大學數(shù)學教案：極限概念(limit)

1、最新大學數(shù)學 極限 極限概念是微積分的基本概極限概念是微積分的基本概念。極限是一種非初等運算念。極限是一種非初等運算, ,也也是微積分學研究的基本工具是微積分學研究的基本工具 . .后面將要介紹的函數(shù)的連續(xù)性、后面將要介紹的函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)、積分等重要概念，都是導數(shù)、積分等重要概念，都是以極限為基礎(chǔ)的。以極限為基礎(chǔ)的。極限是高等數(shù)學中的一種重要的研究方法。極限是高等數(shù)學中的一種重要的研究方法。最新大學數(shù)學 極限 極限是以發(fā)展的眼光分析事物極限是以發(fā)展的眼光分析事物(變量變量)的變化規(guī)律的變化規(guī)律,通過極限我們通過極限我們可以深入到函數(shù)的局部去了解函可以深入到函數(shù)的局部去了解函數(shù)數(shù),并且體會如

2、何在運動的過程并且體會如何在運動的過程中把握變化的事物中把握變化的事物,從而深化對從而深化對客觀世界的認識。客觀世界的認識。1.3.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限(limit of sequence)數(shù)列的定義：數(shù)列的定義：最新大學數(shù)學 極限 按照一定規(guī)律有次序排列的無按照一定規(guī)律有次序排列的無窮多個數(shù)稱為窮多個數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列。記作記作.nxnx稱為稱為通項通項( (一般項一般項) .) .,4321nxxxxx,1,41,31,21, 1n,) 1( ,1,1,11n最新大學數(shù)學 極限 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 數(shù)列極限的定義，請同學們回憶一下。數(shù)列極限的定義，請同學們回憶一下。 中國古代的極限思想：

3、中國古代的極限思想：“一尺之椎，日取其半，萬世不竭。一尺之椎，日取其半，萬世不竭。”,21,21,21,21,21432n考察當考察當n+時，通項時，通項xn的變化趨勢。的變化趨勢。數(shù)列極限的實質(zhì)：數(shù)列極限的實質(zhì)：)(0n最新大學數(shù)學 極限例例如如,1,41,31,21, 1n)(0n,) 1(,43,34,21,21nnn)(1n,2,8,4,2n)(n,) 1( ,1,1,11n趨勢不定趨勢不定最新大學數(shù)學 極限Axnnlim數(shù)列數(shù)列nx數(shù)列當項數(shù)數(shù)列當項數(shù)n無限變大時無限變大時),(n的極限定義：的極限定義：數(shù)列的各項數(shù)列的各項 數(shù)值向一個數(shù)值向一個常數(shù)常數(shù)A無限靠近，無限靠近，則稱常數(shù)

4、則稱常數(shù)A為該數(shù)列的極限。為該數(shù)列的極限。記作記作或或)(nAxn最新大學數(shù)學 極限 如果一個數(shù)列的極限存在如果一個數(shù)列的極限存在, ,則稱該則稱該數(shù)列是數(shù)列是收斂收斂(converge)(converge)； 如果一個數(shù)列的極限不存在如果一個數(shù)列的極限不存在, ,則稱該則稱該數(shù)列是數(shù)列是發(fā)散發(fā)散(diverge)(diverge)。最新大學數(shù)學 極限,21,21,21,21,21432n常數(shù)常數(shù) 0 稱為此數(shù)列的極限稱為此數(shù)列的極限)(0n021limnn記作：記作：最新大學數(shù)學 極限例如例如,1,41,31,21nnxn1)(0n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1(

5、)(1n收收 斂斂最新大學數(shù)學 極限,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定趨勢不定發(fā)發(fā) 散散最新大學數(shù)學 極限nn2lim,2,8,4,2n)(n記作：記作：最新大學數(shù)學 極限例例1.1. 已知已知,) 1() 1(2nxnn證明證明.0limnnx證證: :0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n最新大學數(shù)學 極限n時，時，0) 1(12n可以無限變小可以無限變小故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn0nx最新大學數(shù)學 極限函數(shù)函數(shù))(xf隨著自變量的變化而變化隨著自變量的變化而變化,研究研究函數(shù)的極限函數(shù)的極限,就是研究當自變量就

6、是研究當自變量按照某種按照某種方式變化時所對應(yīng)的方式變化時所對應(yīng)的1.3.21.3.2函數(shù)的極限函數(shù)的極限(limit of function)函數(shù)值的變化趨勢。函數(shù)值的變化趨勢。最新大學數(shù)學 極限二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限, )(xfy 對0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過程的六種自變量變化過程的六種形式形式:一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 : :最新大學數(shù)學 極限x時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限最新大學數(shù)學 極限定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在 x大于

7、某個正數(shù)大于某個正數(shù)a時有定義時有定義,A是某確定常數(shù)是某確定常數(shù),如果當自如果當自變量變量x 趨于趨于 時，時，f(x)與與A的距離的距離任意小任意小,則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在 時時以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限x.,時的極限類似可定義xx記為記為最新大學數(shù)學 極限指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay ) 1( a)1 , 0( xey )10( a最新大學數(shù)學 極限如如xexfy)(0limxxexxelim最新大學數(shù)學 極限例如例如. 01limxx01limxx. 01limxxoxyxy1.10的水

