高中數(shù)學排列組合經(jīng)典題型全面總結版

1、高中數(shù)學排列與組合（一）典型分類講解一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步計數(shù)原理得練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自

2、排。由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.練習題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20 三.不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊

3、再把不相鄰元素插入中間和兩端練習題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30四.定序問題倍縮空位插入策略例4. 7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： (空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。 思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎? （插入法)先排甲乙丙三個人,共有

4、1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理練習題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 五.重排問題求冪策略例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數(shù)原理共有種不同的排法允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種練習題：1 某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開

5、演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42 2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法六.環(huán)排問題線排策略例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！ 一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120七.多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8

6、人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有種,再排后4個位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個位置上任意排列有種,則共有種一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究. 練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346 八.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有種方法.再把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計數(shù)原

7、理裝球的方法共有解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?練習題：一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有 192 種九.小集團問題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？解：把,當作一個小集團與排隊共有種排法，再排小集團內(nèi)部共有種排法，由分步計數(shù)原理共有種排法 .練習題：.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,幅油畫,幅國畫, 排成一行陳列,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫

8、不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為2. 5男生和女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有種十.元素相同問題隔板策略例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？ 解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個空隙。在個空檔中選個位置插個隔板，可把名額分成份，對應地分給個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法。將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為練習題：1 10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？ 2 .求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 十一.正

9、難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的 取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有,只含有1個偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.練習題：我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?十二.平均分組問題除法策略例12. 6本不同的

10、書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解: 分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復計數(shù)。練習題：1 將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊, 有多少分法？（）2.10名學生分成3組,其中一組4人,

11、另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法 （1540）3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉 入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_ （）十三. 合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計數(shù)原理共有 種。解含有約束條件的排列組合問題，可按元

12、素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練習題：1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有34 2. 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. （27） 本題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經(jīng)得到正確結果十四.構造模型策略例14. 馬路上有編

13、號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有 種一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決練習題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）十五.實際操作窮舉策略例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒

14、子的編號相同,有多少投法解：從5個球中取出2個與盒子對號有種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球, 3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有種 3號盒 4號盒 5號盒 對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結果練習題：1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有 72種十六.

15、 分解與合成策略例16. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=235 7 1113，依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：練習:正方體的8個頂點可連成多少對異面直線解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四體共有體共,每個四面體有3對異面直線,正方體中的8個頂點可連成對異面直線分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結構,用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案 ,每個比較復雜的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策

16、略例17. 25人排成55方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成33方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從33方隊中選3人的方法有種。再從55方陣選出33方陣便可解決問題.從55方隊中選取3行3列有選法所以從55方陣選不在同一行也不在同一列的3人有選法。處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題練習題:某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中

17、實線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？()十八.數(shù)字排序問題查字典策略例18由0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復的比324105大的數(shù)？解:數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。 練習:用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第71個數(shù)是 3140 十九.樹圖策略例19人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有_ 對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結果練習: 分別編有

18、1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中號人不坐號椅（）的不同坐法有多少種？二十.復雜分類問題表格策略例20有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標有A、B、C、D、E五個字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法紅111223黃123121蘭321211取法 解:一些復雜的分類選取題,要滿足的條件比較多, 無從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復遺漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿足的條件,能達到好的效果.二十一：住店法策略解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例21.

19、七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有 .分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得7種.排列組合易錯題正誤解析1沒有理解兩個基本原理出錯排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.例1 從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有 種.誤解：因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有2種取法.錯因分析：誤解的原因在于沒

20、有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機”是完成任務的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有種方法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法.同理，完成第二類辦法中有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有種方法.例2 在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種.（A） （B） （C） （D）誤解：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選A.正解：四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法

21、原理共有種.說明：本題還有同學這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得.這是由于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2判斷不出是排列還是組合出錯在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例3 有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因為是8個小球的全排列，所以共有種方法.錯因分析：誤解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解：8個小球排好后對應著8個位置，題中的排法相當于在8個位置中選出3個位置給紅球

22、，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：排法. 3重復計算出錯在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復計數(shù)，產(chǎn)生錯誤。例4 5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）（A）480種 （B）240種 （C）120種 （D）96種誤解：先從5本書中取4本分給4個人，有種方法，剩下的1本書可以給任意一個人有4種分法，共有種不同的分法，選A.錯因分析：設5本書為、，四個人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2： 乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲

23、的情況；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計算成了不同的情況。正好重復了一次.正解：首先把5本書轉化成4本書，然后分給4個人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有種方法；第二步：再把4本書分給4個學生，有種方法.由乘法原理，共有種方法，故選B.例5 某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）種.（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630誤解：第一個人先挑選2天，第二個人再挑選2天，剩下的3天給第三個人，這三個人再進行全排列.共有：，選B.錯因分析：這里

