生活中的數(shù)學問題

1、生活中的數(shù)學問題對數(shù)螺線與蜘蛛網(wǎng)曾看過這樣一則謎語:“小小諸葛亮,穩(wěn)坐軍中帳.擺下八卦陣,只等飛來將.”動一動腦筋,這說的是什么呢?原來是蜘蛛,后兩句講的正是蜘蛛結(jié)網(wǎng)捕蟲的生動情形.我們知道,蜘蛛網(wǎng)既是它棲息的地方,也是它賴以謀生的工具. 你觀察過蜘蛛網(wǎng)嗎?它是用什么工具編織出這么精致的網(wǎng)來的呢?你心中是不是有一連串的疑問,好,下面就讓我來慢慢告訴你吧.在結(jié)網(wǎng)的過程中,功勛最卓著的要屬它的腿了.首先,它用腿從吐絲器中抽出一些絲,把它固定在墻角的一側(cè)或者樹枝上.然后,再吐出一些絲,把整個蜘蛛網(wǎng)的輪廓勾勒出來,用一根特別的絲把這個輪廓固定住.為繼續(xù)穿針引線搭好了腳手架.它每抽一根絲,沿著腳手架,小

2、心翼翼地向前走,走到中心時,把絲拉緊,多余的部分就讓它聚到中心.從中心往邊上爬的過程中,在合適的地方加幾根輻線,為了保持蜘蛛網(wǎng)的平衡,再到對面去加幾根對稱的輻線.一般來說,不同種類的蜘蛛引出的輻線數(shù)目不相同.絲蛛最多,42條；有帶的蜘蛛次之,也有32條；角蛛最少,也達到21條.同一種蜘蛛一般不會改變輻線數(shù). 到目前為止,蜘蛛已經(jīng)用輻線把圓周分成了幾部分,相臨的輻線間的圓周角也是大體 相同的.現(xiàn)在,整個蜘蛛網(wǎng)看起來是一些半徑等分的圓周,畫曲線的工作就要開始了.蜘蛛從中心開始,用一條極細的絲在那些半徑上作出一條螺旋狀的絲.這是一條輔助的絲.然后,它又從外圈盤旋著走向中心,同時在半徑上安上最后成網(wǎng)的

3、螺旋線.在這個過程中,它的腳就落在輔助線上,每到一處,就用腳把輔助線抓起來,聚成一個小球,放在半徑上.這樣半徑上就有許多小球.從外面看上去,就是許多個小點.好了,一個完美的蜘蛛網(wǎng)就結(jié)成了. 讓我們再來好好觀察一下這個小精靈的杰作:從外圈走向中心的那根螺旋線,越接近中心,每周間的距離越密,直到中斷.只有中心部分的輔助線一圈密似一圈,向中心繞去.小精靈所畫出的曲線,在幾何中稱之為對數(shù)螺線. 對數(shù)螺線又叫等角螺線,因為曲線上任意一點和中心的連線與曲線上這點的切線所形成的角是一個定角.大家可別小看了對數(shù)螺線:在工業(yè)生產(chǎn)中,把抽水機的渦輪葉片的曲面作成對數(shù)；螺線的形狀,抽水就均勻；在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中,把軋刀的

4、刀口彎曲成對數(shù)螺線的形狀,它就會按特定的角度來切割草料,又快又好.貓捉老鼠問題：如果3只貓在3分鐘內(nèi)捉住了3只老鼠,那么多少只貓將在100分鐘內(nèi)捉住100只老鼠? 這是一個古老的趣題,常見的答案是這樣的：如果3只貓用3分鐘捉住了3只老鼠,那么它們必須用1分鐘捉住1只老鼠.于是,如果捉1只老鼠要花去它們1分鐘時間,那么同樣的3只貓在l00分鐘內(nèi)將會捉住100只老鼠.遺憾的是,問題并不那么簡單.剛才的解答實際上利用了某個假定,它無疑是題目中所沒有談到的.這個假定認為這3只貓把注意力全部集中于同一只老鼠身上,它們通過合作在1分鐘內(nèi)把它捉住,然后再聯(lián)合把注意力轉(zhuǎn)向另只老鼠. 但是,假設3只貓換一個做法

