理論力學思考題解答

1、第一章思考題解答1.1答：平均速度是運動質(zhì)點在某一時間間隔內(nèi)位矢大小和方向改變的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿對應(yīng)的軌跡割線方向；瞬時速度是運動質(zhì)點在某時刻或某未知位矢和方向變化的快慢程度其方向沿該時刻質(zhì)點所在點軌跡的切線方向。在的極限情況，二者一致，在勻速直線運動中二者也一致的。1.2答：質(zhì)點運動時，徑向速度和橫向速度的大小、方向都改變，而中的只反映了本身大小的改變，中的只是本身大小的改變。事實上，橫向速度方向的改變會引起徑向速度大小大改變，就是反映這種改變的加速度分量；經(jīng)向速度的方向改變也引起的大小改變，另一個即為反映這種改變的加速度分量，故，。這表示質(zhì)點的徑向與橫向運動在相互影響，

2、它們一起才能完整地描述質(zhì)點的運動變化情況1.3答：內(nèi)稟方程中，是由于速度方向的改變產(chǎn)生的，在空間曲線中，由于恒位于密切面內(nèi)，速度總是沿軌跡的切線方向，而垂直于指向曲線凹陷一方，故總是沿助法線方向。質(zhì)點沿空間曲線運動時，z何與牛頓運動定律不矛盾。因質(zhì)點除受作用力，還受到被動的約反作用力，二者在副法線方向的分量成平衡力，故符合牛頓運動率。有人會問：約束反作用力靠誰施加，當然是與質(zhì)點接觸的周圍其他物體由于受到質(zhì)點的作用而對質(zhì)點產(chǎn)生的反作用力。有人也許還會問：某時刻若大小不等，就不為零了？當然是這樣，但此時刻質(zhì)點受合力的方向與原來不同，質(zhì)點的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來所在的方位，又有

3、了新的副法線，在新的副法線上仍滿足。這反映了牛頓定律得瞬時性和矢量性，也反映了自然坐標系的方向雖質(zhì)點的運動而變。1.4答：質(zhì)點在直線運動中只有，質(zhì)點的勻速曲線運動中只有；質(zhì)點作變速運動時即有。1.5答：即反應(yīng)位矢大小的改變又反映其方向的改變，是質(zhì)點運動某時刻的速度矢量，而只表示大小的改變。如在極坐標系中，而。在直線運動中，規(guī)定了直線的正方向后，。且的正負可表示的指向，二者都可表示質(zhì)點的運動速度；在曲線運動中，且也表示不了的指向，二者完全不同。 表示質(zhì)點運動速度的大小，方向的改變是加速度矢量，而只是質(zhì)點運動速度大小的改變。在直線運動中規(guī)定了直線的正方向后，二者都可表示質(zhì)點運動的加速度；在曲線運動

4、中，二者不同，。1.6答：不論人是靜止投籃還是運動投籃，球?qū)Φ氐姆较蚩倯?yīng)指向籃筐，其速度合成如題1.6圖所示，故人以速度向球網(wǎng)前進時應(yīng)向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投出，（事實上要稍高一點，使球的運動有一定弧度，便于投籃）。1.7答：火車中的人看雨點的運動，是雨點的勻速下落運動及向右以加速度的勻速水平直線運動的合成運動如題1.7圖所示，是固定于車的坐標系，雨點相對車的加速度，其相對運動方程消去的軌跡如題圖，有人會問：車上的人看雨點的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線凹向的內(nèi)側(cè)，垂直于方向的分量在改變著的方向，該軌跡上凹。1.8答：設(shè)人發(fā)覺干落水時，船已上行，上行時船的絕

5、對速度，則 船反向追趕竿的速度，設(shè)從反船到追上竿共用時間，則 又竿與水同速，則 +=得1.9答：不一定一致，因為是改變物體運動速度的外因，而不是產(chǎn)生速度的原因，加速度的方向與合外力的方向一致。外力不但改變速度的大小還改變速度的方向，在曲線運動中外力與速度的方向肯定不一致，只是在加速度直線運動二者的方向一致。1.10答：當速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時，物體作直線運動。在曲線運動中若初速度方向與力的方向不一致，物體沿出速度的方向減速運動，以后各時刻既可沿初速度方向運動，也可沿力的方向運動，如以一定初速度上拋的物體，開始時及上升過程中初速度的方向運動，到達最高點下落過程中沿力的

6、方向運動。在曲線運動中初速度的方向與外力的方向不一致，物體初時刻速度沿初速度的反方向，但以后既不會沿初速度的方向也不會沿外力的方向運動，外力不斷改變物體的運動方向，各時刻的運動方向與外力的方向及初速度的方向都有關(guān)。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不一致，重力的方向決定了軌道的形狀開口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。1.11答：質(zhì)點僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達到任意點的速度只和初末時刻的高度差有關(guān)，因重力是保守力，而光滑靜止曲線給予質(zhì)點的發(fā)向約束力不做功，因此有此結(jié)論假如曲線不是光滑的，質(zhì)點還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不僅與初末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)，故質(zhì)點到達任

7、一點的速度不僅與初末高度差有關(guān)，還與曲線形狀有關(guān)。1.12答：質(zhì)點被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束力的方向總是垂直于質(zhì)點的運動方向，故約束力不做功，動能定理或能量積分中不含約束力，故不能求出約束力。但用動能定理或能量積分可求出質(zhì)點在某位置的速度，從而得出，有牛頓運動方程便可求出，即為約束力1.13答：動量 動能1.14答：故1.15答：動量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動量矩守恒并不意味著動量也守恒。如質(zhì)點受有心力作用而運動動量矩守恒是由于力過力心，力對力心的矩為零，但這質(zhì)點受的力并不為零，故動量不守恒，速度的大小和方向每時每刻都在改變。1.16答：若,在球坐標系中有