8、平漸近線為xyy同理同理: :最新大學數(shù)學 極限正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 不存在xxsinlim最新大學數(shù)學 極限xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)不存在xxcoslim最新大學數(shù)學 極限對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( a最新大學數(shù)學 極限xyarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù)最新大學數(shù)學 極限0 xx時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限最新大學數(shù)學 極限定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某空心鄰的某空心鄰域內(nèi)有定義域內(nèi)有定義，A是某確定常數(shù)，如果是某確定

9、常數(shù)，如果當自變量當自變量x趨近于趨近于x0時時，f(x)與與A的距的距離離任意小任意小,則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x趨于趨于x0時時以以A為極限，為極限，0 xx時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限)()()(lim00 xxAxfAxfxx或記為記為最新大學數(shù)學 極限 1 , 1)(xxxfx1yo10)(lim0 xfx11)(2xxxfyxoy12)(lim1xfx2最新大學數(shù)學 極限正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 1sinlim2xx0sinlim0 xx最新大學數(shù)學 極限xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)1coslim0 xx0coslim2xx最新大學數(shù)學 極限0c

10、oscoslim0 xxxx0sinsinlim0 xxxx00limxxxx 可以證明：可以證明：以下的極限均成立以下的極限均成立CCxx0lim.lim00 xxxx最新大學數(shù)學 極限3.3.單側(cè)極限單側(cè)極限- - 左極限與右極限左極限與右極限最新大學數(shù)學 極限左極限左極限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0 x如果當如果當 從從0 x的的左側(cè)無限趨近左側(cè)無限趨近0 x時時,記著記著,0 xx函數(shù)函數(shù)f(x)無限趨近于一個確定的常無限趨近于一個確定的常數(shù)數(shù)A, 則稱則稱A為函數(shù)為函數(shù)f(x)當當0 xx時的左極限。記作時的左極限。記作最新大學數(shù)學 極限類似可定義類似可定義右極限右極限

11、 : )0(0 xfAxfxx)(lim0函數(shù)的左極限和右極限函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。統(tǒng)稱為單側(cè)極限。最新大學數(shù)學 極限對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( a最新大學數(shù)學 極限例如：例如：xxxxxxxfy2, 1220,sin01,)(2),(lim0 xfx求0lim)(lim200 xxfxx0sinlim)(lim00 xxfxx)(lim0 xfx最新大學數(shù)學 極限定理定理1.11.1：Axfxx)(lim0當當 時時, ,函數(shù)函數(shù) 極限存在的極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，充要

12、條件是左、右極限存在且相等，即即)(xf0 xx Axfxfxxxx)(lim)(lim00最新大學數(shù)學 極限例例6. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論討論 0 x時時)(xf的極限是否存在的極限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因為因為)(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1最新大學數(shù)學 極限)(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1顯然顯然, )00()00(ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .最新大學數(shù)學 極限例例7 7 問問a a為何值時為何值時, ,所給函數(shù)所給函數(shù)x x=2=2處極限處極限存在。存在。)2(2)2(2

13、)2(10)(2xaxxaxxxf解解：左極限左極限2010lim)(lim)02(22xxffxx右極限右極限aaxxffxx24)2lim)(lim)02(222（最新大學數(shù)學 極限欲函數(shù)在欲函數(shù)在x x=2=2處極限存在，必須左極限處極限存在，必須左極限等于右極限，等于右極限，即即a=a=8 8最新大學數(shù)學 極限思考：思考： 1)1)研究函數(shù)極限時研究函數(shù)極限時, ,是否要考慮是否要考慮f f( (x x) )在在x x= =x x0 0時的性態(tài)？為什么？時的性態(tài)？為什么？ 2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都存在都存在, ,當當

14、x x趨趨于于x x0 0時時, ,f f( (x x) )的極限存在嗎？的極限存在嗎？ 3)3)如何利用如何利用f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)來判斷來判斷當當x x趨于趨于x x0 0 時時, ,f f( (x x) )的極限不存在？的極限不存在？ ？最新大學數(shù)學 極限4)4)若極限若極限)(lim0 xfxx是否一定有是否一定有)()(lim00 xfxfxx？最新大學數(shù)學 極限1coslim0 xx0coslim2xx2arctanlimxx2arctanlimxx1sinlim2xx0sinlim0 xx0limxxe01limxx常用

15、的極限結(jié)果：常用的極限結(jié)果：)(lim0為常數(shù)CCCxx最新大學數(shù)學 極限xxelim2limxxxxlnlimxxlnlim0 xx1lim0 xxcoslimxxsinlim極限不存在的有：極限不存在的有：最新大學數(shù)學 極限練習：練習：設(shè)設(shè))1(12)11(1)1()(2xxxxxxxf求：求：)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx最新大學數(shù)學 極限作業(yè)作業(yè)NO.13:(3) 分析分析 22)3(2xxy的復合結(jié)構(gòu)的復合結(jié)構(gòu).解解:由由2232xxvvuyu復合而成的復合而成的.最新大學數(shù)學 極限作業(yè)作業(yè)NO.13:(4) 分析分析 3)5cos3tan(1 3xy的復合結(jié)構(gòu)的復合結(jié)構(gòu).解解:由由xttvvuuy5cos3tan1323復合而成的復合而成的.xhttvvuuy5cosh3tan133最新大學數(shù)學 極限NO14. 不存