5、,每只貓各追捕1只老鼠,各花3分鐘把它們捉住.按照這種設想,3只貓還是用3分鐘捉住3只老鼠.于是,它們要花6分鐘去捉住6只老鼠,花9分鐘捉住9只老鼠,花99分鐘捉住99只老鼠.現(xiàn)在我們面臨著一個計算上的困難,同樣的3只貓究竟要花多長時間才能捉住第100只老鼠呢?如果它們還是要足足花上3分鐘去捉住這只老鼠,那么這3只貓得花l02分鐘捉住102只老鼠.要在100分鐘內(nèi)捉住100只老鼠這是題目關(guān)于貓捉老鼠的效率指標,我們肯定需要多于3只而少于4只的貓,因此答案只能是需要4只貓,雖然這有點浪費. 顯然,對于3只貓是怎樣準確地計算貓捉老鼠這種行動的時間,這個趣題沒做任何交代.因此,如果允許答案不唯一,那

6、么,答案可以是豐富多彩的,3只、4只、甚至更多.如果要求答案唯一的話,這個問題的唯一正確答案是：這是一個意義不明確的問題,由于沒有更多關(guān)于貓是怎樣捕捉老鼠的信息,因此無法回答這個問題. 這個簡單的趣題啟示我們,在解答一個數(shù)學問題（也包括其他問題）前,一定要仔細領會題目所給出的全部信息,既不要曲解題義,也不要人為添加條件以迎合所謂的標準答案.當然這個趣題也給了我們一個有益的人生啟示只有合作才能產(chǎn)生最佳的工作效益.表面涂漆的小積木的塊數(shù)一塊表面涂著紅漆的大積木（正方體）,被鋸成27塊大小一樣的小積木,那么,這些小積木中,（1）三面涂漆的有幾塊?（2）兩面涂漆的有幾塊?（3）一面涂漆的有幾塊? 這時

7、,就不能再用把積木鋸開的辦法來回答問題了.但只需認真觀察一下,你就能發(fā)現(xiàn),把正方體鋸開以后,只有位于正方體八個角上的那些小積木,是三面涂漆的.也就是說,三面涂漆的小積木的塊數(shù),等于正方體的頂點數(shù),有8塊； 涂漆的那些小積木,位于正方體的兩個面的交界處,但不在正方體的角上（即頂點處）.因此,只需首先確定正方體的某條棱上出現(xiàn)的兩面涂漆的小積木的塊數(shù),而正方體有12條棱.于是,立即可以求得,兩面涂漆的小積木的塊數(shù)為1塊12=12塊； 一面涂漆的小積木,位于正方體每個面的中心部位.即不在正方體的頂點處,也不在棱上.因此,只需首先確定正方體的某一個面上出現(xiàn)的一面涂漆的小積木的塊數(shù),而正方體有6個面.于是

8、可得,一面涂漆的小積木的塊數(shù)為1塊6=6塊.通過觀察,找出解決問題的規(guī)律,是學習數(shù)學的重要任務之一.這樣,就能運用數(shù)學知識迅速而又有效地解決實際問題.根據(jù)上面歸納出來的分析方法,即使把這個正方體鋸成更多的小積木,我們也能輕松地 回答類似的問題. 建議班級購買一臺飲水機 在炎炎夏日里,同學們遇到的難事就是飲水問題,為了使同學們過一個衛(wèi)生清潔的夏季,班級決定出錢買一臺飲水機,而每人又應出多少錢呢?即使買了飲水機,是否比過去每個學生每天買礦泉水更節(jié)省、更實惠?下面就來解答這個問題. 一、學生礦泉水費用支出溫州市景山中學共有37個班級,假設每班學生平均為60人,那么全校就有6037=2220（人）.一

9、年中,學生在校的時間（除去寒暑假雙休日）大約為240天,設春季、夏季、秋季、冬季、各為60天,在班級沒有購買飲水機時,學生解渴一般買礦泉水,設礦泉水每瓶為一元,學生春秋季每人二天1瓶礦泉水,則總共為60瓶.夏季每人每天1瓶,則總共也為60瓶,冬季每人每4天1瓶,總共為15瓶,則全年平均每名學生礦泉水費支出： 60+60+（604）1=135(元)；全班學生礦泉水費用 13560=8100(元)；全校學生礦泉水費用：810037=299700(元).二、使用飲水機費用 一臺冷熱飲水機的價格約為750元,1字牌大桶礦泉水為每桶10元,現(xiàn)每班都配備飲水機.設每班春、季兩季、每2天1桶,則需60桶,夏