24、是均勻分組問題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復計算了.正解：種.01，34遺漏計算出錯在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而出錯。例6 用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（ ）（A）36個 （B）48個 （C）66個 （D）72個誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，又因為第1位不能是0，在最后一位取定后只有3種取法，剩下3個數(shù)排中間兩個位置有種排法，共有個.錯因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還

25、可能是五位數(shù).正解：任一個五位的奇數(shù)都符合要求，共有個，再由前面分析四位數(shù)個數(shù)和五位數(shù)個數(shù)之和共有72個，選D.5忽視題設條件出錯在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解.13254例7 如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答）誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個區(qū)域，即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域，有種，由乘法原理共有：種.錯因分析：沒有看清題設“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務.正解：當使用四種

26、顏色時，由前面的誤解知有48種著色方法；當僅使用三種顏色時：從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有種.綜上共有：種.例8 已知是關于的一元二次方程，其中、，求解集不同的一元二次方程的個數(shù).誤解：從集合中任意取兩個元素作為、，方程有個，當、取同一個數(shù)時方程有1個，共有個.錯因分析：誤解中沒有注意到題設中：“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于同解、同解，故要減去2個。 正解：由分析，共有個解集不同的一元二次方程.6未考慮特殊情況出錯在排列組合中要特別注意一

27、些特殊情況，一有疏漏就會出錯.例9 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（ ）(A)1024種(B)1023種(C)1536種(D)1535種誤：因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有種.錯因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計算成 4 種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有種.7題意的理解偏差出錯 例10 現(xiàn)有8個人排成一

28、排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種.（A）（B）（C）（D）誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A.錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B.8解題策略的選擇不當出錯例10 高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級

29、去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）.（A）16種 （B）18種 （C）37種 （D）48種誤解：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有種方案.錯因分析：顯然這里有重復計算.如：班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當作了不一樣的情況，并且這種重復很難排除.正解：用間接法.先計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：種方案.（二）典型例題講解例1 用0到9這10 個數(shù)字可組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？ 分析：這一問題的限制條件是：沒有重復數(shù)字；數(shù)字“

30、0”不能排在千位數(shù)上；個位數(shù)字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下： 如果從個位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個位數(shù)是“0”的四位偶做，個位數(shù)是2、4、6、8的四位偶數(shù)（這是因為零不能放在千位數(shù)上）由此解法一與二 如果從千位數(shù)入手四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、4、6、8兩類，由此得解法三 如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個數(shù)的個數(shù)，用排除法，得解法四 解法1：當個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有個； 當個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一個，百位，十位

31、上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有（個） 沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有 個 解法2：當個位數(shù)上排“0”時，同解一有個；當個位數(shù)上排2、4、6、8中之一時，千位，百位，十位上可從余下9個數(shù)字中任選3個的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：個 沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有 個 解法3：千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個，個位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個，百位，十位上從余下的八個數(shù)字中任選兩個作排列有 個干位上從2、4、6、8中任選一個，個位數(shù)上從余下的四個偶數(shù)中任意選一個（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個數(shù)字中任意選兩個作排列，有個 沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有 個 解法4：將沒有

32、重復數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù) 沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有個其中四位奇數(shù)有個 沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有個說明：這是典型的簡單具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常見的解法、要認真體會每種解法的實質(zhì)，掌握其解答方法，以期靈活運用典型例題二例2 三個女生和五個男生排成一排 （1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？ （2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？ （3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？ （4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解：（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有六

33、個元素，然成一排有種不同排法對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有對種不同的排法，因此共有種不同的排法 （2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰由于五個男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有種方法，因此共有種不同的排法 （3）解法1：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的2個，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，

34、其余六位都有種排法，所以共有種不同的排法 解法2：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有種不同的排法解法3：（元素分析法）從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入，有種不同的排法，對于其中的任意一種排活，其余5個位置又都有種不同的排法，所以共有種不同的排法，（4）解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；

35、如果首位排女生，有種排法，這時末位就只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有種不同排法因此共有種不同的排法解法2：3個女生和5個男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都是女生排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有種不同的排法 說明：解決排列、組合（下面將學到，由于規(guī)律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個以上約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時要兼顧其它條件若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素 間接法有的也稱做排除法或

36、排異法，有時用這種方法解決問題來得簡單、明快 捆綁法、插入法對于有的問題確是適用的好方法，要認真搞清在什么條件下使用典型例題三例3 排一張有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。 （1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？ （2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？ 解：（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：43200. （2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：2880種方法。 說明：對于“間隔”排列問題，我們

37、往往先排個數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數(shù)較多的元素有相鄰情況。如本題（2）中，若先排歌唱節(jié)目有，再排舞蹈節(jié)目有，這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。典型例題四例4 某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學、物理、體育、美術共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，那么共有多少種不同的排課程表的方法分析與解法1：6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有種排法，如圖中；數(shù)學排在最后一節(jié)有種排法，如圖中；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學排在最后一節(jié)，如圖中，這種情況有種排法，因此符