8、由于坐標系的選取只是數(shù)學手段的不同，它不影響力場的物理性質(zhì)，故在三維直角坐標系中仍有的關(guān)系。在直角坐標系中故 事實上據(jù)“”算符的性質(zhì)，上述證明完全可以簡寫為這表明有心力場是無旋場記保守立場1.17答平方反比力場中系統(tǒng)的勢能，其勢能曲線如題圖1.17圖所示，由。 若，其勢能曲線對應(yīng)于近日點和遠日點之間的一段。近日點處即為進入軌道需要的初動能若則質(zhì)點的運動無界，對應(yīng)于雙曲線軌道的運動；若位于有界和無界之間，對應(yīng)于拋物線軌道的運動；這兩種軌道的運動都沒有近日點，即對大的質(zhì)點的運動是無界的，當很大時，還是選無限遠為零勢點的緣故，從圖中可知，做雙曲軌道運動比拋物軌道和橢圓軌道需要的進入軌道需要的動能要大

9、。事實及理論都證明，平方反比引力場中質(zhì)點的軌道正是取決于進入軌道時初動能的大小由 得 即速度的大小就決定了軌道的形狀，圖中對應(yīng)于進入軌道時的達到第一二三宇宙速度所需的能量由于物體總是有限度的，故有一極小值，既相互作用的二質(zhì)點不可能無限接近，對于人造衛(wèi)星的發(fā)射其為地球半徑。為地面上發(fā)射時所需的初動能，圖示分別為使衛(wèi)星進入軌道時達到一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射動能。 .為進入軌道前克服里及空氣阻力做功所需的能量。1.18答：地球附近的物體都受到隨地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力的作用，此力的方位線平行于赤道平面，指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，則衛(wèi)星的慣性離心力與軌道平面的家

10、教越大，運動中受的影響也越大，對衛(wèi)星導向控制系統(tǒng)的要求越高。交角越大，對地球的直接探測面積越大，其科學使用價值越高。1.19答：對庫侖引力場有，軌道是雙曲線的一點，與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用，不同的是引力情況下力心在雙曲線凹陷方位內(nèi)側(cè)；若，軌道橢圓或拋物線，盧瑟福公式不適用，仿照課本上的推證方法，在入射速度的情況下即可得盧瑟福公式。近代物理學的正，負粒子的對撞試驗可驗證這一結(jié)論的近似正確性。第二章思考題解答2.1.答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出各規(guī)則形體的質(zhì)心把它們看作質(zhì)點組，然后求質(zhì)點組的質(zhì)心即為整個物體的質(zhì)心。對被割去的部分，先假定它存在，后以其

11、負質(zhì)量代入質(zhì)心公式即可。2.2.答：物體具有三個對稱面已足以確定該物體的規(guī)則性，該三平面的交點即為該物體的幾何對稱中心，又該物體是均勻的，故此點即為質(zhì)心的位置。2.3.答：對幾個質(zhì)點組成的質(zhì)點組，理論上可以求每一質(zhì)點的運動情況，但由于每一質(zhì)點受到周圍其它各質(zhì)點的相互作用力都是相互關(guān)聯(lián)的，往往其作用力難以預(yù)先知道；再者，每一質(zhì)點可列出三個二階運動微分方程，各個質(zhì)點組有個相互關(guān)聯(lián)的三個二階微分方程組，難以解算。但對于二質(zhì)點組成的質(zhì)點組，每一質(zhì)點的運動還是可以解算的。若質(zhì)點組不受外力作用，由于每一質(zhì)點都受到組內(nèi)其它各質(zhì)點的作用力，每一質(zhì)點的合內(nèi)力不一定等于零，故不能保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。這表明

12、，內(nèi)力不改變質(zhì)點組整體的運動，但可改變組內(nèi)質(zhì)點間的運動。2.4.答：把碰撞的二球看作質(zhì)點組，由于碰撞內(nèi)力遠大于外力，故可以認為外力為零，碰撞前后系統(tǒng)的動量守恒。如果只考慮任一球，碰撞過程中受到另一球的碰撞沖力的作用，動量發(fā)生改變。2.5.答：不矛盾。因人和船組成的系統(tǒng)在人行走前后受到的合外力為零（忽略水對船的阻力），且開船時系統(tǒng)質(zhì)心的初速度也為零，故人行走前后系統(tǒng)質(zhì)心相對地面的位置不變。當人向船尾移動時，系統(tǒng)的質(zhì)量分布改變，質(zhì)心位置后移，為抵消這種改變，船將向前移動，這是符合質(zhì)心運動定理的。2.6.答：碰撞過程中不計外力，碰撞內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動量，但碰撞內(nèi)力很大，使物體發(fā)生形變，內(nèi)力做功使系

