數(shù)軸在分?jǐn)?shù)教學(xué)中的作用及運(yùn)用策略

1、數(shù)軸在分?jǐn)?shù)教學(xué)中的作用及使用策略摘 要數(shù)軸能夠協(xié)助學(xué)生更好地建構(gòu)分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識(shí)。使用數(shù)軸教學(xué)分?jǐn)?shù)，關(guān)鍵在于單位的度量與分?jǐn)?shù)的等分，要準(zhǔn)確理解數(shù)軸上的單位“1”，經(jīng)歷分?jǐn)?shù)在數(shù)軸上的先分后數(shù)；做好分?jǐn)?shù)在數(shù)軸上的區(qū)間定位，適時(shí)滲透數(shù)軸的相關(guān)特點(diǎn)等。關(guān)鍵詞數(shù)軸；分?jǐn)?shù)教學(xué)；作用；應(yīng)用策略一、緣起：數(shù)軸上的錯(cuò)誤多么可愛前不久，學(xué)校有三位青年教師同時(shí)執(zhí)教了“真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)”。執(zhí)教過這部分內(nèi)容的教師大多有這樣的感受簡(jiǎn)單的背后蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，“上好不容易”。事實(shí)的確如此，在這三位教師的課堂上，學(xué)生均不同水準(zhǔn)地出現(xiàn)類似下列的情況（見下圖）。學(xué)生究竟是怎么理解的呢？我與孩子們展開了對(duì)話：師：在數(shù)軸上標(biāo)這些數(shù)據(jù)

2、時(shí)，你是怎么想的呢？老師想知道你的真實(shí)想法。生：我數(shù)了一下。單位“1”平均分成了16份，就是其中的4份；就是其中的12份；都能夠看作一個(gè)“單位1”。所以，我就把它們標(biāo)在這里了。師：咦，你怎么在直線后面還加了一小截，居然還用上了語文上的省略號(hào)？生：老師，單位“1”不夠了分?jǐn)?shù)具有高度的抽象性，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。在數(shù)軸上表示分?jǐn)?shù)，學(xué)生更不易理解和掌握。我們姑且不論孩子的對(duì)錯(cuò)，但孩子們的想法是多么可愛！他們把數(shù)軸上“0-2”看作了單位“1”，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸上無法表示，就“聰明地”往右再加一部分表示出、；再將直線拐個(gè)彎，用上省略號(hào)，表示出?？蓯鄣膬和季S碰上復(fù)雜的分?jǐn)?shù)，學(xué)生出現(xiàn)上述“錯(cuò)誤”實(shí)屬正

3、常。所以，體會(huì)數(shù)軸在分?jǐn)?shù)教學(xué)中的作用，明晰兒童在數(shù)軸上表示分?jǐn)?shù)時(shí)，“思維的節(jié)點(diǎn)”究竟在哪里，找到有效的應(yīng)對(duì)之策，是很值得研究的。二、明晰：數(shù)軸在分?jǐn)?shù)教學(xué)中的主要作用數(shù)軸能體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的高度抽象性，體現(xiàn)“分?jǐn)?shù)是數(shù)的理解又一次重要拓展”，表明分?jǐn)?shù)與自然數(shù)一樣能夠在數(shù)軸上表示出來。所以，不同版本的教材都非常重視數(shù)軸在建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念過程中的重要作用。1.協(xié)助學(xué)生更深刻地理解單位“1”。用數(shù)軸上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)，是對(duì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)理解的必然要求，是分?jǐn)?shù)理解經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的必由之路。數(shù)軸上的“1”是林林總總的單位“1”舍棄非本質(zhì)屬性后高度抽象的結(jié)果。再龐大的單位“1”在數(shù)軸上也只能“屈居”于“1”這個(gè)點(diǎn)。更明確地說，在數(shù)軸上

4、“2”就是2，永遠(yuǎn)不能看成1，否則就會(huì)與“一一對(duì)應(yīng)”的法則沖突，從而產(chǎn)生混亂數(shù)軸上的一大格，表示1個(gè)單位“1”，那數(shù)軸上的自然數(shù)2，就代表有這樣的兩個(gè)單位“1”；以此類推對(duì)分?jǐn)?shù)來說，數(shù)軸上相對(duì)應(yīng)的整數(shù)就是單位“1”的相對(duì)應(yīng)的累積。2.協(xié)助學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)單位。學(xué)生在數(shù)軸上一小格一小格地?cái)?shù)分?jǐn)?shù)、讀分?jǐn)?shù)，就能很好地感悟數(shù)軸上的分?jǐn)?shù)就是由相同的分?jǐn)?shù)單位累積而成的。3.協(xié)助學(xué)生比較分?jǐn)?shù)的大小。下圖，學(xué)生通過填一填就可直觀地理解兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小；還能夠觀察同一數(shù)軸上的分?jǐn)?shù)，學(xué)生還能體驗(yàn)到數(shù)軸上的分?jǐn)?shù)越往右，分?jǐn)?shù)值越大。 4.協(xié)助學(xué)生理解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。下圖，學(xué)生通過根據(jù)分?jǐn)?shù)找直線上相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，認(rèn)真觀察各個(gè)分?jǐn)?shù)

