完全信息動態(tài)博弈課件

1、 兇殘海盜的邏輯中有一個智力題海盜分金：5個海盜要分配搶來的100個金幣，分配方式是第一個人提出分配方案，如果同意這種方案的達到半數(shù)，提議通過，否則提議的人扔進大海，由剩余的人再進行同樣的過程。假設(shè)5個人的提議的次序已定，金幣不能分割，而且海盜的本性讓他們覺得，如果對自己的收益沒有影響，則很樂意看到別人被扔進大海，這時理性結(jié)局應(yīng)該如何？ 這種博弈局勢和策略型博弈的不同之處在于：其中存在著局中人行動的先后次序，更多的信息意味著有可能利用這些信息形成更嚴(yán)格的均衡概念?對這種具有動態(tài)結(jié)構(gòu)的決策形勢進行研究的規(guī)范分析工具是擴展型博弈。 擴展型博弈與策略型博弈的區(qū)別擴展型博弈與策略型博弈的區(qū)別 1 、

2、其中存在著局中人行動的先后次序。其中存在著局中人行動的先后次序。 2、 它增加了對局中人行動次序與局中人行動它增加了對局中人行動次序與局中人行動 時所掌握信息的描述時所掌握信息的描述. 3、策略型博弈中常常利用矩陣形式作為一種、策略型博弈中常常利用矩陣形式作為一種清晰的表現(xiàn)手段，而擴展型博弈則利用博弈樹來清晰的表現(xiàn)手段，而擴展型博弈則利用博弈樹來表現(xiàn)多個人有限策略博弈表現(xiàn)多個人有限策略博弈。 策略型博弈中各局中人同時一次性地選定策略，策略型博弈中各局中人同時一次性地選定策略，無法表現(xiàn)出他們選擇的先后次序，如果我們要研無法表現(xiàn)出他們選擇的先后次序，如果我們要研究博弈的動態(tài)特征，就必須找到一種更適

3、當(dāng)?shù)谋砭坎┺牡膭討B(tài)特征，就必須找到一種更適當(dāng)?shù)谋硎龇绞浇Y(jié)果就得到所謂的擴展型博弈。述方式結(jié)果就得到所謂的擴展型博弈。 1：局中人：局中人 2：行動順序，即誰在何時采取行動：行動順序，即誰在何時采取行動 3：行動空間，它表示在每次行動時，局中人可以：行動空間，它表示在每次行動時，局中人可以進行哪些選擇進行哪些選擇 4；信息集，它表示局中人進行選擇時所知道的信；信息集，它表示局中人進行選擇時所知道的信息；息； 5：支付函數(shù)，即把局中人所獲得的支付表示為其：支付函數(shù)，即把局中人所獲得的支付表示為其采取的行動的函數(shù)；采取的行動的函數(shù)； 6外生事件的概率分布，對此引入外生事件的概率分布，對此引入“自然自

4、然”作為作為一個虛擬局中人，它在博弈中的作用只是在相應(yīng)的一個虛擬局中人，它在博弈中的作用只是在相應(yīng)的地方在若干外生事件中根據(jù)一定概率分布隨機選取，地方在若干外生事件中根據(jù)一定概率分布隨機選取，而沒有自己的利益目標(biāo)與支付函數(shù)。而沒有自己的利益目標(biāo)與支付函數(shù)。（一）博弈樹的理解（一）博弈樹的理解1、這個博弈開始于一個起始決策點。、這個博弈開始于一個起始決策點。 2、博弈樹由一系列節(jié)點、博弈樹由一系列節(jié)點x 和它們之間的連線構(gòu)成，這些和它們之間的連線構(gòu)成，這些節(jié)點之間存在著偏序關(guān)系。節(jié)點之間存在著偏序關(guān)系。3、博弈樹是全排序的，即從博弈樹的起點到博弈樹中的、博弈樹是全排序的，即從博弈樹的起點到博弈樹