13、統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為相碰物體的形變能（分子間的結(jié)合能），故動量守恒能量不一定守恒。只有完全彈性碰撞或碰撞物體是剛體時，即相撞物體的形變可以完全恢復或不發(fā)生形變時，能量也守恒，但這只是理想情況。2.7.答：設(shè)質(zhì)心的速度，第個質(zhì)點相對質(zhì)心的速度，則，代入質(zhì)點組動量定理可得這里用到了質(zhì)心運動定理。故選用質(zhì)心坐標系，在動量定理中要計入慣性力。但質(zhì)點組相對質(zhì)心的動量守恒。當外力改變時，質(zhì)心的運動也改變，但質(zhì)點組相對于質(zhì)心參考系的動量不變，即相對于質(zhì)心參考系的動量不受外力影響，這給我們解決問題帶來不少方便。值得指出：質(zhì)點組中任一質(zhì)點相對質(zhì)心參考系有 ，對質(zhì)心參考系動量并不守恒。2.8.答不對.因為人拋球前后球與

14、船和人組成的系統(tǒng)的動量守恒，球拋出后船和人的速度不再是。設(shè)船和人的質(zhì)量為，球拋出后船和人的速度為，則 球出手時的速度應(yīng)是。人做的功應(yīng)等于系統(tǒng)動能的改變，不是只等于小球動能的改變，故人做的功應(yīng)為顯然與系統(tǒng)原來的速度無關(guān)。2.9.答：秋千受繩的拉力和重力的作用，在運動中繩的拉力提供圓弧運動的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力勢能與動能相互轉(zhuǎn)化。當秋千蕩到鉛直位置向上去的過程中，人站起來提高系統(tǒng)重心的位置，人克服重力做功使系統(tǒng)的勢能增加；當達到最高點向豎直位置折回過程中，人蹲下去，內(nèi)力做功降低重心位置使系統(tǒng)的動能增大，這樣循環(huán)往復，系統(tǒng)的總能不斷增大，秋千就可以越蕩越高。這時能量

15、的增長是人體內(nèi)力做功，消耗人體內(nèi)能轉(zhuǎn)換而來的。2.10.答：火箭里的燃料全部燒完后，火箭的質(zhì)量不再改變，然而質(zhì)量不變是變質(zhì)量物體運動問題的特例，故2.7（2）中諸公式還能適用，但諸公式都已化為恒質(zhì)量系統(tǒng)運動問題的公式。2.11.答：由知，要提高火箭的速度必須提高噴射速度或增大質(zhì)量比。由于燃料的效能，材料的耐溫等一系列技術(shù)問題的限制，不能過大；又由于火箭的外殼及各裝置的質(zhì)量相當大，質(zhì)量比也很難提高，故采用多級火箭，一級火箭的燃料燃完后外殼自行脫落減小火箭的質(zhì)量使下一級火箭開始工作后便于提高火箭的速度。若各級火箭的噴射速度都為，質(zhì)量比分別為，各級火箭的工作使整體速度增加，則火箭的最后速度因每一個都

16、大于1，故可達到相當大的值。但火箭級數(shù)越多，整個重量越大，制造技術(shù)上會帶來困難，再者級越高，質(zhì)量比越減小，級數(shù)很多時，質(zhì)量比逐漸減小趨近于1，速度增加很少。故火箭級數(shù)不能過多，一般三至四級火箭最為有效。第三章思考題解答3.1 答：確定一質(zhì)點在空間中得位置需要3個獨立變量，只要確定了不共線三點的位置剛體的位置也就確定了，故須九個獨立變量，但剛體不變形，此三點中人二點的連線長度不變，即有三個約束方程，所以確定剛體的一般運動不需3n個獨立變量，有6個獨立變量就夠了.若剛體作定點轉(zhuǎn)動，只要定出任一點相對定點的運動剛體的運動就確定了，只需3個獨立變量；確定作平面平行運動剛體的代表平面在空間中的方位需一個

17、獨立變量，確定任一點在平面上的位置需二個獨立變量，共需三個獨立變量；知道了定軸轉(zhuǎn)動剛體繞轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)角，剛體的位置也就定了，只需一個獨立變量；剛體的平動可用一個點的運動代表其運動，故需三個獨立變量。3.2 答物體上各質(zhì)點所受重力的合力作用點即為物體的重心。當物體的大小遠小于地球的線度時物體上各質(zhì)點所在點的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力場為均勻場，此時質(zhì)心與重心重合。事實上但物體的線度很大時各質(zhì)點所在處的大小是嚴格相等，且各質(zhì)點的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心與質(zhì)心不和。3.3答 當物體為均質(zhì)時，幾何中心與質(zhì)心重合；當物體的大小遠小于地球的線度時，質(zhì)心與重心重合；當物體為均質(zhì)且大小遠

18、小于地球的線度時，三者都重合。3.4 答 主矢是力系各力的矢量和，他完全取決于力系中各力的大小和方向，故主矢不隨簡化中心的位置而改變，故而也稱之為力系的主矢；簡化中心的位置不同，各力對簡化中心的位矢也就不同則各力對簡化中心的力矩也就不同，故主矩隨簡化中心的位置而變，被稱之為力系對簡化中心的主矩。分別取和為簡化中心，第個力對和的位矢分別為和，則=+，故即主矢不變，表明剛體的平動效應(yīng)不變，主矩隨簡化中心的位置改變，表明力系的作用對剛體上不同點有不同的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，但不改變整個剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律或者說不影響剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。設(shè)和對質(zhì)心的位矢分別為和，則=+，把點的主矢，主矩移到點得力系對重心的主矩把為簡化中

