一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法

1、2 無窮積分的性質(zhì)及收斂判別一、無窮積分的性質(zhì) 本節(jié)討論了無窮積分的性質(zhì),并用這些性質(zhì)得到無窮積分的收斂判別法.二、非負函數(shù)無窮積分的收斂判別法三、一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法( )daf xx收斂的充要條件是收斂的充要條件是,0ag 存在存在任給任給 1221( )d( )d( )d.uuuaauf xxf xxf xx 一、無窮積分的性質(zhì)12,u ug當當時時證證( )( )d , ,),( )duaaf uf xx uaf xx 設設則則lim( ).uf u收收斂斂的的充充要要條條件件是是存存在在極極限限 由由函函數(shù)數(shù)極限的柯西準則極限的柯西準則, ,此等價于此等價于(無窮積分收斂的柯

2、西準則無窮積分收斂的柯西準則) )無窮無窮積分積分 定理定理11.111.112120,()(),gau ug f uf u1221( )d( )d( )d.uuuauaf xxf xxf xx 性質(zhì)性質(zhì)11212( )d( )d,aafxxfxxkk 若若與與都都收收斂斂為為任意常數(shù)任意常數(shù), ,則則1122( )( ) dak fxk fxx即即根據(jù)反常積分定義根據(jù)反常積分定義, ,容易導出以下性質(zhì)容易導出以下性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)2. .,也也收收斂斂 且且性質(zhì)性質(zhì)21122( )( ) dak fxk fxx( )d( )d(),abf xxf xxba 與與( )d( )d( )d .b

3、aabf xxf xxf xx 同同時時收收斂斂或或同同時時發(fā)發(fā)散散，且且 , fa u若若在在任任何何有有限限區(qū)區(qū)間間上上可可積積, ,則則1122( )d( )d .aakfxxkfxx h(x) 在任意在任意 a, u上可積上可積, 且且( )d( )daaf xxg xx和和( )d.ah xx都都收收斂斂, ,則則收收斂斂證證 因為因為( )d( )daaf xxg xx和和收斂收斂, ,由柯西準則的必要性由柯西準則的必要性,120,gauug 例例1 1),),()()( axxgxhxf, f (x), g (x),若若1221( )d,( )d,uuuuf xxg xx2221

4、11( )d( )d( )d,uuuuuug xxh xxg xx 即即再由柯西準則的充分性再由柯西準則的充分性,( )d.ah xx證證得得收收斂斂21( )d.uuh xx ( )( )( ),f xh xg x又又因因為為所所以以 ,),( )d.uauaf xxm二、非負函數(shù)無窮積分的收斂判別法lim( ).uf u條條件件是是存存在在12( )0,f xuu由由于于當當時時，2121( )d( )d( )d0,uuuaauf xxf xxf xx定理定理11.2( (非負函數(shù)無窮積分的判別法非負函數(shù)無窮積分的判別法) ) 設定義在設定義在 上的非負函數(shù)上的非負函數(shù) f 在任何在任何

5、,)a , ,a u 上上可可積積 則則( )daf xx收斂的充要條件是收斂的充要條件是: :0,m使使證證( )( )d ,uaf uf xx( )daf xx則則收收斂斂的的充充要要設設 ,),( )d.uauaf xxm有有定理定理11.3 (非負函數(shù)無窮積分的比較判別法非負函數(shù)無窮積分的比較判別法) )( )( ), ,),f xg xxg在在 上的兩個非負函數(shù)上的兩個非負函數(shù) f , g 在任何有限區(qū)在任何有限區(qū) ,)a 增增函數(shù)的收斂判別準則函數(shù)的收斂判別準則, lim( )uf u存存在在的的充充要要條條從而從而 f (u) 是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的( ,).ua由單調(diào)遞由單調(diào)

6、遞( ) ,)f ua 件件是是在在上上有有界界, ,0,m即即使使間間 a, u 上可積上可積, ,且存在且存在 滿足滿足,ga設定義設定義證證 ( )dag xx若若收收斂斂, ,0, ,),mua則則( )d.uag xxm( )d( )d.uuaaf xxg xxm因因此此由非負函數(shù)無窮積分的判別法由非負函數(shù)無窮積分的判別法,( )daf xx收收斂斂. .( )d,( )daaf xxg xx 當當發(fā)發(fā)散散時時亦亦發(fā)發(fā)散散. .( )d,( )daag xxf xx 則則當當收收斂斂時時亦亦收收斂斂; ;第二個結論是第一個結論的逆否命題第二個結論是第一個結論的逆否命題, ,因此也成立

