常用的概念公式和定理

1、初中數(shù)學(xué)網(wǎng)版權(quán)所有常用的概念、公式和定理 1. 整數(shù)(包括:正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括:有限小數(shù)和無(wú)限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù).如:3,0.231,0.737373,.無(wú)限不環(huán)循小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).如:,0.1010010001(兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0).有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).2. 絕對(duì)值:a0丨a丨=a;a0丨a丨=a.如:丨丨=;丨3.14丨=3.14.3.一個(gè)近似數(shù),從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起,到最末一個(gè)數(shù)字止,所有的數(shù)字,都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.如:0.05972精確到0.001得0.060,結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6,0.4.把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成a10n的形式(其中1a0,b0).如:(3)

2、2=45.=6.a0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)=0時(shí),方程有個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)0時(shí),y隨x的增大而增大(直線(xiàn)從左向右上升);當(dāng)k0時(shí),雙曲線(xiàn)在一、三象限(從左向右降);當(dāng)k0時(shí),開(kāi)口向上;a0時(shí),開(kāi)口向下.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(,),對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=.特別:拋物線(xiàn)y=a(xh)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k),對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=h.注意:求解析式的設(shè)法已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則設(shè)為一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c;已知頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k),則設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k;已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(x1,0)和(x2,0),則設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(xx1)(xx2).19.拋物線(xiàn)與x軸的位置關(guān)系:對(duì)于拋物線(xiàn)y=a

3、x2+bx+c0時(shí),它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根.20.統(tǒng)計(jì)初步:(1)概念:所要考察的對(duì)象的全體叫做總體,其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體.從總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本,樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不止一個(gè)),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,把處在最中間的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(2)公式:設(shè)有n個(gè)數(shù)x1,x2,xn,那么:平均數(shù)=(x1+x2+xn).方差s2=(x1)2+(x2)2+(xn)2.(是整數(shù)時(shí)用)s2=(x12+x22+xn2)

4、n()2.注:各數(shù)據(jù)的數(shù)位較少或平均數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí),用此公式.若將n個(gè)數(shù)x1,x2,xn各減去一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)a,得到一組新數(shù)x1,x2,xn,那么原來(lái)那組數(shù)的方差s2=這組新數(shù)的方差,平均數(shù)=a+,.方差越大,這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大.通常用樣本方差去估計(jì)總體方差,用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù).方差的算術(shù)平方根叫做標(biāo)準(zhǔn)差(3)頻率:把一組數(shù)分成若干個(gè)小組,組距=(最大值最小值)組數(shù)(求組數(shù)時(shí),用收尾法取整數(shù)),這時(shí),落在某小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做這組的頻數(shù),每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)的比值叫做這一小組的頻率.因此,各組的頻率的和等于1.在頻率分布直方圖中,各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率.各小長(zhǎng)方形的面

5、積的和等于1.21.銳角三角函數(shù):設(shè)a是rt的任一銳角,則a的正弦:sina=,a的余弦:cosa=,a的正切:tana=,a的余切:cota=.并且sina=cosb,tga=ctgb,tgactga=1,sin2a+cos2a=1.0sina1,0cosa0,ctga0.a越大,a的正弦和正切值越大,余弦和余切值反而越小.余角公式:sin(900a)=cosa,cos(900a)=sina,tg(900a)=ctga,ctg(900a)=tga.特殊角的三角函數(shù)值:sin300=cos600=,sin450=cos450=,sin600=cos300=,sin00=cos900=0,sin

6、900=cos00=1,tg300=ctg600=,tg450=ctg450=1,tg600=ctg300=,tg00=ctg900=0.斜坡的坡度i=.設(shè)坡角為,則i=tg=.22.三角形:(1)在一個(gè)三角形中:等邊對(duì)等角,等角對(duì)等邊.(2).證明兩個(gè)三再形全等的方法有:sas,aas,asa,sss,hl.(3)在rt中,斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.(4)證明一個(gè)三角形是直角三角形的方法有:先證明有一個(gè)角等于900.先證明最長(zhǎng)邊的平方等于另兩邊的平方和.先證明一條邊的中線(xiàn)等于這條邊的一半.(5)三角形的中位線(xiàn)平行于笫三邊,并且等于笫三邊的一半.(6)等腰三角形中,頂角的平分線(xiàn)與底邊上的中線(xiàn)

