2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章函數(shù)章末綜合提升學(xué)案含解析北師大版必修第一冊(cè)

1、 - 1 - 函數(shù)函數(shù) 鞏固層知識(shí)整合 提升層題型探究 函數(shù)圖象的應(yīng)用 【例 1】 已知f(x)為定義在 r r 上的奇函數(shù)，且f(x)f(2x)，當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)x.求x3，5時(shí)，f(x)12的所有解的和 解 當(dāng)x1，0時(shí)，x0，1，f(x)x. 又f(x)為奇函數(shù)，x1，0時(shí)，f(x)f(x)x.即x1，1時(shí)，f(x)x. 又由f(x)f(2x)可得f(x)的圖象關(guān)于直線x1 對(duì)稱(chēng) 由此可得f(x)在3，5上的圖象如下： 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y12的圖象， 由圖可知在3，5上共有四個(gè)交點(diǎn)， f(x)12在3，5上共有四個(gè)解，從左到右記為x1，x2，x3，x4，則x1與x4，x2與x3關(guān)

2、于直線x1 對(duì)稱(chēng)， - 2 - x1x421，x2x321. x1x2x3x44. 畫(huà)函數(shù)圖象是表示函數(shù)的一種方法，一旦有了函數(shù)圖象，可以使問(wèn)題變得直觀，但仍要結(jié)合代數(shù)運(yùn)算才能獲得精確結(jié)果 跟進(jìn)訓(xùn)練 1已知函數(shù)f(x)|x2mx3|，且f( )1 0. (1)求m的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性； (3)求集合mm|使方程f(x)m有四個(gè)不相等的實(shí)根 解 (1)由f( )1 0，得|4m0，解得m4. f(x)（x2）21，x（，13，），（x2）21，x（1，3）， 作出圖象如圖所示 (2)遞增區(qū)間為1，2和3，)，遞減區(qū)間為(，1)和(2，3). (3)由圖象可知，y

3、f(x)與y m圖象，有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則 0m1， 集合mm|0m1 函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 【例 2】 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，yr r， 總有f(x)f(y)f(xy)， 且當(dāng)x0 時(shí)，f(x)2. 解 (1)證明：由f(x)f(y)f(xy)，可得 f(xy)f(x)f(y). 在 r r 上任取x1x2，令xyx1，xx2， - 3 - 則f(x1)f(x2)f(x1x2). x1x2，x1x20. 又x0 時(shí)，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)2，即f(x)f(x)2f(x)f(3)f(3x)， 由(1)知f(x)在 r r 上為減函數(shù)，f(x)f(3x)，得x3x，

4、解得解集為 xx32. (1)解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題的通法就是根據(jù)函數(shù)的奇偶性解答或作出圖象輔助解答，先證明函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值 (2)研究與抽象函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要緊扣其定義，通過(guò)賦值來(lái)求解 跟進(jìn)訓(xùn)練 2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閐x|x0，且滿足對(duì)于任意x1，x2d，有f(x1x2)f(x1)f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論； (3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍 解 (1)對(duì)于任意x1，x2d， 有f(x1x2)f(x1)f(x2)， 令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.

5、(2)f(x)為偶函數(shù) 證明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)， - 4 - f(1)12f(1)0. 令x11，x2x，則f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù) (3)依題設(shè)有f(44)f(4)f(4)2， 由(2)知，f(x)是偶函數(shù)， f(x1)2f(|x1|)f(16). 又f(x)在(0，)上是增函數(shù) 0|x1|16，解得15x17 且x1. x的取值范圍是x|15xx13，求x的取值范圍 解 x2與x13有相同的底數(shù)，不同的指數(shù)，因此其模型應(yīng)為冪函數(shù)yx，所以同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象比較函數(shù)值的大小，確定自變量的范圍，即為x的取值范圍，如圖所示，可

6、得x的取值范圍是x1. 數(shù)形結(jié)合是一類(lèi)重要的數(shù)學(xué)思想方法，它把抽象的關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使復(fù)雜的問(wèn)題一目了然 跟進(jìn)訓(xùn)練 3已知函數(shù)f( )xx23x4 的定義域?yàn)?，m，值域?yàn)?54，4 ，則m的取值范圍是_ 3 32 2，3 3 f( )xx23x4x322254， f32254，又f( )0 4， - 5 - 故由二次函數(shù)圖象可知 32mm32320 ，解得32m3. 所以m的取值范圍為32，3 . 角度二 分類(lèi)討論思想 【例 4】 設(shè)函數(shù)f( )xx22x，x2，a，若函數(shù)的最小值為g( )a，試求g( )a. 思路點(diǎn)撥 由于a與 1 的大小關(guān)系不確定，所以應(yīng)分2a1 與a1 兩種

7、情況考慮 解 f( )xx22x()x121，對(duì)稱(chēng)軸為直線x1. 而 1 不一定屬于區(qū)間2，a，應(yīng)進(jìn)行討論 當(dāng)2a1 時(shí)，f( )x在區(qū)間2，a上單調(diào)遞減，則g( )af( )aa22a； 當(dāng)a1 時(shí)，f( )x在區(qū)間2，1 上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增，則g( )af( )1 1. 綜上，g( )aa22a，2a11，a1 . 考慮問(wèn)題要全面，謹(jǐn)防考慮不周導(dǎo)致錯(cuò)誤，本題是根據(jù)與 1 的大小關(guān)系去分類(lèi)用分類(lèi)討論的思想解題時(shí)應(yīng)做到標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏 跟進(jìn)訓(xùn)練 4在例 4 中，求該函數(shù)的最大值h( )a. 解 f( )xx22x()x121，對(duì)稱(chēng)軸為直線x1. 而 1 不一定屬于區(qū)間2，a，應(yīng)進(jìn)

8、行討論 當(dāng)2a4 時(shí)，h( )af()2 8； 當(dāng)a4 時(shí)，h( )af( )aa22a. 綜上，h( )a8，2a4a22a，a4 . 角度三 轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 【例 5】 若函數(shù)f(x)x2mxn，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(2x)f(2x)成立，試比較f(1)，f(2)，f(4)的大小 解 依題意可知f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x2， - 6 - f(1)f(5). f(x)在2，)上是增函數(shù)， f(2)f(4)f(5)，即f(2)f(4)f(1). 通過(guò)化簡(jiǎn)、變形等，可將復(fù)雜的、不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的函數(shù)形式，進(jìn)而運(yùn)用其性質(zhì)來(lái)解題 跟進(jìn)訓(xùn)練 5指出函數(shù)f(x)x24x5x24x4的單調(diào)區(qū)間，并比較f()與f22的大小 解 因?yàn)閒(x)x24x41x24x