7、因此也成立. . 516d1xx收收斂斂. .例例2 判別判別516d1xx 的收斂性的收斂性.22( )d( )daafxxgxx數(shù)數(shù). .證證明明: :若若和和收收斂斂, ,則則( ) ( )d.af x g xx收收斂斂解解6 51dxx由由于于收收斂斂, ,因因此此6 56511.1xx顯然顯然設設 f (x), g(x)是定義在是定義在 上的非負連續(xù)函上的非負連續(xù)函 ,)a 例例3 3證證2222( )( )11d( )d( )d222aaafxgxxfxxgxx( ) ( )d.af x g xx收收斂斂, ,因因此此收收斂斂推論推論1 1 設非負函數(shù)設非負函數(shù) f 和和 g 在任

8、何在任何 a,u 上可積上可積, 且且( )lim.( )xf xcg x) i (0( )d( )daacf xxg xx若若， 則則與與收收斂斂性性相相同同; ;22( )( )( ) ( ),2fxgxf x g x而而由于由于(ii)0,( )d( )daacg xxf xx若若則則由由收收斂斂可可推推得得收收斂斂; ;(iii),( )d( )daacg xxf xx若若則則由由發(fā)發(fā)散散可可推推得得發(fā)發(fā)散散. . 證證 ( )(i)lim0,( )xf xcgaxgg x由由故故存存在在使使有有( ),( )2f xccg x即即3( )( )( ).22ccg xf xg x( )

9、d,( )d2aacf xxg xx若若收收斂斂 則則可可得得收收斂斂, ,從從而而( )d( )d,aag xxg xx收收斂斂. .反反之之若若收收斂斂 可可得得3( )d( )d.2aacg xxf xx收收斂斂, ,從從而而收收斂斂( )(ii)lim0,( )xf xgaxgg x由由存存在在使使有有( )( ), ,),( )daf xg xxgg xx即即因因此此由由收收斂斂( )d.af xx可可推推得得收收斂斂( )1,( )f xg x( )(iii)lim,( )xf xgaxgg x由存在使有由存在使有 ( )( ), ,),( )daf xg xxgg xx即即因因此

10、此由由發(fā)發(fā)散散( )d.af xx可可推推得得發(fā)發(fā)散散1(i)( )(1),( )dpaf xpf xxx若若則則收收斂斂; ;推論推論2 設設 f 是定義在是定義在 上的非負函數(shù)上的非負函數(shù), 在任何在任何 ,)a , a u有有限限區(qū)區(qū)間間上上可可積積. .( )1,( )f xg x) i (1, 0,( )dapf xx 當當時時收收斂斂; ;)ii(1, 0,( )d.apf xx 當當時時發(fā)發(fā)散散lim( ),pxx f x 若若則則限區(qū)間限區(qū)間 a, u 上可積上可積.推論推論3設設 f 是定義在是定義在 上的非負函數(shù)上的非負函數(shù),在任何有在任何有 ,)a 1(ii)( )(1)

11、,( )d.paf xpf xxx若若則則發(fā)發(fā)散散說明說明: : 推論推論3 3是推論是推論2 2的極限形式，讀者應不難寫的極限形式，讀者應不難寫出出它的證明它的證明. .例例4 討論討論1lndkpxxx的收斂性的收斂性 ( k 0 ).解解 (i),1時時p12lnlimpkpxxxx12lnlim0.pkxxx 1lnd.kpxxx因因此此由由推推論論3 3知知道道收收斂斂)ii(1ln1, limlimln.kpkpxxxpxxxx 時時1lnd.kpxxx因因此此同同理理知知道道發(fā)發(fā)散散無窮積分無窮積分( )daf xx滿滿足足條條件件( ) d,af xx收收斂斂( )d.af x

12、x則則絕絕對對收收斂斂稱稱以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性. 三、一般函數(shù)無窮積分的判別法若若 f 在任何在任何有限區(qū)間有限區(qū)間 a, u上可積上可積,( ) d, af xx且且收收斂斂 則則( )daf xx 亦必收斂,并且亦必收斂,并且( )d( ) d .aaf xxf xx定理定理11.411.4 ( (絕對收斂的無窮積分必收斂絕對收斂的無窮積分必收斂) )證證210,gauug 當當時時21( ) d,uuf xx 因此因此2211( )d( ) d.uuuuf xxf xx 再由柯西準則的充分性再由柯西準則的充分性, ( )da