19、心得到的主矢和主矩移到點可得簡化中心的改變引起主矩的改變并不影響剛體的運動。事實上，簡化中心的選取不過人為的手段，不會影響力系的物理效應(yīng)。3.5 答 不等。如題3-5圖示，繞軸的轉(zhuǎn)動慣量這表明平行軸中沒有一條是過質(zhì)心的，則平行軸定理是不適應(yīng)的3.6不能，如3-5題。但平行軸定理修改后可用于不過質(zhì)心的二平行軸。如題3-6圖所示，均質(zhì)棒上二點到質(zhì)心的距離分別為和由平行軸定理得：則，此式即可用于不過質(zhì)心的二平行軸。如上題用此式即可求得：3.7 答 任一瞬時，作平面平行運動的剛體上或與剛體固連且與剛體一起運動的延拓平面總有也僅有一點的瞬時速度為零（轉(zhuǎn)動瞬心）從運動學觀點看由（3.7.1）式知選此點的基

20、點較好，這樣選基點，整個剛體僅繞此點作瞬時轉(zhuǎn)動從（3.7.4）式可知，求加速度時選加速度為零的點為基點較方便，但實際問題中，加速度瞬心往往不如速度瞬心好找。從動力學角度考慮，選質(zhì)心為基點較好，因質(zhì)心的運動可由質(zhì)心運動定理解決；而且質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理于對固定點的動量矩定理具有相同的形式，亦即剛體繞過質(zhì)心與平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動可用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的定律去解決。因剛體上不同點有不同的速度和加速度，基點選取的不同，則（3.7.1）和（3.7.4）式中不同，即和與基點有關(guān)；又任一點相對基點的位矢于基點的選取有關(guān)。故任一點繞基點轉(zhuǎn)動速度，相對基點的切線加速度和相對基點的向心加速度與基點選取有關(guān)；角速度

21、為剛體各點所共有與基點選取無關(guān)，故也與基點選取無關(guān)；基點選取的不同是人為的方法，它不影響剛體上任一點的運動，故任一點的速度與基點的選取無關(guān)。這也正是基點選取任意性的實質(zhì)所在。3.8 答 轉(zhuǎn)動瞬心在無窮遠處，標志著此瞬時剛體上各點的速度彼此平行且大小相等，意味著剛體在此瞬時的角速度等于零，剛體作瞬時平動3.9 答 轉(zhuǎn)動瞬心的瞬時速度為零，瞬時加速度并不為零，否則為瞬時平動瞬心參考系是非慣性系，應(yīng)用動量矩定理是必須計入慣性力系對瞬心的力矩。而慣性力系向瞬心簡化的結(jié)果，慣性力系的主矩一般不為零（向質(zhì)心簡化的結(jié)果慣性力系的主矩為零），故相對瞬心與相對定點或者質(zhì)心的動量矩定理有不同的形式；另外，轉(zhuǎn)動瞬心

22、在空間中及剛體上的位置都在不停的改變，（質(zhì)心在剛體上的位置是固定的），故對瞬心的寫出的動量矩定理在不同時刻是對剛體上不同點的動力學方程，即瞬心參考系具有不定性；再者，瞬心的運動沒有像質(zhì)心一點定理那樣的原理可直接應(yīng)用。故解決實際問題一般不對瞬心應(yīng)用動量矩定理寫其動力學方程。3.10 答 因圓柱體沿斜面滾下時，圓柱體與斜面之間的反作用力不做功，只有重力作功，故機械能守恒且守恒定律中不含反作用，故不能求出此力。此過程中由于圓柱體只滾動不滑動，摩擦力做功為零，故不列入摩擦力的功，也正是摩擦力不做功才保證了機械能守恒；若圓柱體即滾且滑的向下運動，摩擦力做功不為零免責必須列入摩擦力的功。機械能不守恒，必須

23、用動能定理求解。在純滾動過程中不列入摩擦力的功并不是沒有摩擦力，事實上，正是摩擦力與重力沿下滑方向的分離組成力偶使圓柱體轉(zhuǎn)動且摩擦阻力阻止了柱體與斜面的相對滑動，才使圓柱體沿斜面滾動而不滑動；如果斜面不能提供足夠的摩擦力，則圓柱體會連滾帶滑的向下運動；如果斜面絕對光滑，即斜面對圓柱體不提供摩擦力，則圓柱體在重力作用下沿斜面只滑動不滾動。 答 圓柱體沿斜面無滑動滾動，如課本195頁例2示，當柱體一定時，相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量越大則越小，故與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)。當圓柱體沿斜面既滾動又滑動地向下運動時，如課本圖3.7.7有這里是滑動摩擦力，是滑動摩擦系數(shù)，（注意，無滑動時，靜摩擦力并不一定達到極限值，是靜摩擦

24、系數(shù)）、所以與轉(zhuǎn)動慣量無關(guān)。又有轉(zhuǎn)動定律得即 由得圓柱與斜面的相對滑動加速度與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)3.11 答 剛體作定點轉(zhuǎn)動或定軸轉(zhuǎn)動時，體內(nèi)任一點的線速度才可寫為，這時是任一點到左邊一點引出的矢徑不等于該點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離對定點運動剛體圓點一般取在定點位置，對定軸轉(zhuǎn)動剛體，坐標原點可取在定軸上任一點；包含原點且與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)的各點，才等于到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。當剛體作平面平行運動或任意運動時，人一點相對與基點的速度也可寫為，其中為該點向基點引的矢徑。3.12 答 剛體繞定點轉(zhuǎn)動時，的大小、方向時刻改變，任意時刻所在的方位即為瞬時轉(zhuǎn)軸，表示由于大小和方向的改變引起的剛體上某但繞瞬時軸的轉(zhuǎn)動速度，故稱

