第4章 費率厘定

1、4.1 基本術語危險（風險）單位危險（風險）單位危險（風險）單位危險（風險）單位(exposure unit)：風險進行度量的基本單位，不同的險種有不同的風險單位；承保（到期）危險承保（到期）危險(written exposures)：指一定時期內(nèi)保險人已經(jīng)簽訂了保險合同的風險單位數(shù)；承擔危險承擔危險(earned exposures)：指各個相應時間內(nèi)已經(jīng)承擔責任的危險單位數(shù)量；有效危險有效危險(in-force exposures)：指在一個給定的時刻危險單位數(shù)量。索賠索賠索賠索賠(Claim)：是指保險事故發(fā)生后，索賠人索賠人(claimant)根據(jù)保險合同的條款提出的賠付要求。事故日期

2、事故日期(Accident date)：引起索賠的事故發(fā)生日期。報告日期報告日期(report date)：保險人收到索賠通知的日期。報告延遲報告延遲(reporting lag)：從發(fā)生到發(fā)現(xiàn)并報告所需要的時間導致的延遲。理算延遲理算延遲(settlement lag)：在非壽險事故報告后，往往不能立即認定責任達成賠付協(xié)議，期間所需要的時間導致的延遲。結案延遲：結案延遲：對一次性賠付的案件來說，理算完畢即可結案。對多次定期賠付的案件來說，理算完畢和結案之間的延遲會很長。索賠頻率索賠頻率索賠頻率索賠頻率(frequency)：F為索賠頻率；C為索賠總次數(shù)；E為危險單位總數(shù)2001年有5,750

3、個車年的承擔危險，并且有287個事故日期在2001年的索賠，那么索賠頻率為多少？ECF l損失和損失調(diào)整費用損失和損失調(diào)整費用損失損失(losses)：已付和應付給索賠人的數(shù)額。已付損失已付損失(paid losses)：在一個特定時期實際已經(jīng)支付給索賠人的損失。個案準備金個案準備金(case reserve)：對每一個在預期的未來將有支付發(fā)生情形的索賠，未來支付數(shù)額的估計。已發(fā)生損失已發(fā)生損失(case-incurred losses)：某個事故年(accident year)所有已付損失和個案準備金的總和。最終損失最終損失(ultimate incurred losses)：包括在計算已發(fā)

4、生損失時還沒有報告到保險公司的損失。事故年年齡事故年年齡(accident year age)：事故年年齡一般以月為單位。按慣例，到某事故年的最后一天, 該事故年具有12個月的年齡。如在6/1/2001對事故年2000年已發(fā)生損失的評估被稱為事故年2000年已發(fā)生損失在年齡18個月時的評估。損失調(diào)整費用損失調(diào)整費用(loss adjustment expense)u分攤損失調(diào)整費用分攤損失調(diào)整費用(allocated loss adjustment expense)：與索賠直接相聯(lián)系的損失調(diào)整費用。u非分攤損失調(diào)整費用非分攤損失調(diào)整費用(unallocated loss adjustment

5、expense)：與索賠不直接相聯(lián)系的損失調(diào)整費用。索賠強度：索賠強度：每個索賠的平均損失S為索賠強度；L為損失；C為索賠總次數(shù)。純保費純保費(pure premium)：每危險單位的平均損失P為純保費；L為損失；E為危險單位總數(shù)。純保費也可以表示為每危險單位的索賠頻率與索賠強度的每危險單位的索賠頻率與索賠強度的乘積乘積：CLSELP SFCLECP費率厘定的數(shù)據(jù)發(fā)生年度數(shù)據(jù)在一個日歷年度內(nèi)所有發(fā)生的損失事件的保單數(shù)據(jù)稱為發(fā)生年度數(shù)據(jù)。報告由已付賠款和未付賠款準備金組成 。例：發(fā)生年度數(shù)據(jù)發(fā)生發(fā)生年年進展進展12243648607219942,116,135$3,128,695$3,543,4