13、f xx收收斂斂. .( )dlim( )d( ) d .uaaauf xxf xxf xx又對任意又對任意 ( )d( ) d ,uuaaf xxf xx于于是是,ua( ) d,af xx收收斂斂由柯西準則的必要性由柯西準則的必要性, 對對因因1sind()xxx ax因因此此絕絕對對收收斂斂. .收斂的無窮積分收斂的無窮積分( )daf xx不一定是絕對收斂的不一定是絕對收斂的.( )d|( )|d,aaf xxf xx若若收收斂斂而而發(fā)發(fā)散散 則則稱稱( )daf xx條條件件收收斂斂. .例例51sind(0)()xxax ax的收斂性的收斂性.判別判別解解sin1,()xx axx

14、 x而而3 211dxx收收斂斂, ,由于由于一般函數(shù)的無窮積分還可試用以下的狄利克雷一般函數(shù)的無窮積分還可試用以下的狄利克雷判判定理定理11.5( (狄利克雷判別法）狄利克雷判別法）( )( )duaf uf xx若若0( ) ( )d.af x g xx單單調(diào)調(diào)趨趨于于 ，則則收收斂斂 ,)( ) ,)ag xax 在在上上有有界界，在在上上當當時時lim( )0,xg x ,),( )d.0,uauaf xxm 設設由由于于證證,( ).4ga xgg xm 存存在在時時故故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性別法和阿貝爾判別法判別其收斂性. .,g因因為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù) 由由積積分分第第二

15、二中中值值定定理理 對對任任意意的的2112,uugu u 221112( ) ( )d()( )d()( )d ,uuuuf x g xxg uf xxg uf xx .2424 mmmm22()( )d( )duaag uf xxf xx 11()( )d( )duaag uf xxf xx 2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx于于是是使得使得因此因此, 由柯西準則，由柯西準則，( ) ( )d.af x g xx收收斂斂定理定理11.6 (阿貝爾判別法阿貝爾判別法) ,)( ) ( )d.aaf x g xx在在上上單

16、單調(diào)調(diào)有有界界，則則收收斂斂證證 證法證法1( ), ,),g xm xa設設由由于于( )d,af xx收收斂斂210,gauug 則則當當21( )d.4uuf xxm ( )d, ( )afxxg x若若收收斂斂由由 g 的單調(diào)性的單調(diào)性, ,用積分第二中值定理，任意的用積分第二中值定理，任意的2112,uugu u 使得使得 21duuf x g xx2112()( )d()( )d .uug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx因因此此2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx .244 mmmm由柯西準則由柯西準則,( ) ( )

17、d.af x g xx收收斂斂證法證法2( ) ,),g xaa因因在在上上單單調(diào)調(diào)有有界界 故故存存在在使使lim( ).xg xa11( )( ),( ) ,)0.g xg xag xa令令則則在在上上單單調(diào)調(diào)趨趨于于( )d,( )( )duaaf xxf uf xx又又因因收收斂斂 故故在在 ,),a 上上有有界界由狄利克雷判別法由狄利克雷判別法1( )( )daf x g xx( ) ( )daf x g xx1( )( )d( )d.aaf x g xxaf xx收收斂斂例例611sincosdd (0)ppxxxx pxx討討論論與與的收斂性的收斂性.解解sin11,ppxpxx

18、當當時時 由由于于1sindpxxx因因此此絕絕對收斂對收斂. .收斂收斂, ,所以所以01,1pu若若則則當當時時，因此，因此單調(diào)趨于單調(diào)趨于而而01px由狄利克雷判別法知由狄利克雷判別法知1sind.pxxx收收斂斂另一方面，另一方面，2sinsin1cos2,1,),22pxxxxxxxx12cos21cosdd22xtxtxt其其中中滿滿足足狄利克雷判狄利克雷判1sindcos1cos2,ux xu別法條件，是收斂的；別法條件，是收斂的；1d2xx而而發(fā)發(fā)散散，因因此此類似可證類似可證1cos01dpxpxx當當時時，條條件件收收斂斂; ;1cos1dpxpxx 當當時時，絕絕對對收收斂斂. .1sin01dpxpxx當當時時, ,條條件件收收斂斂; ;1sind.,pxxx發(fā)發(fā)散散 總總之之1sin1dpxpxx 當當時時，絕絕對對收收斂