25、轉(zhuǎn)動加速度。是由于剛體上某點繞瞬時軸轉(zhuǎn)動引起速度方向改變產(chǎn)生的加速度，它恒垂直指向瞬時轉(zhuǎn)軸，此方向軌跡的曲率中心或定點，故稱向軸加速度而不稱向心加速度。3.13 答 在對定點應(yīng)用動量矩定理推導歐勒動力學方程時，既考慮了剛體繞定點轉(zhuǎn)動的定量矩隨固連于剛體的坐標系繞定點轉(zhuǎn)動引起的動量矩改變，又考慮了相對固連于剛體的坐標軸的運動引起動量矩的改變也就是說，既考慮了隨剛體運動的牽連運動，又考慮了相對于剛體的相對運動，是以固定參考系觀測矢量對時間微商的，故用這種坐標系并不影響對剛體運動的研究。3.14 答 歐勒動力學方程的第二項是由于動量矩矢量隨剛體以角速度轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的它們具有定性力矩的物理意義，各項的負值

26、表示了慣性力系對定點的主矩在各動軸上的分量第四章思考題解答4.1.答：矢量的絕對變化率即為相對于靜止參考系的變化率。從靜止參考系觀察變矢量隨轉(zhuǎn)動系以角速度相對與靜止系轉(zhuǎn)動的同時本身又相對于動系運動，所以矢量的絕對變化率應(yīng)當寫作。其中是相對于轉(zhuǎn)動參考系的變化率即相對變化率；是隨動系轉(zhuǎn)動引起的變化率即牽連變化率。若相對于參考系不變化，則有，此時牽連運動就是絕對運動，；若即動系作動平動或瞬時平動，則有此時相對運動即為絕對運動 ；另外，當某瞬時，則，此時瞬時轉(zhuǎn)軸與平行，此時動系的轉(zhuǎn)動不引起的改變。當動系作平動或瞬時平動且相對動系瞬時靜止時，則有；若隨動系轉(zhuǎn)動引起的變化與相對動系運動的變化等值反向時，也

27、有。4.2.答：式（4.1.2） 是平面轉(zhuǎn)動參考系的單位矢對時間的微商，表示由于動系轉(zhuǎn)動引起方向的變化率。由于動坐標系中的軸靜止不動。故有；又恒沿軸方位不變，故不用矢積形式完全可以表示和。式（4.2.3），是空間轉(zhuǎn)動坐標系的單位矢對時間的微商，表示由于動系轉(zhuǎn)動引起方向的變化率，因動系各軸都轉(zhuǎn)動；又在空間的方位隨時間改變際不同時刻有不同的瞬時轉(zhuǎn)軸，故必須用矢積表示 。（4.1.2）是（4.2.3）的特例，當代入（4.2.3），即為（4.1.2）式。不能由式（4.1.2）推出（4.2.3）。4.3.答：人隨衛(wèi)星式飛船繞地球轉(zhuǎn)動過程中受到慣性離心力作用，此力與地心引力方向相反，使人處于失重狀態(tài)，故感

28、到身輕如燕。4.4.答：慣性離心力是隨轉(zhuǎn)動坐標系一起轉(zhuǎn)動的物體受到慣性離心力，它作用于隨動系一起轉(zhuǎn)動的物體上，它不是物體間的相互作用產(chǎn)生的，也不是產(chǎn)生反作用力，是物體的慣性在非慣性系的反映；離心力是牛頓力，是作用于給曲線運動提供向心力的周圍物體上的力，或者說離心力是作用于轉(zhuǎn)動坐標系上的力，它是向心力的反作用力。4.5.答：如題4.5所示，由于物體相對于圓盤的速度矢量，故科里奧利力；又，故牽連切向慣心力；所以物體只受到牽連法向慣性力即慣性離心力的作用，如圖示，方向垂直于轉(zhuǎn)軸向外。4.6.答；單線鐵路上，南來北往的列車都要通過，以北半球為例，火車受到的科氏慣性力總是指向運動方向的右側(cè)（南半球相反）

29、，從北向南來的列車使西側(cè)鐵軌稍有磨損，故兩條鐵軌的磨損程度并不相同。4.7.答：拋體的落地偏差是由于科里奧利力引起的，當炮彈自赤道水平方向朝北或朝正南射出時，出刻，科里奧利力為零，但炮彈運行受重力作用改變方向使得與不平行，朝北和朝南射出的炮彈都有向東的落地偏差。若以仰角或垂直向上射出，炮彈上升和降落過程中科氏慣性力方向相反，大小相等，且上升時間等于下降時間，故落地無偏差。4.8.答：單擺震動面的旋轉(zhuǎn)是擺錘 受到科里奧利力的緣故，其中是擺錘的質(zhì)量，是地球繞地軸的自轉(zhuǎn)角速度，是擺錘的速度。南半球上擺錘受到的科氏力總是指向起擺動方向的左側(cè)，如題4.8圖是南半球上單擺的示意圖，若沒有科氏慣性力，單擺將

30、沿擺動，事實上由于科里奧利力的作用單擺從向擺動逐漸向左側(cè)移動到達點，從點向回擺動過程中逐漸 左偏到達點，以此推論，擺動平面將沿逆時針方向偏轉(zhuǎn)。科里奧利力很小，每一次擺動，平面的偏轉(zhuǎn)甚微，必須積累很多次擺動，才顯出可覺察的偏轉(zhuǎn)。（圖中是為了便于說明而過分夸張的示意圖）。由，在赤道上緯度，即在赤道上擺動平面不偏轉(zhuǎn)。這里不難理解的，若擺動平面沿南北方向，科氏慣性力為零；若單擺平面沿東西方位，則科氏力一定在赤道平面與單擺的擺動平面共面，故不會引起擺動平面的偏轉(zhuǎn)。4.9.答：在上一章剛體運動學中，動系固連于剛體一起轉(zhuǎn)動，但剛體上任一點相對于動坐標系沒有相對運動，即各點的相對速度，故科里奧利加速度。事實上