6、45$3,707,375$3,854,220$3,928,80519952,315,9203,527,1973,992,8054,182,1334,338,76519962,743,6574,051,9504,593,4724,797,19419973,130,2624,589,4305,230,43719983,625,4185,380,61719993,919,522保單年度數(shù)據(jù)保單年度數(shù)據(jù)在一個日歷年度內(nèi)所有簽發(fā)的保單數(shù)據(jù)稱為保單年度數(shù)據(jù)。 例：1999年的保單年度數(shù)據(jù)是指1999年簽發(fā)的所有保單數(shù)據(jù)。平均事故日期若假設所有的簽單日期和事故發(fā)生日期均勻分布，則1999年內(nèi)簽發(fā)保單的事故發(fā)

7、生日期中點是12/31/1999子夜（或1/1/2000零點） 保單年度的數(shù)據(jù)由已付賠款和未付賠款準備金組成。 費用、利潤與安全負荷費用、利潤與安全負荷厘定費率需要考慮的因素：厘定費率需要考慮的因素：u純保費純保費(pure premium)u可變費用可變費用(variable expenses)：隨保單價格的變化而變化的費用。u固定費用固定費用(fixed expenses)：和保單的價格無關的費用。u利潤利潤為什么保費大于純保費對于保險人從風險理論中可以知道, 保費大于純保費使保險人不至于破產(chǎn)。在實踐中，保險公式的營業(yè)費用和合理的利潤都要在收取的保費中加以考慮。對于投保人效用角度假定某投保

8、人擁有價值為100單位的財產(chǎn)，但這筆財產(chǎn)將面臨某種損失，這一風險被表示為隨機變量Y，Y是服從0到36之間均勻分布的隨機變量。假設此人的效用函數(shù)為其中X是他的財富。問他應付出多大一筆保費G去全額投保這筆財產(chǎn)？( )u xx解答：由隨機損失的概率密度函數(shù) 得到 。保險人將收取大于18的保費如果投保人購買了保險，則他的財富是確定的，即100G，效用為 。如果他不購買保險，則他的財富是隨機變量100Y，那么他剩余財富的期望效用可以計算如下1( )36f y 36/218E Y 100G363/20 (100)( )1 1003612244 (100)36327 E Uuyf y dyydyy解答（續(xù)）

9、投保人愿意支付的保費G應該使得不管他購買保險與否其剩余財富的期望效用值相等。因此，我們通過解得到G18.33。投保人購買保險最高愿意支付18.33，這超過了他的期望損失18。如果保險人收取的保費小于18.33。這個投保人就會購買該保險。24410027G費率厘定每個危險單位的費率每個危險單位的費率:uR為每危險單位的費率；uP為純保費；uF為每個危險單位的固定費用；uV為可變費用因子；uQ為利潤因子。l因此有：lRV為可變費用；RQ為利潤。QV1FPRQRVRFPR假設：純保費為75.00，每個危險單位的固定費用為12.50，可變費用因子為17.5%，利潤因子為5.00%，則費率為該費率的各個

10、組成部分如下：純保費為75.00，固定費用為12.50，可變費用為19.76，利潤為5.64，總計為112.9075.00 12.50112.901 0.1750.050R保費保費(premium)上面的例子中，假設危險單位是一輛保險期為1年的商用汽車。如果某份保單有15輛商用汽車，則其保費為：112.90 15 = 1693.50承保保費承保保費(writtenpremium)、承擔保費承擔保費(earnedpremium)和有效有效保費保費(in-forcepremium)。如果上面所討論的保單是從7/1/2000開始，承保時間為12個月，那么到12/31/2000為止，這份保單的上述幾種

11、保費如下所示： 2000日歷年承保保費 1693.502000日歷年承擔保費 846.7512/31/2000有效保費 1693.50損失率（賠付率）損失率（賠付率）損失率損失率(loss ratio)是在保險損失分析中最廣泛使用統(tǒng)計量中的一個。它等于損失除以保費。損失率可以基于純損失而不包括各種損失調(diào)整費用，也可包括分攤的或總的損失調(diào)整費用。損失可以是已付的，已發(fā)生的，或者預測的最終損失。保費可以是承?；虺袚ＹM。費率厘定的目標費率厘定的目標供足夠的資金去支付預期的損失和費用，并且能給投資者產(chǎn)生一個合理的回報提供足夠的準備金，以應付突發(fā)事件和不利的偏差。費率一般要經(jīng)過監(jiān)管機構的審核。審核通常