38、合條件的排法應是： （種） 分析與解法2：根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況： （1）體育、數(shù)學既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有種； （2）數(shù)學排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法種； （3）體育排在最后一節(jié)但數(shù)學不排在第一節(jié)，有排法種； （4）數(shù)學排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法 這四類排法并列，不重復也不遺漏，故總的排法有： （種） 分析與解法3：根據(jù)要求，課表安排還可分下述4種情況： （1）體育，數(shù)學既不在最后也不在開頭一節(jié)，有種排法； （2）數(shù)學排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法； （3）體育在最后一書，數(shù)學木在第一節(jié)有4種排法； （4）數(shù)學在第一節(jié)，體育在最后

39、一節(jié)有1種排法 上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種，故總排法數(shù)為（種） 下面再提出一個問題，請予解答 問題：有6個人排隊，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法 請讀者完成此題 說明：解答排列、組合問題要注意一題多解的練習，不僅能提高解題能力，而且是檢驗所解答問題正確與否的行之有效的方法典型例題五例5現(xiàn)有輛公交車、位司機和位售票員，每輛車上需配位司機和位售票員問車輛、司機、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把輛車看成排了順序的三個空：，然后把名司機和名售票員分別填入因此可認為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題解：分兩步完成第一步，把名司機安排到輛車中，有種安排方

40、法；第二步把名售票員安排到輛車中，有種安排方法故搭配方案共有種說明：許多復雜的排列問題，不可能一步就能完成而應分解開來考慮：即經(jīng)適當?shù)胤诸惓煞只蚍植街?，應用分類計?shù)原理、分步計數(shù)原理原理去解決在分類或分步時，要盡量把整個事件的安排過程考慮清楚，防止分類或分步的混亂典型例題六例6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表如果有所重點院校，每所院校有個專業(yè)是你較為滿意的選擇若表格填滿且規(guī)定學校沒有重復，同一學校的專業(yè)也沒有重復的話，你將有多少種不同的填表方法？分析：填寫學校時是有順序的，因為這涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學校的兩個專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè)因此這是一個排列

41、問題解：填表過程可分兩步第一步，確定填報學校及其順序，則在所學校中選出所并加排列，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的個專業(yè)中選出個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有種綜合以上兩步，由分步計數(shù)原理得不同的填表方法有：種說明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關，有時題中并未直接點明，需要根據(jù)實際情景自己判斷，特別是學習了后面的“組合”之后這一點尤其重要“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無順序要求）的是組合另外，較復雜的事件應分解開考慮典型例題七例5名同學排隊照相(1)若分成兩排照，前排人，后排人，有多少種不同的排法？(2)若排成兩排照，前排人

42、，后排人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？分析：(1)可分兩步完成：第一步，從人中選出人排在前排，有種排法；第二步，剩下的人排在后排，有種排法，故一共有種排法事實上排兩排與排成一排一樣，只不過把第個位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是，相當于個人的全排列(2)優(yōu)先安排甲、乙(3)用“捆綁法”(4)用“插空法”解：(1) 種(2)第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個位置上，有種排法，由分步計數(shù)原理得，符

43、合要求的排法共有種(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余個元素排成一排，即看成個元素的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有種排法由分步計數(shù)原理得，共有種排法(4)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法由分步計數(shù)原理得，符合條件的排法共有：種說明：(1)相鄰問題用“捆綁法”，即把若干個相鄰的特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進行全排列(2)不相鄰問題用“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的

44、元素之間典型例題八例8從五個數(shù)字中每次取出三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和分析：可以從每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來分析，例如“”，當它位于個位時，即形如的數(shù)共有個（從四個數(shù)中選兩個填入前面的兩個空），當這些數(shù)相加時，由“”所產(chǎn)生的和是當位于十位時，即形如的數(shù)也有，那么當這些數(shù)相加時，由“”產(chǎn)生的和應是當位于面位時，可同理分析然后再依次分析的情況解：形如的數(shù)共有個，當這些數(shù)相加時，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個，當這些數(shù)相加時，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個，當這些數(shù)相加時，由“”產(chǎn)生的和應是這樣在所有三位數(shù)的和中，由“”產(chǎn)生的和是同理由產(chǎn)生的和分別是，因此所有三位數(shù)的和是說明：類似于這種

45、求“數(shù)字之和”的問題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來解決如“由四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為，求數(shù)”本題的特殊性在于，由于是全排列，每個數(shù)字都要選用，故每個數(shù)字均出現(xiàn)了次，故有，得典型例題九例9計算下列各題：(1) ；(2) ；(3) ；(4) (5) 解：(1) ；(2) ;(3)原式；(4)原式；(5)，說明：準確掌握好排列公式是順利進行計算的關鍵本題計算中靈活地用到下列各式：；使問題解得簡單、快捷典型例題十例10六人排一列縱隊，限定要排在的前面（與可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法對這個題目，、四位同學各自給出了一種算式：的算式是；的算式是