31、，科氏加速度是牽連轉(zhuǎn)動與相對運動相互影響而產(chǎn)生的，沒有相對運動，就談不到科里奧利加速度的存在。第四章習題4.1一等腰直角三角形在其自身平面內(nèi)以勻角速繞頂點轉(zhuǎn)動。某一點以勻相對速度沿邊運動，當三角形轉(zhuǎn)了一周時，點走過了。如已知，試求點在時的絕對速度與絕對加速度。 4.2一直線以勻角速在一固定平面內(nèi)繞其一端轉(zhuǎn)動。當直線為于的位置時，有一質(zhì)點開始從點沿該直線運動。如欲使此點的絕對速度的量值為常數(shù)，問此點應(yīng)按何種規(guī)律沿此直線運動？ 4.3點離開圓錐頂點，以速度沿母線作勻速運動，此圓錐則以勻角速繞其軸轉(zhuǎn)動。求開始秒后點絕對加速度的量值，假定圓錐體的半頂角為。 4.4小環(huán)重，穿在曲線形的光滑鋼絲上，此曲線

32、通過坐標原點，并繞豎直軸以勻角速轉(zhuǎn)動。如欲使小環(huán)在曲線上任何位置均處于相對平衡狀態(tài)，求此曲線的形狀及曲線對小環(huán)的約束反作用力。 4.5在一光滑水平直管中有一質(zhì)量為的小球。此管以勻角速繞通過其一端的豎直軸轉(zhuǎn)動。如開始時，球距轉(zhuǎn)動軸的距離為，球相對于管的速度為零，而管的總長則為。求球剛要離開管口時的相對速度與絕對速度，并求小球從開始運動到離開管口所需的時間。 4.6一光滑細管可在豎直平面內(nèi)繞通過其一端的水平軸以勻角速轉(zhuǎn)動，管中有一質(zhì)量為的質(zhì)點。開始時，細管取水平方向，質(zhì)點距轉(zhuǎn)動軸的距離為，質(zhì)點相對于管的速度為，試求質(zhì)點相對于管的運動規(guī)律。4.7 質(zhì)量分別為及的兩個質(zhì)點，用一固定有長度為的彈性繩相連

33、，繩的倔強系數(shù)為。如將此系統(tǒng)放在光滑的水平管中，管子繞管上某點以勻角速轉(zhuǎn)動，試求任一瞬時兩質(zhì)點間的距離。設(shè)開始時，質(zhì)點相對于管子是靜止的。 4.8 軸為豎直而頂點向下的拋物線形金屬絲上，以勻角速繞豎直軸轉(zhuǎn)動。另有一質(zhì)量為的小環(huán)套在此金屬絲上，并沿著金屬絲滑動。試求小環(huán)運動微分方程。已知拋物線的方程為，式中為常數(shù)。計算時可忽略摩檫阻力。 4.9 在上題中，試用兩種方法求小環(huán)相對平衡的條件。 4.10 質(zhì)量為的小環(huán)，套在半徑為的光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動。如圓圈在水平面內(nèi)以勻角速繞圈上某點轉(zhuǎn)動，試求小環(huán)沿圓圈切線方向的運動微分方程。 4.11 如自北緯為的地方，以仰角自地面向東方發(fā)射一炮彈，炮彈

34、的腔口速度為。計及地球自轉(zhuǎn)，試證此炮彈落地的橫向偏離為 式中為地球自轉(zhuǎn)的角速度。計算時可忽略項。 4.12一質(zhì)點如以初速在緯度為的地方豎直向上射出，達到h高后，復落至地面。假定空氣阻力可以忽略不計，試求落至地面時的偏差。第五章思考題解答5.1 答：作.用于質(zhì)點上的力在任意虛位移中做的功即為虛功，而虛位移是假想的、符合約束的、無限小的.即時位置變更，故虛功也是假想的、符合約束的、無限小的.且與過程無關(guān)的功，它與真實的功完全是兩回事.從可知：虛功與選用的坐標系無關(guān)，這正是虛功與過程無關(guān)的反映；虛功對各虛位移中的功是線性迭加，虛功對應(yīng)于虛位移的一次變分.在虛功的計算中應(yīng)注意：在任意虛過程中假定隔離保

35、持不變，這是虛位移無限小性的結(jié)果.虛功原理給出受約束質(zhì)點系的平衡條件，比靜力學給出的剛體平衡條件有更普遍的意義；再者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功，利用虛功原理還可解決動力學問題，這是剛體力學的平衡條件無法比擬的；另外，利用虛功原理解理想約束下的質(zhì)點系的平衡問題時，由于約束反力自動消去，可簡便地球的平衡條件；最后又有廣義坐標和廣義力的引入得到廣義虛位移原理，使之在非純力學體系也能應(yīng)用，增加了其普適性及使用過程中的靈活性.由于虛功方程中不含約束反力.故不能求出約束反力，這是虛功原理的缺點.但利用虛功原理并不是不能求出約束反力，一般如下兩種方法：當剛體受到的主動力為已知時，解除某約束或某一方向的約