12、是基于這樣一個監(jiān)管標準，即類型和特性相似的風險，他們之間的費率不應該有不適當，過分，或不公平的差別。費率厘定系統(tǒng)費率厘定系統(tǒng)費率厘定系統(tǒng)費率厘定系統(tǒng)(rating plan)：在為某個危險單位厘定費率時，綜合所考慮的各種因素而形成的結構。其中的各個因素通常稱為費率因子費率因子(rating factor)。沒有被考慮對損失有影響的費率因子將導致的兩種不同情況：當費率厘定系統(tǒng)沒有考慮某個含有傾向于減少損失趨勢有利特征的費率因子，厘定的費率太高了。如果沒有考慮某個含有不利特征的費率因子，將導致使用過低的費率。費率因子的風險特征：費率因子的風險特征：主要影響索賠頻率的特征和主要影響索賠強度的特征。4

13、.2 費率厘定過程費率厘定所根據(jù)的保費計算原理有許多。這里的方法是基于期望值原理的費率厘定的兩個基本的方法：（1）純保費法）純保費法（2）損失率法）損失率法（1）純保費法純保費法確定的費率預期能夠滿足期望損失與費用的需要，并提供預期的利潤水平。 ，這里的損失L除了保險公司已付和應付給索賠人的損失外，還要加上損失調(diào)整費用。QV1FPRELP (2)損失率法損失率法來源于純保費法,純保費法厘定費率為EF剛好是在經(jīng)驗期的總的固定費用,記G=EF/L,它表示經(jīng)驗期的總的固定費用與損失之比。令R0為當前費率，則ER0是經(jīng)驗期里總的承擔保費,則令 ：經(jīng)驗損失率。目標損失率：QV1LEF1ELQV1FELQ

14、V1FPR00RQV1G1ERLR0ERLW ERLG1QV1T公司希望得到的目標保費損失損失率法由下面的公式厘定費率： ：調(diào)整因子，經(jīng)驗損失率/目標損失率損失率法直接來源于純保費法，它們只是表現(xiàn)的形式不同。損失率方法得到的公式 實際上給出了一個逐步改進的費率估計公式。0ARR TWA （3）如何選擇合適的方法純保費法是建立在每個危險單位的損失基礎上的，它需要嚴格定義的危險單位。若危險單位不知道或各危險單位間有差異，比如在火災險的情形，則純保費法不適用。因為損失率法得到的是當前費率的變化，所以它需要當前的費率和保費的歷史記錄。而新業(yè)務的費率厘定，我們只能利用相關公司或相關險種的損失數(shù)據(jù)，沒有歷

15、史記錄，那么只能使用純保費法。損失率法不適用于新業(yè)務的費率厘定。當然，如果沒有任何的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可用，則這兩種方法都不適用。損失率法需要的是當前水平承擔保費，所以在當前水平承擔保費難以計算時，純保費法更為適用。在某些險種中，對保單需要進行個體風險的費率調(diào)整，此時就很難確定損失率法中需要的當前水平承擔保費，在這種情況下若采用純保費法更為合適。關于歷史數(shù)據(jù)中的不同費率調(diào)整到一個統(tǒng)一費率的問題，下面會專門論述。注意事項（1）經(jīng)驗期的選擇）經(jīng)驗期的選擇使用可以獲得的最近期的損失經(jīng)驗數(shù)據(jù)，而同時這樣的損失經(jīng)驗數(shù)據(jù)很可能比成熟期（指具有較多的已經(jīng)結案的保單的經(jīng)驗期）包含了更高比例的未付損失，因此更有可能會在對