5、中的任何一點只有惟一一條路徑任何一點只有惟一一條路徑.4、博弈的擴展式與博弈樹是同義語。與博弈的基本式相、博弈的擴展式與博弈樹是同義語。與博弈的基本式相比，博弈的擴展式特別善于描述復(fù)雜的博弈，博弈越復(fù)比，博弈的擴展式特別善于描述復(fù)雜的博弈，博弈越復(fù)雜，博弈擴展式的優(yōu)點就越突出。雜，博弈擴展式的優(yōu)點就越突出。 1、信息集： 1、1定義：實際上是參與者決策節(jié)點集合的一個子集。信息集的定義是當(dāng)博弈進行到某個階段，輪到某個參與者行動時，他不知道自己位于哪一個節(jié)點，不能加以區(qū)分的節(jié)點的集合就稱為信息集。 參與者之所以不能對信息集中的節(jié)點進行區(qū)分，原因在于他對前面發(fā)生的其他參與者的(有些或全部)行動未能觀

6、察到。 囚徒困境的信息集囚徒困境的信息集 在圖中，我們看到當(dāng)博弈進行到囚徒在圖中，我們看到當(dāng)博弈進行到囚徒2行動時，由于囚徒行動時，由于囚徒2未未能觀察到此前囚徒能觀察到此前囚徒1的行動，所以囚徒的行動，所以囚徒2不能對節(jié)點不能對節(jié)點X2和和X3作出作出區(qū)分，也就是他不知道囚徒區(qū)分，也就是他不知道囚徒1到底選擇的是什么策略。節(jié)點到底選擇的是什么策略。節(jié)點X2、X3的集合的集合X2，X3即是囚徒即是囚徒2的一個信息集，集合的一個信息集，集合X1即是囚徒即是囚徒1的信息集。習(xí)慣上，我們通常把位于同一個信息集的節(jié)點用虛的信息集。習(xí)慣上，我們通常把位于同一個信息集的節(jié)點用虛線連接起來或者用圓圈圈起來，

7、只包含線連接起來或者用圓圈圈起來，只包含個節(jié)點的信息集就稱為個節(jié)點的信息集就稱為單點信息集單點信息集1、2、信息集的意義、信息集的意義 第一，使用信息集可以清楚地描繪出當(dāng)參與者行動時，他所處的第一，使用信息集可以清楚地描繪出當(dāng)參與者行動時，他所處的“環(huán)境環(huán)境”和和所有可能掌握的信息，因而所有可能掌握的信息，因而能揭示出博弈的信息特征能揭示出博弈的信息特征。 第二，信息集的使用還可以第二，信息集的使用還可以使靜態(tài)博弈轉(zhuǎn)化為動態(tài)博弈使靜態(tài)博弈轉(zhuǎn)化為動態(tài)博弈在博弈的基本式和在博弈的基本式和 擴展式之間架設(shè)了一道橋梁，博弈的擴展式成為能夠描述所有博弈類型的有擴展式之間架設(shè)了一道橋梁，博弈的擴展式成為能

8、夠描述所有博弈類型的有力工具。力工具。 第三，利用信息集概念，可以第三，利用信息集概念，可以表現(xiàn)復(fù)雜的信息結(jié)構(gòu)表現(xiàn)復(fù)雜的信息結(jié)構(gòu)，描述動態(tài)博弈局勢中局，描述動態(tài)博弈局勢中局中人在行動時知道的各種信息。我們還可以利用擴展型博弈表現(xiàn)靜態(tài)博弈中人在行動時知道的各種信息。我們還可以利用擴展型博弈表現(xiàn)靜態(tài)博弈 1、3 、信息集的規(guī)定：、信息集的規(guī)定： 第一，在任意一個信息集中的每一個節(jié)點上，參與者一定有相同的行動集第一，在任意一個信息集中的每一個節(jié)點上，參與者一定有相同的行動集合合 原因非常簡單，如果一個信息集中的兩個節(jié)點包含的行動不一樣，由于原因非常簡單，如果一個信息集中的兩個節(jié)點包含的行動不一樣，由

