（利用基本不等式） 練習(xí)：已知、，求證：.3. 練習(xí)： 已知，且，則的最小值. 要點(diǎn)：. 其它證法 若，且，求的最小值. （要點(diǎn)：利用三維柯西不等式）變式：若，且，求的最大值.第三課時(shí) 3.2 一般形式的柯西不等式2. 提問(wèn)：二維形式的柯西不等式？如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維？ 答案：；二、講授新課：1. 教學(xué)一般形式的柯西不等式： 提問(wèn)：由平面向量的柯西不等式，如果得到空間向量的柯西不等式及代數(shù)形式？ 猜想：n維向量的坐標(biāo)？n維向量的柯西不等式及代數(shù)形式？ 結(jié)論：設(shè)，則 討論：什么時(shí)候取等號(hào)？（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，假設(shè)）聯(lián)想：設(shè)，則有，可聯(lián)想到一些什么？ 討論：如何構(gòu)造二

4、次函數(shù)證明n維形式的柯西不等式？ （注意分類）要點(diǎn)：令 ，則.又，從而結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知，0即有要證明的結(jié)論成立. （注意：分析什么時(shí)候等號(hào)成立.） 變式：. （討論如何證明）2. 教學(xué)柯西不等式的應(yīng)用： 出示例1：已知，求的最小值. 分析：如何變形后構(gòu)造柯西不等式？ 板演 變式： 練習(xí)：若，且，求的最小值. 出示例2：若，求證：. 要點(diǎn)： 提出排序不等式（即排序原理）：設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組:;.是，的任一排列,則有 + (同序和)+ (亂序和)+ (反序和) 當(dāng)且僅當(dāng)=或=時(shí)，反序和等于同序和. （要點(diǎn)：理解其思想，記住其形式）2. 教學(xué)排序不等式的應(yīng)用： 出示例1：設(shè)是n個(gè)互不相同的正整數(shù)，求證：. 分析：如何構(gòu)造有序排列？ 如何運(yùn)用套用排序不等式？ 證明過(guò)程： 設(shè)是的一個(gè)排列，且，則. 又，