大學(xué)數(shù)學(xué)教案：極限概念(limit)

1、最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限 極限概念是微積分的基本概極限概念是微積分的基本概念。極限是一種非初等運(yùn)算念。極限是一種非初等運(yùn)算, ,也也是微積分學(xué)研究的基本工具是微積分學(xué)研究的基本工具 . .后面將要介紹的函數(shù)的連續(xù)性、后面將要介紹的函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念，都是導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念，都是以極限為基礎(chǔ)的。以極限為基礎(chǔ)的。極限是高等數(shù)學(xué)中的一種重要的研究方法。極限是高等數(shù)學(xué)中的一種重要的研究方法。最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限 極限是以發(fā)展的眼光分析事物極限是以發(fā)展的眼光分析事物(變量變量)的變化規(guī)律的變化規(guī)律,通過極限我們通過極限我們可以深入到函數(shù)的局部去了解函可以深入到函數(shù)的局部去了解函數(shù)數(shù),并且體會如

2、何在運(yùn)動的過程并且體會如何在運(yùn)動的過程中把握變化的事物中把握變化的事物,從而深化對從而深化對客觀世界的認(rèn)識?？陀^世界的認(rèn)識。1.3.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限(limit of sequence)數(shù)列的定義：數(shù)列的定義：最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限 按照一定規(guī)律有次序排列的無按照一定規(guī)律有次序排列的無窮多個數(shù)稱為窮多個數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列。記作記作.nxnx稱為稱為通項通項( (一般項一般項) .) .,4321nxxxxx,1,41,31,21, 1n,) 1( ,1,1,11n最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 數(shù)列極限的定義，請同學(xué)們回憶一下。數(shù)列極限的定義，請同學(xué)們回憶一下。 中國古代的極限思想：

3、中國古代的極限思想：“一尺之椎，日取其半，萬世不竭。一尺之椎，日取其半，萬世不竭?！?21,21,21,21,21432n考察當(dāng)考察當(dāng)n+時，通項時，通項xn的變化趨勢。的變化趨勢。數(shù)列極限的實質(zhì)：數(shù)列極限的實質(zhì)：)(0n最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限例例如如,1,41,31,21, 1n)(0n,) 1(,43,34,21,21nnn)(1n,2,8,4,2n)(n,) 1( ,1,1,11n趨勢不定趨勢不定最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限Axnnlim數(shù)列數(shù)列nx數(shù)列當(dāng)項數(shù)數(shù)列當(dāng)項數(shù)n無限變大時無限變大時),(n的極限定義：的極限定義：數(shù)列的各項數(shù)列的各項 數(shù)值向一個數(shù)值向一個常數(shù)常數(shù)A無限靠近，無限靠近，則稱常數(shù)

4、則稱常數(shù)A為該數(shù)列的極限。為該數(shù)列的極限。記作記作或或)(nAxn最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限 如果一個數(shù)列的極限存在如果一個數(shù)列的極限存在, ,則稱該則稱該數(shù)列是數(shù)列是收斂收斂(converge)(converge)； 如果一個數(shù)列的極限不存在如果一個數(shù)列的極限不存在, ,則稱該則稱該數(shù)列是數(shù)列是發(fā)散發(fā)散(diverge)(diverge)。最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限,21,21,21,21,21432n常數(shù)常數(shù) 0 稱為此數(shù)列的極限稱為此數(shù)列的極限)(0n021limnn記作：記作：最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限例如例如,1,41,31,21nnxn1)(0n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1(

5、)(1n收收 斂斂最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定趨勢不定發(fā)發(fā) 散散最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限nn2lim,2,8,4,2n)(n記作：記作：最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限例例1.1. 已知已知,) 1() 1(2nxnn證明證明.0limnnx證證: :0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限n時，時，0) 1(12n可以無限變小可以無限變小故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn0nx最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限函數(shù)函數(shù))(xf隨著自變量的變化而變化隨著自變量的變化而變化,研究研究函數(shù)的極限函數(shù)的極限,就是研究當(dāng)自變量就

6、是研究當(dāng)自變量按照某種按照某種方式變化時所對應(yīng)的方式變化時所對應(yīng)的1.3.21.3.2函數(shù)的極限函數(shù)的極限(limit of function)函數(shù)值的變化趨勢。函數(shù)值的變化趨勢。最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限, )(xfy 對0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過程的六種自變量變化過程的六種形式形式:一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 : :最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限x時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在 x大于

7、某個正數(shù)大于某個正數(shù)a時有定義時有定義,A是某確定常數(shù)是某確定常數(shù),如果當(dāng)自如果當(dāng)自變量變量x 趨于趨于 時，時，f(x)與與A的距離的距離任意小任意小,則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在 時時以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限x.,時的極限類似可定義xx記為記為最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay ) 1( a)1 , 0( xey )10( a最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限如如xexfy)(0limxxexxelim最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限例如例如. 01limxx01limxx. 01limxxoxyxy1.10的水