36、束代之以約束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘數(shù)法，景觀比較麻煩，但能同時求出平衡條件和約束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是從虛功原理推出的，而徐公原理只適用于具有理想約束的力學體系虛功方程中不含約束反力，故拉格朗日方程也只適用于具有理想約束下的力學體系，不含約束力；再者拉格朗日方程是從力學體系動能改變的觀點討論體系的運動，而約束反作用力不能改變體系的動能，故不含約束反作用力，最后，幾何約束下的力學體系其廣義坐標數(shù)等于體系的自由度數(shù)，而幾何約束限制力學體系的自由運動，使其自由度減小，這表明約束反作用力不對應(yīng)有獨立的廣義坐標，故不含約束反作用力.這里討論的是完整系的拉格朗日方程，對受有幾何約束

37、的力學體系既非完整系，則必須借助拉格朗日未定乘數(shù)法對拉格朗日方程進行修正.廣義坐標市確定質(zhì)點或質(zhì)點系完整的獨立坐標，它不一定是長度，可以是角度或其他物理量，如面積、體積、電極化強度、磁化強度等.顯然廣義坐標不一定是長度的量綱.在完整約束下，廣義坐標數(shù)等于力學體系的自由度數(shù)；廣義力明威力實際上不一定有力的量綱可以是力也可以是力矩或其他物理量，如壓強、場強等等，廣義力還可以理解為；若讓廣義力對應(yīng)的廣義坐標作單位值的改變，且其余廣義坐標不變，則廣義力的數(shù)值等于外力的功由知，有功的量綱，據(jù)此關(guān)系已知其中一個量的量綱則可得到另一個量的量綱.若是長度，則一定是力，若是力矩，則一定是角度，若是體積，則一定是

38、壓強等.5.3 答 與不一定只相差一個常數(shù)，這要由問題的性質(zhì)、坐標系的選取形式及廣義坐標的選用而定。直角坐標系中質(zhì)點的運動動能，若取為廣義坐標，則，而，相差一常數(shù)，如定軸轉(zhuǎn)動的剛體的動能，取廣義坐標，而與相差一常數(shù)轉(zhuǎn)動慣量，又如極坐標系表示質(zhì)點的運動動能，若取，有，而，二者相差一變數(shù)；若取有，而,二者相差一變數(shù).在自然坐標系中，取，有，而，二者相差一變數(shù).從以上各例可看出：只有在廣義坐標為長度的情況下，與才相差一常數(shù);在廣義坐標為角量的情形下，與相差為轉(zhuǎn)動慣量的量綱.為何比更富有物理意義呢？首先，對應(yīng)于動力學量，他建立了系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)、或與廣義速度、廣義坐標的聯(lián)系，它的變化可直接反應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的

39、改變，而是對應(yīng)于運動學量，不可直接反應(yīng)系統(tǒng)的動力學特征；再者，系統(tǒng)地拉格朗日函數(shù)中不含某一廣義坐標時，對應(yīng)的廣義動量常數(shù)，存在一循環(huán)積分，給解決問題帶來方便，而此時循環(huán)坐標對應(yīng)的廣義速度并不一定是常數(shù)，如平方反比引力場中，不含，故有常數(shù),但常數(shù)；最后，由哈密頓正則方程知,是一組正則變量:哈密頓函數(shù)中不含某個廣義坐標時，對應(yīng)的廣義動量常數(shù)，不含某個廣義動量時，對應(yīng)的廣義坐標常數(shù)5.4答只有對于完整系，廣義坐標數(shù)等于自由度數(shù)，才能消去所有的約束方程，式（5.3.13）各才能全部相互獨立，得到式（5.3.14），故拉格朗日方程只適用于完整系，非完整力學體系，描述體系的運動需要的廣義坐標多于自由度數(shù)，

40、各不全部獨立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式結(jié)合拉格朗日方程未定乘數(shù)法可用于非完整系。5.6 答 力學體系在平衡位置附近的動力學方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）式，其中，久期方程的各根（本征值）的性質(zhì)決定體系平衡位置附近的小振動性質(zhì)。因從本征方程（5.4.6）式中可求出個的本征值（），每一個對應(yīng)一個獨立的常數(shù)故個常數(shù)中只有個是獨立的。5.7答多自由度體系的小振動，每一廣義坐標對應(yīng)于個主頻率的諧振動的疊加。若通過坐標間線性變換使得每一廣義坐標僅對應(yīng)一個頻率的振動，則變換后的坐標稱之為簡正坐標，對應(yīng)的頻率為簡正頻率，每一簡正坐標對應(yīng)一個簡正頻率，而簡正頻率

41、數(shù)和力學體系的自由度數(shù)相等，故簡正坐標數(shù)等于自由度數(shù)。 值得說的是，每一簡正振動為整個力學體系所共有，反映的是各質(zhì)點（整體）的振動之一，其他坐標都作為簡正坐標的線性函數(shù)，由個簡正振動疊加而成。這種方法在統(tǒng)計物理，固體物理中都有運用。5.8答對一完整的穩(wěn)定的力學體系在有阻尼的情況下，它們在平衡位置附近將作衰減運動。引入耗散函數(shù)則阻力 力學體系的運動方程改為其中，中是的函數(shù)，把在平衡位形區(qū)域展開成泰勒級數(shù)高級項很小，只保留頭一項，則均為常數(shù)。代入運動方程得把代入上式得本征值方程在，的小阻尼情況下，本征值，且振動方程為顯然是按指數(shù)率的衰減振動。5.9答：因，故由解得所以則而5.10答：拉格朗日方程只