16、損失進行預測時帶來誤差。當所涉及的業(yè)務會有災害性的損失時，比如在易出現(xiàn)龍卷風地區(qū)的風暴險項目，經(jīng)驗期必須足夠長，以致于能代表災害的平均發(fā)生率。經(jīng)驗期必須包含足夠的損失經(jīng)驗數(shù)據(jù)以使最后的結果具有統(tǒng)計的可信性。（2）再保險的影響）再保險的影響費率的分析要基于再保險之前的保費和損失數(shù)據(jù)。當再保險的成本很大時，再保險費經(jīng)常作為費用準備的一個獨立的部分。（3）保險項目的差異）保險項目的差異一個保險業(yè)務中各個主要的保險項目應該分別處理。不僅各項目的經(jīng)驗損失數(shù)據(jù)要分開考察，而且保費和危險單位數(shù)據(jù)也要分離。（4）提高限額時的處理方法）提高限額時的處理方法限額限額(Limit)：當索賠發(fā)生時，保險公司的賠付不超

17、過限額。保險公司的賠付為Min(X, u)，費率為 EMin(X, u) 。在實踐中，保險公司通常會對同樣的標的提供不同的限額，供投保人選擇。最低的限額叫基本限額基本限額(Basic Limit)，其他限額叫提高限額提高限額(Increased Limit)。責任險費率的厘定首先確定基本責任限額的費率，然后厘定出提高限額因子。更高的限額的費率等于基本限額費率乘以提高限額因子高限額因子(Increased Limit Factor)。例如，某保險公司提供兩種限額，u1和u2，u1 均值：過離散（over-dispersion）大量保單沒有索賠發(fā)生：零膨脹（zero-inflation）分層（組內(nèi)

18、相關）索賠頻率數(shù)據(jù)的特點索賠頻率預測模型傳統(tǒng)的線性回歸模型最小偏差模型（minimum bias procedure)廣義線性模型及其推廣泊松回歸模型過離散回歸模型零膨脹回歸模型分層（多層）回歸模型傳統(tǒng)線性回歸模型的問題傳統(tǒng)線性回歸模型的問題：正態(tài)，同方差。索賠頻率：非負，離散， 均值越大，方差越大。最小偏差模型的問題最小偏差模型的問題：統(tǒng)計檢驗廣義線性模型廣義線性模型：解決上述問題泊松分布：方差等于均值實際索賠次數(shù)：方差大于均值（過離散）風險防范意識增強，大多數(shù)保單不會發(fā)生事故；應用了免賠額或無賠款折扣等條款，許多被保險人在發(fā)生輕微事故時不會提出索賠；個別被保險人的風險太大，遠遠高于總體平均

19、水平。問題：低估標準誤，高估顯著性水平，保留多余的解釋變量，最終導致不合理的費率厘定結果 泊松回歸模型假設泊松分布的概率函數(shù)為 結構函數(shù)為 混合泊松分布的概率函數(shù)可以表示為混合泊松回歸: 假設 Yi 服從混合泊松分布( )kp( )u0( ) ( )dkkppu過離散：混合泊松回歸模型結構函數(shù)與混合泊松分布結構函數(shù)與混合泊松分布：伽瑪結構負二項分布逆高斯結構泊松-逆高斯分布對數(shù)正態(tài)結構泊松-對數(shù)正態(tài)分布。廣義泊松分布：結構函數(shù)沒有顯式表達（Joe and Zhu, 2005）。結構函數(shù)的尾部越厚，混合泊松分布的尾部將會越長：泊松-對數(shù)正態(tài) 泊松-逆高斯 負二項雙泊松分布：方差可以大于均值。負二

20、項回歸模型負二項回歸模型:()Pr() () , 0,1,( ) (1)iyaiiiiiiiiayaYyyayaa 2 , / iiiiiE YVar Ya exp Pr !iyiiiiiiiiYyE YVar Yy 泊松：，索賠頻率預測模型的比較索賠頻率預測模型的比較 泊松泊松-逆高斯回歸模型：逆高斯回歸模型：230exp(1) /(2)exp()Prd!2iyiiiiiYyy 2 , iiiiiE YVar Y exp Pr !iyiiiiiiiiYyE YVar Yy 泊松：，泊松泊松-對數(shù)正態(tài)回歸模型對數(shù)正態(tài)回歸模型：2220exp(ln/2) /(2)exp()Prd!2iyiiiiiYyy 22 , exp() 1 iiiiiE YVar Y exp Pr !iyiiiiiiii