9、于參與者在不同的節(jié)點具有不同的行動、因而他一定能對這兩個節(jié)點作出區(qū)分。參與者在不同的節(jié)點具有不同的行動、因而他一定能對這兩個節(jié)點作出區(qū)分。這就與信息集的定義相矛盾。這就與信息集的定義相矛盾。 第二，信息集不得違背完美回憶的假定。第二，信息集不得違背完美回憶的假定。 完美回憶假定當(dāng)博弈中的參與者行動時，他對過去發(fā)生的一切情況都記得完美回憶假定當(dāng)博弈中的參與者行動時，他對過去發(fā)生的一切情況都記得清清楚楚。顯然完美回憶在現(xiàn)實生活中可能并不滿足，因而我們把它看作一清清楚楚。顯然完美回憶在現(xiàn)實生活中可能并不滿足，因而我們把它看作一 種假定，但完美回憶在現(xiàn)實生活中也普遍存在，例如，打過橋牌的人就知道橋種假

10、定，但完美回憶在現(xiàn)實生活中也普遍存在，例如，打過橋牌的人就知道橋牌游戲就是一個典型的完美回憶。牌游戲就是一個典型的完美回憶。 2、完美信息：指博弈中的每一個信息集只包含惟一一個節(jié)點、完美信息：指博弈中的每一個信息集只包含惟一一個節(jié)點 。3、完美信息博弈：完美信息博弈：當(dāng)每一個參與者行動時，他都能觀察到他的當(dāng)每一個參與者行動時，他都能觀察到他的 對手先前所有的行動。這種博弈我們定義為完美信息博弈對手先前所有的行動。這種博弈我們定義為完美信息博弈. 這類特殊的完美信息博弈，其中所有的信息集都是單點集，這類特殊的完美信息博弈，其中所有的信息集都是單點集，在完美信息博弈中，一次只有一個局中人在行動而且

11、他在行動在完美信息博弈中，一次只有一個局中人在行動而且他在行動時知道博弈的所有以往行動歷史。時知道博弈的所有以往行動歷史。 博弈開始時，局中人博弈開始時，局中人1在兩種行動在兩種行動U和和D中進行選擇，如果選中進行選擇，如果選擇擇U則博弈結(jié)束，結(jié)局為則博弈結(jié)束，結(jié)局為X1；如果選擇；如果選擇D，則由局中人，則由局中人2在在L和和R之間進行選擇如果局中人之間進行選擇如果局中人2選選L則博弈結(jié)局為則博弈結(jié)局為X2，局中人，局中人2選選R則局中人則局中人3在在m相相r中進行選擇。（見博弈樹中進行選擇。（見博弈樹 圖圖 ） 4、不具備完美回憶的博弈、不具備完美回憶的博弈 在經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用的絕大多數(shù)博弈模型

12、中均假設(shè)博弈在經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用的絕大多數(shù)博弈模型中均假設(shè)博弈具有具有“完美回憶完美回憶”即沒有局中人會忘記自己所知道即沒有局中人會忘記自己所知道的信息，所有局中人不記得自己以往的行動選擇。的信息，所有局中人不記得自己以往的行動選擇。 不具有完美回憶的例子如圖所示，該博弈中，局中人不具有完美回憶的例子如圖所示，該博弈中，局中人1首先在首先在u與與R兩種行動中進行選擇，局中人兩種行動中進行選擇，局中人2隨之行隨之行動，然后局中人動，然后局中人1再行動，這時局中人再行動，這時局中人1忘記了自己曾忘記了自己曾經(jīng)在經(jīng)在u與與R中作出的選擇，從而這一博弈不具有完美回中作出的選擇，從而這一博弈不具有完美回憶。憶。

13、 博弈理論研究的是完全理性的個人，因此涉及的博弈博弈理論研究的是完全理性的個人，因此涉及的博弈局勢應(yīng)該都具有完美回憶。局勢應(yīng)該都具有完美回憶。 在圖中，參與者2忘記了他曾經(jīng)知道的參與者1如何行動的信息。如果一個博弈不滿足完美回憶的要求，實際上我們就不可能對該博弈進行分析，因為忘記，所以一切后果都可能出現(xiàn)。在博弈論中，完美回憶和博弈的結(jié)構(gòu)是所有參與者的公共信息，是每一個博弈都必須滿足的條件。 得到擴展型博弈的表述后，就需要考察它的解。在以擴展型博弈表述的完全信息動態(tài)博弈中，納什均衡概念同樣適用，然而需要加以完善，最常用的解概念就是子博弈完美均衡。 子博弈通俗地說就是動態(tài)博弈的局部，只要是一子博弈