10、季每天2桶,則需120桶,冬季每6天1桶,則每班需20桶,則一學年每班需要“60+120+20=200（桶）,一學生每班水費為20010=2000元.電費折合為每學年每班為300元.則一學年配置飲水機每班水電費2300元.所以,一學年每班飲水機等合計約為2300+7503=2550元；每個學生平均一學年的水電費為250060=42.5元；景山中學全校全年飲水機等費用約為372550=94350元； 顯然,通過計算,比較兩項開支費用,各班購買一臺飲水機要經(jīng)濟實惠得多,一學年每個學生可以節(jié)?。?35-42.5=92.5元；每個班一學年可節(jié)?。?92.560=5550元；全校一學年可節(jié)?。?5503

11、7=205350元.205350元,一個了不起的數(shù)據(jù),而我們每天又可以喝上衛(wèi)生清潔、冷暖皆宜的飲水機的礦泉水,等我們畢業(yè)時還可以把飲水機贈給下屆同學,何樂而不為呢?我向昌樂二中提出倡議：在每個教室里配一臺飲水機. 巧用數(shù)學看現(xiàn)實 在現(xiàn)實生活中,人們的生活越來越趨向于經(jīng)濟化,合理化但怎樣才能達到這樣的目的呢? 某報紙上報道了兩則廣告,甲商廈實行有獎銷售：特等獎 10000元 1名,一等獎1000元 2名,二等獎100元10名,三等獎5元200名,乙商廈則實行九五折優(yōu)惠銷售.請你想一想；哪一種銷售方式更吸引人?哪一家商廈提供給銷費者的實惠大?面對問題我們并不能一目了然.于是我們首先作了一個隨機調(diào)查

12、.把全組的16名學員作為調(diào)查對象,其中8人愿意去甲家,6人喜歡去乙家,還有兩人則認為去兩家都可以.調(diào)查結(jié)果表明：甲商廈的銷售方式更吸引人,但事實是否如此呢? 在實際問題中,甲商厚每組設獎銷售的營業(yè)額和參加抽獎的人數(shù)都沒有限制.所以我們認為這個問題應該有幾種答案. 一、苦甲商廈確定每組設獎,當參加人數(shù)較少時,少于213（1十210200=213人）人,人們會認為獲獎機率較大,則甲商廈的銷售方式更吸引顧客. 二、若甲商廈的每組營業(yè)額較多時,它給顧客的優(yōu)惠幅度就相應的小.因為甲商廈提供的優(yōu)惠金額是固定的,共 14000元（10000 2000 10001000=14000）.假設兩商廈提供的優(yōu)惠都是

13、14000元,則可求乙商廈的營業(yè)額為 280000元（ 14000 5=280000）.所以由此可得：（l）當兩商廈的營業(yè)額都為280000元時,兩家商廈所提供的優(yōu)惠同樣多.（2）當兩商廈的營業(yè)額都不足 280000元時,乙商廈的優(yōu)惠則小于 14000元,所以這時甲商廈提供的優(yōu)惠仍是 14000元,優(yōu)惠較大.（3）當兩家的營業(yè)額都超過280000元時,乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元,而甲商廈的優(yōu)惠仍保持14000元時,乙商廈所提供的實惠大. 像這樣的問題,我們在日常生活中隨處可見.例如,有兩家液化氣站,已知每瓶液化氣的質(zhì)和量相同,開始定的價也相同.為了爭取更多的用戶,兩站分別推出優(yōu)惠政策.甲站的辦法是實行七五折錯售,乙站的辦法是對客戶自第二次換氣以后以7折銷售.兩站的優(yōu)惠期限都是一年.你作為用戶,應該選哪家好? 這個問題與前面的問題有很大相同之處.只要通過你所需要的罐數(shù)來分析討論