123角的平分線的性質(zhì)

1、11.3 角平分線的性質(zhì)與判定角平分線的性質(zhì)與判定1. 什么叫角平分線？什么叫角平分線？ 2 .畫畫aob平分線平分線oc，在，在oc上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)p，過，過p向向角的兩邊作垂線段角的兩邊作垂線段pd、pe，你能得出什么結(jié)論？，你能得出什么結(jié)論？思考題思考題aobpedc命題：命題：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等已知：已知：oc是是aob的平分線，的平分線，點(diǎn)點(diǎn)p在在oc上，上，pd oa 于于d，pe ob于于e，求證：求證：

2、pd=pe.證明文字命題的一般步驟：證明文字命題的一般步驟：1.明確命題中的題設(shè)（已知）和結(jié)論（求證）；明確命題中的題設(shè)（已知）和結(jié)論（求證）；2.根據(jù)題意畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；根據(jù)題意畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。aobpedc1= 2 pd oa ，pe obpd=pe.角平分線的性質(zhì)定理角平分線的性質(zhì)定理角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。用符號(hào)語言表示為：用符號(hào)語言表示為：aobped12交換定理的題設(shè)和結(jié)論得到的命題為

3、：交換定理的題設(shè)和結(jié)論得到的命題為：c角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。在角的平分線上。已知：已知：pd oa于于d ，pe ob于于e，pd=pe. 求證：求證： 點(diǎn)點(diǎn)p在在aob的平分線上。的平分線上。角平分線的判定定理角平分線的判定定理aobpdec用符號(hào)語言表示為：用符號(hào)語言表示為：pd=pe pd oa ，pe ob 1= 2 .12練一練練一練填空：填空：(1). 1= 2，dcac， deab _(_)(2). dcac ，deab ，dc=de_(_)acdeb121= 2dc=de角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上角的

4、內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等例例1 已知：如圖，在已知：如圖，在abc中，中， ad是它的角平分線，且是它的角平分線，且bd=cd， deab于于e，dfac于于f ， 求證：求證：eb=fc。 baedcf例例2 如圖，在如圖，在abc中，中，d是是bc的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， deab于于e ，dfac于于f ，且，且becf。 求證：求證：ad是是abc的角平分線。的角平分線。abcefd例例3 如圖，如圖，abc中，中，c=90， ad是是abc的角平分線，的角平分線， deab于于e，f在在ac上，上， b

5、d=df，求證：，求證：cf=eb。fedcba例例4 如圖，已知：如圖，已知：bdam于點(diǎn)于點(diǎn)d， cean于點(diǎn)于點(diǎn)e，bd、ce交點(diǎn)交點(diǎn)f， cf=bf，求證：點(diǎn)，求證：點(diǎn)f在在a的平分線上的平分線上.a a a a a a adne bfmca例例5 如圖，如圖，abc的角平分線的角平分線bm，cn相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)p， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)p到三邊到三邊ab、bc、ca的距離相等。的距離相等。點(diǎn)點(diǎn)p在在abc的角平分線的角平分線bm上上, pebc， pdab abcpmndef(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理，同理，pe=pf. pdpe=

6、pf.即點(diǎn)即點(diǎn)p到三邊到三邊ab、bc、ca的距離相等的距離相等證明：過點(diǎn)證明：過點(diǎn)p作作pdab于于d， pebc于于e，pfac于于fpd=pep練習(xí)：練習(xí)：如圖，如圖，abc的的b的外角的平分線的外角的平分線bd 與與c的外角的平分線的外角的平分線ce相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)p 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)p到三邊到三邊ab，bc，ca所在直所在直 線的距離相等線的距離相等abcdefghmn 例例6 如圖，已知如圖，已知abc的外角的外角cbd和和bce 的平分線相交于點(diǎn)的平分線相交于點(diǎn)f， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)f在在bac的平分線上的平分線上 證明：證明：過點(diǎn)過點(diǎn)f作作fgae于于g，fhad于于h，fmb

7、c于于mghm點(diǎn)點(diǎn)f在在bce的平分線上，的平分線上， fgae， fmbc fgfm同理可證同理可證fmfhfgfh點(diǎn)點(diǎn)f在在dae的平分線上的平分線上又又 fgae，fhad 利用結(jié)論，解決問題練一練 1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建?想一想在確定度假村的位置時(shí)，一定要畫出三個(gè)角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有 ( ) a.一處 b. 兩處 c.三處 d.四處分析:由于沒有限制在何處選址，故要求的地址共有四處。d課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。2.角平分線的判定定理角平分線的判定定理:角的內(nèi)