14、通俗地說就是動態(tài)博弈的局部，只要是一個單點信息集，它后面的所有節(jié)點個單點信息集，它后面的所有節(jié)點(信息集和結(jié)束信息集和結(jié)束點點)連同它本身就構(gòu)成了一個子博弈連同它本身就構(gòu)成了一個子博弈 “子博弈精練納什均衡子博弈精練納什均衡”，該模型的中心思想是，該模型的中心思想是將納什均衡中包含的不可置信的威脅剔除出去，將納什均衡中包含的不可置信的威脅剔除出去，使均衡戰(zhàn)略不再包含不可置信的威脅。它要求參使均衡戰(zhàn)略不再包含不可置信的威脅。它要求參 與人的決策在任何時點上都是最優(yōu)的，決策者與人的決策在任何時點上都是最優(yōu)的，決策者“隨機隨機 應(yīng)變應(yīng)變”，而不是固守舊略。，而不是固守舊略。 (一一)策略與行為策略策

15、略與行為策略 首先需要定義擴展型博弈中的純策略。由于首先需要定義擴展型博弈中的純策略。由于擴展型博弈中同一個局中人可能在多種場合擴展型博弈中同一個局中人可能在多種場合行動，所以局中人的全局策略應(yīng)該給出在每行動，所以局中人的全局策略應(yīng)該給出在每個需要決策的地方個需要決策的地方(每個信息集處每個信息集處)局中人的局中人的行動選擇。行動選擇。 例如，假設(shè)一種博弈局勢分兩個階段進行，在例如，假設(shè)一種博弈局勢分兩個階段進行，在第一階段中，局中人第一階段中，局中人1和和2分別在分別在U和和D中同時進中同時進行選擇，第一階段的結(jié)果告訴兩個局中人后，第行選擇，第一階段的結(jié)果告訴兩個局中人后，第二階段局中人同時

16、在二階段局中人同時在L和和R中進行選擇。共有四中進行選擇。共有四個結(jié)果個結(jié)果 這種窮舉式策略表述方式比較羅嗦，因此常用更簡單的方式這種窮舉式策略表述方式比較羅嗦，因此常用更簡單的方式來進行表示。例如，以上策略也可表示為：來進行表示。例如，以上策略也可表示為： “第一階段選第一階段選U。如果對方也選。如果對方也選U，則在第二階段選，則在第二階段選L. 否則，在其他情況下總選否則，在其他情況下總選R,簡化表述需要能對應(yīng)完整表述的策略簡化表述需要能對應(yīng)完整表述的策略. 例如，俗話說的例如，俗話說的“你不仁，我不義你不仁，我不義”就是更為熟悉的日常的就是更為熟悉的日常的策略表述方式，它表明，如果對方上

17、次采取了對自己不利的行動，策略表述方式，它表明，如果對方上次采取了對自己不利的行動，自己就在這次采取對對方不利的行動，而如果對方上次合作，那自己就在這次采取對對方不利的行動，而如果對方上次合作，那自己這次也合作。我們可以把它轉(zhuǎn)化為具體擴展型博弈中的完整自己這次也合作。我們可以把它轉(zhuǎn)化為具體擴展型博弈中的完整策略。策略。 這個例子也表現(xiàn)了擴展型博弈轉(zhuǎn)換為策略型時的一種現(xiàn)這個例子也表現(xiàn)了擴展型博弈轉(zhuǎn)換為策略型時的一種現(xiàn)象，完整的純策略給出了每個信息集處局中人的選擇，象，完整的純策略給出了每個信息集處局中人的選擇，但這有時是不必要的。但這有時是不必要的。 在示例中，局中人在示例中，局中人1第一階段決

18、定選擇第一階段決定選擇U，那么實際上，那么實際上 第一階段的結(jié)局不可能是第一階段的結(jié)局不可能是(D，U)和和(D，D)，只可能是，只可能是 (U，U)或或U，D)，所以策略中只要考慮后兩種結(jié)局處，所以策略中只要考慮后兩種結(jié)局處 自己的選擇就可以了。自己的選擇就可以了。 1、擴展型博弈可用策略型博弈的形式來表現(xiàn)、擴展型博弈可用策略型博弈的形式來表現(xiàn) 在以上定義的基礎(chǔ)上，可以建立擴展型博弈與策略型在以上定義的基礎(chǔ)上，可以建立擴展型博弈與策略型 博弈的對應(yīng)關(guān)系，通過擴展型博弈的純策略定義與相博弈的對應(yīng)關(guān)系，通過擴展型博弈的純策略定義與相 應(yīng)期望支付函數(shù)的建立，可以將擴展型博弈用策略型應(yīng)期望支付函數(shù)的

