復(fù)習(xí)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)微分的概念

1、導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義0( )yf xx設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某定義：個(gè)鄰域內(nèi)0,(xxx有定義 當(dāng)自變量 在處取得增量點(diǎn)0),xxy 仍在該鄰域內(nèi) 時(shí) 相應(yīng)地函數(shù) 取得1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)00()();yf xxf xyx 增量如果與之0,( )xyf x 比當(dāng)時(shí)的極限存在 則稱(chēng)函數(shù)0,( )xyf x在點(diǎn)處可導(dǎo) 并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)0,x在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 即即,)(00 xxxxdxxdfdxd

2、y 或或00(),x xfxy記為關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：0,x點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)處的變化率它反映了因變量隨自變量的變化而變化.的快慢程度( )yf xi如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)的每點(diǎn),( ).f xi在開(kāi)區(qū)間處都可導(dǎo) 就稱(chēng)函內(nèi)可導(dǎo)數(shù)xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf ,( )xif x這時(shí)，對(duì)于任一都對(duì)應(yīng)著的一個(gè)確定.( ).f x的導(dǎo)數(shù)值這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)( ),( ),.dydf xyfxdxdx記作或右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):2.單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):0000000( )()()

3、()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxy)(xfy t0 xm)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線 xfxfxmxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(li

4、m00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.微分的定義微分的定義0( ),yf xx設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義及0,xx 在這區(qū)間內(nèi)如果00()()()yf xxf xaxox 定義定義.的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )(),( )axyf x成立其中 是與無(wú)關(guān)的常數(shù)則稱(chēng)函數(shù)在00,( )xaxyf xx點(diǎn)可微 并且稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自,x變量增量的微分.dydyax記作即可微的條件可微的條件0( )f xx函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是定理定理00( ),().f xxafx函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)