7、和高互相重合.23.四邊形:(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n2)1800,外角和等于3600.(2)平行四邊形的性質(zhì):對(duì)邊平行且相等;對(duì)角相等;鄰角互補(bǔ);對(duì)角線(xiàn)互相平分.(3)證明一個(gè)四邊形是平行四邊形的方法有:先證兩組對(duì)邊平行.先證兩組對(duì)邊相等.先證一組對(duì)邊平行且相等.先證兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分.先證兩組對(duì)角分別相等.(4)矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分;菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分,并且四條邊相等.(5)證明一個(gè)四邊形是矩形的方法有:先證明它有三個(gè)角是直角.先證它是平行四邊形,再證它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€(xiàn)相等.(6)證明一個(gè)四邊形是菱形的方法有:先證明它的四條邊相等.先證它是平行四邊形,再證它有一組鄰邊相

8、等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直.(7)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性質(zhì).(8)梯形的中位線(xiàn)平行于兩底并且等于兩底之和的一半.(9)軸對(duì)稱(chēng)圖形有:線(xiàn)段,角,等腰三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多邊形,圓.中心對(duì)稱(chēng)圖形有:線(xiàn)段,平行四邊形,矩形,菱形,正方形,邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形,圓.24.證明兩個(gè)三角形相似的方法有:先證兩組對(duì)應(yīng)角相等.先證兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且?jiàn)A角相等.先證三邊對(duì)應(yīng)成比例.先證斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例.相似三角形的性質(zhì):對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比,對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比,周長(zhǎng)的比,都等于相似比.面積的比等于相似比的平方.25.平行切割定理:如圖1,debc=.如圖2,若ab

9、cdef則=,=.26.射影定理:如圖3,abc中,若acb=900,cdab,則:ac2=adab.bc2=bdba.ad2=dadb.27.圓的有關(guān)性質(zhì):(1)垂徑定理:如果一條直線(xiàn)具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì):經(jīng)過(guò)圓心;垂直弦;平分弦;平分弦所對(duì)的劣弧;平分弦所對(duì)的優(yōu)弧,那么這條直線(xiàn)就具有另外三個(gè)性質(zhì).注:具備,時(shí),弦不能是直徑.(2)兩條平行弦所夾的弧相等.(3)在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它所對(duì)應(yīng)的其余三組量都分別相等.(4)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).(5)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.(6)圓周角等于它

10、所對(duì)的弧的度數(shù)的一半.(7)弦切角等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.(8)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.(9)在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等.(10).900的圓周角所對(duì)的弦是直徑.(11)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對(duì)角.28.直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系:(1)若o的半徑為r,圓心到直線(xiàn)l的距離為d,則:dr直線(xiàn)l和o相離.(2)切線(xiàn)的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).反之:切線(xiàn)垂直過(guò)切點(diǎn)的半徑.(3)切線(xiàn)長(zhǎng)定理,弦切角定理,相交弦定理及其推論,切割線(xiàn)定理及其推論.(4)三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn).三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn).(5)rt的內(nèi)切圓的半徑r內(nèi)=,任意多邊形的內(nèi)切圓的半徑r內(nèi)=.(6)圓外切四邊形的一組對(duì)邊的和等于另一組對(duì)邊的和.29.圓和圓的位置關(guān)系:(1)設(shè)兩圓半徑為r和r,圓心距為d,則:dr+r兩圓外離.d=r+r兩圓外切.rrdr+r(rr)兩圓相交.d=rr兩圓內(nèi)切.drr兩圓內(nèi)含.30.圓中常作的輔助線(xiàn):(1)兩圓相交,常作公共弦,連心線(xiàn).(2)兩圓相切,常作公切線(xiàn),連心線(xiàn).(3)已知切線(xiàn),常過(guò)切點(diǎn)作半徑.(4)已知直徑,常作直徑所對(duì)的圓周角.(5)求解有關(guān)弦的問(wèn)題,作弦心距.(6)弧的中點(diǎn)常和圓心連結(jié).31.