2008年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷(含答案及解析)

1、2008年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷(2008年4月13日（星期日）上午9：00-11：00)一、 選擇題 （本大題滿分36分，每小題6分）1已知集合，則下列正確的是（ ）A B. C. D. 2當(dāng)時，則下列大小關(guān)系正確的是（ ） A B. C. D. 3設(shè)在上有定義，要使函數(shù)有定義，則a的取值范圍為（ ）A； B. ； C. ； D. 4已知P為三角形ABC內(nèi)部任一點（不包括邊界），且滿足，則ABC一定為( )A直角三角形；B. 等邊三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形5已知是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與軸交點的縱坐標(biāo)的最大值是（ ）A B. 2 C. D. 46圓錐的軸截面SAB是邊長為2的

2、等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）。若AMMP，則P點形成的軌跡的長度為（ ）A. B. C. 3 D.二、填空題 （本題滿分54分，每小題9分）7 。8設(shè)為非負(fù)實數(shù)，滿足，則 。9設(shè)，則。10. 設(shè)實系數(shù)一元二次方程有兩個相異實根，其中一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是 。11已知，直線與的交點在直線上，則 。12在邊長為1的正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上。AD的長度的最小值為 。13已知橢圓C：（），其離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為。（1）求之值；（2）設(shè)點A坐標(biāo)為(6, 0)，

3、B為橢圓C上的動點，以A為直角頂點，作等腰直角ABP（字母A，B，P按順時針方向排列），求P點的軌跡方程。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）得分評卷人 得分14求解不等式。評卷人 得分15設(shè)非負(fù)等差數(shù)列的公差，記為數(shù)列的前n項和，證明： 1）若，且，則； 2）若則。評卷人 四、附加題（本大題滿分50分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。選考B卷的學(xué)生選做本大題，不計入總分。）16設(shè)為2008個整數(shù)，且（）。如果存在某個，使得2008位數(shù)被101整除，試證明：對一切，2008位數(shù) 均能被101整除。17. 將3k（k為正整數(shù)）個石子分成五堆

4、。如果通過每次從其中3堆中各取走一個石子，而最后取完，則稱這樣的分法是“和諧的”。試給出和諧分法的充分必要條件，并加以證明。2008年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷及參考答案二、 選擇題 （本大題滿分36分，每小題6分）1已知集合，則下列正確的是（ ）A B. C. D. 解：因為，所以有正確答案為 A。2當(dāng)時，則下列大小關(guān)系正確的是（ ） A B. C. D. 解：當(dāng)時，。又因為。所以 。 選 C。3設(shè)在上有定義，要使函數(shù)有定義，則a的取值范圍為（ ）A； B. ； C. ； D. 解：函數(shù)的定義域為 。當(dāng)時，應(yīng)有，即；當(dāng)時，應(yīng)有，即。 因此，選 B。4已知P為三角形ABC內(nèi)部任一點（不包括邊界），

5、且滿足，則ABC一定為( )A直角三角形；B. 等邊三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形解：因為，所以已知條件可改寫為。容易得到此三角形為等腰三角形。 因此 選 D。5已知是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與軸交點的縱坐標(biāo)的最大值是（ ）A B. 2 C. D. 4解：由已知條件可知，函數(shù)圖象與軸交點的縱坐標(biāo)為。令，則。因此 選 A。6圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）。若AMMP，則P點形成的軌跡的長度為（ ）A. B. C. 3 D.解：建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,-1,0), B(0,1,0), ，P(x,y,0).于是有

6、由于AMMP，所以，即，此為P點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為。 因此 選 B。二、填空題 （本題滿分54分，每小題9分）7 。解：根據(jù)題意要求，。于是有。因此。因此答案為 1。8設(shè)為非負(fù)實數(shù)，滿足，則 。解：顯然，由于，有。于是有，故。9設(shè)，則。解： 。10. 設(shè)實系數(shù)一元二次方程有兩個相異實根，其中一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是 。解： 根據(jù)題意，設(shè)兩個相異的實根為，且，則，。于是有 ，也即有。故有，即取值范圍為。11已知，直線與的交點在直線上，則 。解：由已知可知，可設(shè)兩直線的交點為，且為方程，的兩個根，即為方程的兩個根。因此，即0。12在邊長為1的正三角形ABC的

7、邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上。AD的長度的最小值為 。解：設(shè)，作ADE關(guān)于DE的對稱圖形，A的對稱點G落在BC上。在DGB中，當(dāng)時，即。13已知橢圓C：（），其離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為。（1）求之值；（2）設(shè)點A坐標(biāo)為(6, 0)，B為橢圓C上的動點，以A為直角頂點，作等腰直角ABP（字母A，B，P按順時針方向排列），求P點的軌跡方程。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）得分評卷人 解：（1）設(shè)c為橢圓的焦半徑，則。于是有a5，b3。（2） 解法一：設(shè)B點坐標(biāo)為，P點坐標(biāo)為。于是有因為，所以

8、有。 (A1 )又因為ABP為等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 。 (A2 ) 由（A1）推出，代入（A2），得 從而有 ，即（不合題意，舍去）或。 代入橢圓方程，即得動點P的軌跡方程解法二： 設(shè),，則以A為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程為。設(shè)AB與x軸正方向夾角為，B點的參數(shù)表示為，P點的參數(shù)表示為.從上面兩式，得到。又由于B點在橢圓上，可得。此即為P點的軌跡方程。14求解不等式。得分評卷人 解：（I）情形。此時不等式為。 于是有 （1）。因此 當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，空集。 （2） 。此時有 當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，。 （II）情形。此時不等式為。 于是有 （3

9、）。因此 當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，空集。（4）。 因此 當(dāng)時，有；當(dāng)時，空集。綜合（1）（4）可得當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，。15設(shè)非負(fù)等差數(shù)列的公差，記為數(shù)列的前n項和，證明： 1）若，且，則； 2）若則。得分評卷人 解：設(shè)非負(fù)等差數(shù)列的首項為，公差為。（1）因為，所以，。從而有。 因為，所以有于是。（2） 又因為，所以有四、附加題（本大題滿分50分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。選考B卷的學(xué)生選做本大題，不計入總分。）16設(shè)為2008個整數(shù)，且（）。如果存在某個，使得2008位數(shù)被101整除，試證明：對一切，2008位數(shù) 均能被101整除。解： 根據(jù)已知條件，不妨設(shè)k1，即20

10、08位數(shù)被101整除，只要能證明2008位數(shù)能被101整除。 事實上，從而有，即有。因為，所以。 利用上述方法依次類推可以得到對一切，2008位數(shù)均能被101整除。17. 將3k（k為正整數(shù)）個石子分成五堆。如果通過每次從其中3堆中各取走一個石子，而最后取完，則稱這樣的分法是“和諧的”。試給出和諧分法的充分必要條件，并加以證明。解： 分法是和諧的 充分必要條件 是 最多一堆石子的個數(shù)不超過k。 下面設(shè)五堆石子的個數(shù)分別為a,b,c,d,e（其中）?！氨匾浴钡淖C明： 若分法是和諧的，則把a(bǔ)所對應(yīng)的石子取完至少要取a次，這a次每次都要取走3個石子。如果 ，則，即把a(bǔ)所對應(yīng)的一堆取完時，需取走的石子多于五堆石子的總數(shù)。矛盾。因此最多一堆石子的個數(shù)不能超過k。 “充分性”的證明：（數(shù)學(xué)歸納法）（1） 當(dāng)時，滿足“” 的分法只能是1，1，1，0，0。顯然這