8、平漸近線為xyy同理同理: :最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 不存在xxsinlim最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)不存在xxcoslim最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( a最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限xyarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù)最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限0 xx時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某空心鄰的某空心鄰域內(nèi)有定義域內(nèi)有定義，A是某確定常數(shù)，如果是某確定

9、常數(shù)，如果當(dāng)自變量當(dāng)自變量x趨近于趨近于x0時時，f(x)與與A的距的距離離任意小任意小,則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x趨于趨于x0時時以以A為極限，為極限，0 xx時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限)()()(lim00 xxAxfAxfxx或記為記為最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限 1 , 1)(xxxfx1yo10)(lim0 xfx11)(2xxxfyxoy12)(lim1xfx2最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 1sinlim2xx0sinlim0 xx最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)1coslim0 xx0coslim2xx最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限0c

10、oscoslim0 xxxx0sinsinlim0 xxxx00limxxxx 可以證明：可以證明：以下的極限均成立以下的極限均成立CCxx0lim.lim00 xxxx最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限3.3.單側(cè)極限單側(cè)極限- - 左極限與右極限左極限與右極限最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限左極限左極限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0 x如果當(dāng)如果當(dāng) 從從0 x的的左側(cè)無限趨近左側(cè)無限趨近0 x時時,記著記著,0 xx函數(shù)函數(shù)f(x)無限趨近于一個確定的常無限趨近于一個確定的常數(shù)數(shù)A, 則稱則稱A為函數(shù)為函數(shù)f(x)當(dāng)當(dāng)0 xx時的左極限。記作時的左極限。記作最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限類似可定義類似可定義右極限右極限

11、 : )0(0 xfAxfxx)(lim0函數(shù)的左極限和右極限函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。統(tǒng)稱為單側(cè)極限。最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( a最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限例如：例如：xxxxxxxfy2, 1220,sin01,)(2),(lim0 xfx求0lim)(lim200 xxfxx0sinlim)(lim00 xxfxx)(lim0 xfx最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限定理定理1.11.1：Axfxx)(lim0當(dāng)當(dāng) 時時, ,函數(shù)函數(shù) 極限存在的極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，充要

12、條件是左、右極限存在且相等，即即)(xf0 xx Axfxfxxxx)(lim)(lim00最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限例例6. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論討論 0 x時時)(xf的極限是否存在的極限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因為因為)(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限)(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1顯然顯然, )00()00(ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限例例7 7 問問a a為何值時為何值時, ,所給函數(shù)所給函數(shù)x x=2=2處極限處極限存在。存在。)2(2)2(2

13、)2(10)(2xaxxaxxxf解解：左極限左極限2010lim)(lim)02(22xxffxx右極限右極限aaxxffxx24)2lim)(lim)02(222（最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限欲函數(shù)在欲函數(shù)在x x=2=2處極限存在，必須左極限處極限存在，必須左極限等于右極限，等于右極限，即即a=a=8 8最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限思考：思考： 1)1)研究函數(shù)極限時研究函數(shù)極限時, ,是否要考慮是否要考慮f f( (x x) )在在x x= =x x0 0時的性態(tài)？為什么？時的性態(tài)？為什么？ 2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都存在都存在, ,當(dāng)當(dāng)

14、x x趨趨于于x x0 0時時, ,f f( (x x) )的極限存在嗎？的極限存在嗎？ 3)3)如何利用如何利用f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)來判斷來判斷當(dāng)當(dāng)x x趨于趨于x x0 0 時時, ,f f( (x x) )的極限不存在？的極限不存在？ ？最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限4)4)若極限若極限)(lim0 xfxx是否一定有是否一定有)()(lim00 xfxfxx？最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限1coslim0 xx0coslim2xx2arctanlimxx2arctanlimxx1sinlim2xx0sinlim0 xx0limxxe01limxx常用

15、的極限結(jié)果：常用的極限結(jié)果：)(lim0為常數(shù)CCCxx最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限xxelim2limxxxxlnlimxxlnlim0 xx1lim0 xxcoslimxxsinlim極限不存在的有：極限不存在的有：最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限練習(xí)：練習(xí)：設(shè)設(shè))1(12)11(1)1()(2xxxxxxxf求：求：)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限作業(yè)作業(yè)NO.13:(3) 分析分析 22)3(2xxy的復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu).解解:由由2232xxvvuyu復(fù)合而成的復(fù)合而成的.最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限作業(yè)作業(yè)NO.13:(4) 分析分析 3)5cos3tan(1 3xy的復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu).解解:由由xttvvuuy5cos3tan1323復(fù)合而成的復(fù)合而成的.xhttvvuuy5cosh3tan133最新大學(xué)數(shù)學(xué) 極限NO14. 不存