42、適用于完整系，哈密頓正則方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能適用于完整的，保守的力學體系，對非保守體系（5.3.18）改寫為其中為非有勢力，或?qū)憺榧?。?jīng)勒讓德變換后用課本上同樣的方法可推得非保守系中的哈密頓正則方程5.11答：若哈密頓函數(shù)不顯含時間，則；對穩(wěn)定約束下的力學體系，動能不是速度的二次齊次函數(shù)，則,是以哈密頓正則變量表示的廣義總能量，因不穩(wěn)定約束的約束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含約束力，故有此差異，此時并不是真正的能量；對穩(wěn)定的，保守的力學體系，若含則是能量但不為常熟。5.12答：泊松括號是一種縮寫符號，它表示已同一組正則變量為自變量的二函數(shù)之間的關(guān)系。若，則是物理學中最常用的

43、泊松括號，用泊松括號可表示力學體系的運動正則方程用泊松括號的性質(zhì)復雜微分運算問題化為簡單的括號運算，這種表示法在量子力學，量子場論等課程中被廣泛應(yīng)用。每一正則方程必對應(yīng)一個運動積分，利用泊松括號從正則方程=積分可以推出另外一個積分，這一關(guān)系稱為泊松定理。5.13 答：哈密頓原理是用變分的方法確定運動規(guī)律的，它是力學變分原理的積分形式。基本思想是在描述力學體系的維空間中，用變分求極值的方法，從許多條端點相同的曲線中挑選一條真是軌道確定體系的運動變化規(guī)律。因為對等時變分，故變分符號可置于積分號內(nèi)也可置于積分號外，而不等時變分，故全變分符號不能這樣。5.14答：力學體系的哈密頓函數(shù)中是否有循環(huán)坐標系

44、或循環(huán)坐標的數(shù)目與坐標系（或參變數(shù)）的選取有關(guān)，故在正則方程形式不變的前提下，通過某種變數(shù)變換找到新的函數(shù)，使之多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標，此即正則變換的目的及公用。由于每一循環(huán)坐標對應(yīng)一個運動積分，正則變換后可多得到一些運動積分，給解決問題帶來方便，正則變換的關(guān)鍵是母函數(shù)的選取，其選取的原則是使中多出現(xiàn)循環(huán)坐標，但并無一定的規(guī)律可循，要具體問題具體分析。5.15答：哈密頓正則方程是個一階微分方程的方程組，用泊松定理解之，由而已知運動積分求出其余的運動積分往往是已知解的線性組合或橫等時，并不能給出新的解；而用正則變換可多得到一些循環(huán)坐標是正則方程立即有解，但母函數(shù)的選取往往很困難，哈密頓雅可畢理論的目

45、的既是要彌補上述缺陷，通過一個特殊的正則變換，使得用新變量表示的哈密頓函數(shù)，此時全部為常數(shù)，這樣哈密頓得主函數(shù)極為母函數(shù)，從而解決母函數(shù)難以尋找的困難。5.16答：對（5.9.8）式若為不穩(wěn)定約束，只需以代替即可，故對（5.9.8）式分離變量后推出的（5.9.12）中也只需以代即可用于不穩(wěn)定約束。正則方程利用哈雅理論后得到結(jié)果十分普遍，可同時得出運動規(guī)律，軌道級動量，故比拉格朗日方程優(yōu)越。5.17答：經(jīng)典“牛頓力學”常用于幾何的觀點，運用形象化思維的方式，研究力學體系的受力情況及運動情況，然后通過運動非常及時物體的受力與運動變化間的相互聯(lián)系和前因后果。這種方法形象，直觀，物理意義鮮明，被廣泛應(yīng)

46、用于工程實際。但由于它著眼于力，速度，加速度等矢量，給解決復雜的力學體系的運動問題帶來許多不便；再者，它僅僅局限于純力學體系的運動分析，其理論與方法難以建立與其它學科的聯(lián)系。5.18答：十九世紀發(fā)展起來的“分析力學方法彌補了上述缺陷，它用純數(shù)學分析的方法用更具有概括性的抽象思維方式，從力學體系的一切可能的運動中挑選出實際運動的規(guī)律。這種方法盡管物理意義不如牛頓力學方法鮮明，但它給人們解決復雜力學體系的運動問題提供了有一方法；再者，由于廣義坐標，廣義力的引入使其理論在其它學科中也能廣泛的應(yīng)用。建立了經(jīng)典物理學向近代物理學過渡的橋梁。下面通過分析力學與牛頓力學理論及方法的比較扼要闡述分析力學的優(yōu)越

47、性。牛頓力學的著眼點是力，實際力學體系除受到促使其運動狀態(tài)改變的主動力，往往還存在很多限制其運動的約束條件體現(xiàn)這些約束的約束反作用力都要作為未知數(shù)出現(xiàn)于運動微分方程，使未知量增加給解算帶來許多麻煩；分析力學著眼于功和能在一定條件下，常常可以不考慮約束反作用力。如在理想條件下，用虛位移原理解決力學體系的平衡問題可撇開眾多的未知未知約束力，直接得出平衡條件，比用牛頓力學中剛體受力的平衡方程方便得多；達朗伯虛位移原理解決力學體系的動力學問題，由于虛功的概念、廣義坐標的引入，也可撇開約束力得解，比用牛頓方程即由此推出的動量定理，動量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密頓原理即由此得到的分析力學一系列方程均具這一優(yōu)點。從一分為二的觀點來看，這也是分析力學的缺點不能求出約束反作用力。當把待求的約束反力或做功的約束反力作為主動力來看，分析力學的理論修改后仍能應(yīng)用。牛頓力學用矢量的方法研究力學