19、建立，可以將擴展型博弈用策略型 博弈的形式來表現(xiàn)博弈的形式來表現(xiàn) 擴展型博弈與對應(yīng)的策略型表述具有相同的純策略空擴展型博弈與對應(yīng)的策略型表述具有相同的純策略空間，但是行為策略與對應(yīng)策略型表述的混合策略在概念上并間，但是行為策略與對應(yīng)策略型表述的混合策略在概念上并不完全相同。不完全相同。行為策略中，局中人在各信息集處采用不同的行為策略中，局中人在各信息集處采用不同的隨機機制在對應(yīng)行動集中選擇。隨機機制在對應(yīng)行動集中選擇。 對此一個常用的比喻是：一種純策略是一本指令書，每對此一個常用的比喻是：一種純策略是一本指令書，每一頁說明在特定的信息集處如何行動，純策略空間就是由這一頁說明在特定的信息集處如何

20、行動，純策略空間就是由這些書組成的圖書館；混合策略是這些書上的一種概率分布，些書組成的圖書館；混合策略是這些書上的一種概率分布，即根據(jù)一定機制隨機地在這些書中進行選擇；一種行為策略即根據(jù)一定機制隨機地在這些書中進行選擇；一種行為策略則是一本書其中每一頁說明了對應(yīng)的若干行動中的隨機選則是一本書其中每一頁說明了對應(yīng)的若干行動中的隨機選擇。擇。 （一）納什均衡的缺陷（一）納什均衡的缺陷空洞威脅空洞威脅 策略型可以用來表述任意復(fù)雜的擴展型博弈，從而策略型可以用來表述任意復(fù)雜的擴展型博弈，從而拓展了納什均衡概念應(yīng)用的范圍。但是納什均衡有些是拓展了納什均衡概念應(yīng)用的范圍。但是納什均衡有些是不合理的不合理的

21、(澤爾滕指出，在擴展型博弈的納什均衡中有澤爾滕指出，在擴展型博弈的納什均衡中有些是不合理的些是不合理的). 擴展型博弈中的納什均衡的實現(xiàn)依賴于局中人不合擴展型博弈中的納什均衡的實現(xiàn)依賴于局中人不合理的理的“空洞威脅空洞威脅”，需要加以剔除，從而形成了子博弈，需要加以剔除，從而形成了子博弈完美均衡的概念。完美均衡的概念。 空洞威脅：空洞威脅： 發(fā)出威脅的局中人并不會真正實施這種策略，因為發(fā)出威脅的局中人并不會真正實施這種策略，因為這種策略對他來說不是最佳策略。這種策略對他來說不是最佳策略。 如果你對競爭者說：你不給我餡餅市場的一半的話如果你對競爭者說：你不給我餡餅市場的一半的話我就在今后一年中免

22、費發(fā)放餡餅，讓你一個都賣不出去，我就在今后一年中免費發(fā)放餡餅，讓你一個都賣不出去，對手是不會相信你的這種威脅的因為實施威脅行動對威對手是不會相信你的這種威脅的因為實施威脅行動對威脅者自己來說損失巨大，得不償失。脅者自己來說損失巨大，得不償失。 為了剔除依賴空洞威脅的納什均衡，要求均為了剔除依賴空洞威脅的納什均衡，要求均 衡策略在每個信息集上都是對于對手策略的最佳衡策略在每個信息集上都是對于對手策略的最佳 反應(yīng)，這樣就避免了局中人利用非最佳反應(yīng)策略反應(yīng)，這樣就避免了局中人利用非最佳反應(yīng)策略 來實施空洞威脅的情況，從而得出的均衡就是子來實施空洞威脅的情況，從而得出的均衡就是子 博弈完美均衡。博弈完