46、；的算式是；的算式是上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由解：中很顯然，“在前的六人縱隊”的排隊數(shù)目與“在前的六人縱隊”排隊數(shù)目相等，而“六人縱隊”的排法數(shù)目應是這二者數(shù)目之和這表明：的算式正確中把六人排隊這件事劃分為占位，占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到占位的狀況決定了占位的方法數(shù)，第一階段，當占據(jù)第一個位置時，占位方法數(shù)是；當占據(jù)第2個位置時，占位的方法數(shù)是；當占據(jù)第5個位置時，占位的方法數(shù)是，當，占位后，再排其他四人，他們有種排法，可見的算式是正確的中可理解為從6個位置中選4個位置讓占據(jù)，這時，剩下的兩個位置依前后順序應是的因此的算式也正確中把6

47、個位置先圈定兩個位置的方法數(shù)，這兩個位置讓占據(jù)，顯然，占據(jù)這兩個圈定的位置的方法只有一種（要在的前面），這時，再排其余四人，又有種排法，可見的算式是對的說明：下一節(jié)組合學完后，可回過頭來學習的解法典型例題十一例11八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況應當使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個步驟，又要用到分步計數(shù)原理，這樣可有如下算法：(種)解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法把“甲坐

48、在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個數(shù)目是在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法”這個數(shù)目是其中第一個因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出的這個人安排在第一排的方法數(shù)，下一個則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為(種)說明：解法2可在學完組合后回過頭來學習典型例題十二例12 計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）ABCD解：將同一品種的畫“捆”在一起，注

49、意到水彩畫不放在兩端，共有種排列但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求所以共有種陳列方式應選D說明：關于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個元素“捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進行全排列本例題就是一個典型的用“捆綁”法來解答的問題典型例題十三例13 由數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)共有（）A210B300C464D600解法1：（直接法）：分別用作十萬位的排列數(shù)，共有種，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個解法2：（間接法）：取個數(shù)字排列有，而作為十萬

50、位的排列有，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個)應選B說明：(1)直接法、間接法是解決有關排列應用題的兩種基本方法，何時使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時應考慮能否用間接法來解(2)“個位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六位數(shù)個數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在乙的左側，共有多少種排法典型例題十四例14 用，這五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A24個B30個C40個D60個分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分

51、步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷解法1：分類計算將符合條件的偶數(shù)分為兩類一類是2作個位數(shù)，共有個，另一類是4作個位數(shù)，也有個因此符合條件的偶數(shù)共有個解法2：分步計算先排個位數(shù)字，有種排法，再排十位和百位數(shù)字，有種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，三位偶數(shù)應有個解法3：按概率算用這個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)共有個，其中偶點其中的因此三位偶數(shù)共有個解法4：利用選擇項判斷用這個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)共有個其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個數(shù)應少于個，四個選擇項所提供的答案中，只有符合條件應選典型例題十五例15(1)計算(2)求()的個位數(shù)字分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計算，在

52、運算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項的特點以及排列數(shù)公式的特點兩方面考慮在(1)中，項可抽象為，(2)中，項為，當時，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個位數(shù)為0，在加法運算中可不考慮解：(1)由原式(2)當時，的個位數(shù)為0，()的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同而，的個位數(shù)字為3說明：對排列數(shù)公式特點的分析是我們解決此類問題的關鍵，比如：求證：，我們首先可抓等式右邊的，左邊右邊典型例題十六例16用共六個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個無重復數(shù)字的位偶數(shù)？(2)可以組成多少個無重復數(shù)字且被整除的三位數(shù)？分析：位偶數(shù)要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是，由于個位用或者不用數(shù)字，對確定首位數(shù)字有影響，所

53、以需要就個位數(shù)字用或者用進行分類一個自然數(shù)能被整除的條件是所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個數(shù)字，然后進行排列，但要注意就用與不用數(shù)字進行分類解：(1)就個位用還是用分成兩類，個位用，其它兩位從中任取兩數(shù)排列，共有(個)，個位用或，再確定首位，最后確定十位，共有(個)，所有位偶數(shù)的總數(shù)為：(個)(2)從中取出和為的倍數(shù)的三個數(shù)，分別有下列取法：、，前四組中有，后四組中沒有，用它們排成三位數(shù)，如果用前組，共有(個)，如果用后四組，共有(個)，所有被整除的三位數(shù)的總數(shù)為(個)典型例題十七例17一條長椅上有個座位，人坐，要求個空位中，有個空位相鄰，另一個空位與個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？分析：對于空位，我們可以當成