23、美均衡。第一步，從擴展式博弈第一步，從擴展式博弈(博弈樹博弈樹)的終點開始，找到每一個最后子博弈的終點開始，找到每一個最后子博弈(它不再飽含任何它不再飽含任何其他更小的子博弈其他更小的子博弈)的納什均衡，并計算出相應(yīng)的收益。的納什均衡，并計算出相應(yīng)的收益。 第二步，將每一個最后子博弈的起始點變成結(jié)束點，將計算出的每一個最后子博弈在第二步，將每一個最后子博弈的起始點變成結(jié)束點，將計算出的每一個最后子博弈在納什均衡下的收益寫在其下方、我們就獲得了一個新的擴展式博弈納什均衡下的收益寫在其下方、我們就獲得了一個新的擴展式博弈(或新的博弈樹或新的博弈樹)，稱稱為壓縮的擴展式博弈。這樣經(jīng)過一次壓縮，就剔除

24、為壓縮的擴展式博弈。這樣經(jīng)過一次壓縮，就剔除)，最后子博弈。，最后子博弈。 第三步，重復(fù)第一步和第二步，并重新得到一個壓縮式博弈和相應(yīng)的納什均衡。這個第三步，重復(fù)第一步和第二步，并重新得到一個壓縮式博弈和相應(yīng)的納什均衡。這個過程一直進行到最后只剩下唯一一個子博弈為止，這時根據(jù)在逆推過程中找到的一系過程一直進行到最后只剩下唯一一個子博弈為止，這時根據(jù)在逆推過程中找到的一系列子博弈的納什均衡組合列子博弈的納什均衡組合(表明在不同信息集下的行動指南表明在不同信息集下的行動指南)就是擴展式博弈的一個完就是擴展式博弈的一個完美美均衡。均衡。第四步，如果在逆推過程中沒有遇到多重均衡，那么這個策略組合就是惟

25、一的完美均第四步，如果在逆推過程中沒有遇到多重均衡，那么這個策略組合就是惟一的完美均衡；如果遇到了多重均衡，就需要對子博弈中每一個可能的均衡重復(fù)以上步驟，從而衡；如果遇到了多重均衡，就需要對子博弈中每一個可能的均衡重復(fù)以上步驟，從而得出所有的完美均衡。比如，一個擴展式博弈有兩個子博弈分別存在得出所有的完美均衡。比如，一個擴展式博弈有兩個子博弈分別存在2個和個和3個納什均個納什均衡，其他子博弈只有衡，其他子博弈只有1個納什均衡，那么該博弈就有個納什均衡，那么該博弈就有2x 36個完美均衡。個完美均衡。用用i1，5表示按順序先后提議的五個局中人，表示按順序先后提議的五個局中人，Xi表示每個人獲得的

26、金表示每個人獲得的金幣數(shù)。幣數(shù)。1、如果只剩下兩個人、如果只剩下兩個人(4和和5)，則，則4會建議會建議X4100，X5=0，自己同意，即便，自己同意，即便剩下的那個人反對也達到半數(shù)，所以這一提議肯定會得到通過。剩下的那個人反對也達到半數(shù)，所以這一提議肯定會得到通過。2、倒推到剩下三個人的情形，考慮到后續(xù)的均衡結(jié)局，提議的人、倒推到剩下三個人的情形，考慮到后續(xù)的均衡結(jié)局，提議的人3會建議會建議X399，X40，X51，從而贏得，從而贏得3的支持的支持(否則后續(xù)子博弈中否則后續(xù)子博弈中5只能得到只能得到0)，提案通過。提案通過。3、倒推到剩四個人的情形，提議的、倒推到剩四個人的情形，提議的2會建

27、議會建議X299，X30，X41，X50，這樣可得到，這樣可得到4的支持，從而通過方案。的支持，從而通過方案。4、倒推到博弈開始，、倒推到博弈開始，1會建議會建議X198，X20，X31，X40，X51，從，從而贏得而贏得3和和5的支持，就此結(jié)束博弈，這就是這一博弈局勢中的子博弈完美均的支持，就此結(jié)束博弈，這就是這一博弈局勢中的子博弈完美均衡。衡。 K8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r

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