5、在直線上的位置，就會(huì)發(fā)現(xiàn)真分?jǐn)?shù)在數(shù)軸上的區(qū)間是0-1以內(nèi)，假分?jǐn)?shù)在數(shù)軸上的區(qū)間是1及1以上。這樣學(xué)生就能夠通過自己的努力來掌握這些知識(shí)。5.協(xié)助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。比如在分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的教學(xué)中，先讓學(xué)生思考下面哪些分?jǐn)?shù)能夠在直線上用同一個(gè)點(diǎn)表示？并把這幾個(gè)點(diǎn)畫出來。 學(xué)生完成后，再引導(dǎo)學(xué)生探討為什么和、分別能夠用同一個(gè)點(diǎn)表示，讓學(xué)生在探討過程中通過自己的努力來理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。6.協(xié)助學(xué)生形成整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)。下圖，通過在直線上面的括號(hào)里填適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)，在直線下面的括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)男?shù)的方式，就能達(dá)到溝通分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系，協(xié)助學(xué)生形成整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用。三、應(yīng)用策略：核心在于單位的計(jì)量與分?jǐn)?shù)的

6、等分在數(shù)軸上表示分?jǐn)?shù)，最難的就是數(shù)軸中的單位“1”在哪兒。單位“1”和分?jǐn)?shù)單位，“單位”是其核心詞。單位的重要作用就體現(xiàn)在能計(jì)量上。所以，教學(xué)中協(xié)助學(xué)生經(jīng)歷單位“1”或分?jǐn)?shù)單位在數(shù)軸上的計(jì)量過程，經(jīng)歷分?jǐn)?shù)先分后數(shù)的過程，是策略的核心。1.溝通與整數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確理解數(shù)軸上的單位“1”。教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生明白數(shù)軸中的單位“1”在哪兒并不是一件簡(jiǎn)單的事。因?yàn)樵诮虒W(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，一個(gè)物體、很多物體組成的一個(gè)整體都能夠看做單位“1”。所以，學(xué)生會(huì)把數(shù)軸上的0-2或0-3這樣的線段錯(cuò)當(dāng)成單位“1”（ 本文伊始所表現(xiàn)的個(gè)案，就是如此）。就算老師告知學(xué)生在這樣的直線上應(yīng)該把0-1看成單位“1”，但學(xué)

7、生就是想不明白：為什么不能把0-2這樣的線段看成一個(gè)整體，看成單位“1”？ 這個(gè)難題，能夠這樣解決如下圖，以1個(gè)圓的面積為單位“1”，在數(shù)軸上怎么畫出來？教師先引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上表示“以1個(gè)圓的面積為單位1”。接下來再引導(dǎo)，哪兩個(gè)圓呢？三個(gè)圓呢？在數(shù)軸上又應(yīng)該怎樣表示出來？學(xué)生通過圓的個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的再現(xiàn)，體驗(yàn)到了數(shù)軸上的“0-1”就表示一個(gè)單位圓，即一個(gè)單位“1”；數(shù)軸上再增加一個(gè)“1”，成為“2”，這個(gè)“2”表示的是2個(gè)單位圓，即2個(gè)單位“1”這樣，學(xué)生通過在數(shù)軸上畫單位圓，數(shù)單位圓，就能體會(huì)到一個(gè)圓就表示一個(gè)單位“1”，兩個(gè)圓就表示有這樣的兩個(gè)單位“1”，三個(gè)圓就表示有這樣的三個(gè)單位“1”。

8、 此時(shí)，單位“1”實(shí)質(zhì)上已經(jīng)變成了一個(gè)計(jì)量單位，幫助學(xué)生理解、溝通了若干個(gè)單位“1”與數(shù)軸上的整數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這樣就可以避免將數(shù)軸上的0-2或0-3看作一個(gè)單位“1”了。2.體驗(yàn)分?jǐn)?shù)單位的計(jì)量過程，經(jīng)歷數(shù)軸上的先分后數(shù)數(shù)軸上的分?jǐn)?shù)直觀地展現(xiàn)了分?jǐn)?shù)單位的計(jì)量功能。教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的這一功尋找到分?jǐn)?shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。華應(yīng)龍老師說：“分?jǐn)?shù)就是先分后數(shù)的一個(gè)數(shù)，先分知道了是什么分?jǐn)?shù)單位，再數(shù)才知道有幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位?！崩?，首先應(yīng)明白單位“1”是，在數(shù)軸上應(yīng)該將0-1這段等分成8份；再在數(shù)軸上依次數(shù)出5小格，才能在數(shù)軸上找到相應(yīng)的點(diǎn)。3.注意0-1與1-2之間的銜接，做好分?jǐn)?shù)在數(shù)軸上的區(qū)間

9、定位分?jǐn)?shù)值超過1，標(biāo)在什么位置，是用數(shù)軸上表示分?jǐn)?shù)的困難所在。突破這個(gè)難點(diǎn)，一要突出0-1與1-2之間的銜接。例如，學(xué)生指著數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)分?jǐn)?shù)： ，然后故設(shè)疑問：在哪里？讓學(xué)生明白就在直線的1處；接著追問：那呢，又在哪里？在這里，還得慢下來，讓學(xué)生觀察到在1-2的區(qū)間，拓展：如果是，估一估在哪個(gè)位置？呢？這樣，通過強(qiáng)化訓(xùn)練0-1與1-2之間的銜接就幫學(xué)生解決困惑。二是引導(dǎo)學(xué)生將先按區(qū)間分類，再操作。如下圖的練習(xí)：師：結(jié)合直線想一想，你有什么辦法避免出錯(cuò)？生1：我先找在0-1以內(nèi)的，也就是先找到真分?jǐn)?shù)；再找在1-2之間的，也就是超過單位“1”的。生2：我把這些分?jǐn)?shù)分為在0-1以內(nèi)的；1-2以內(nèi)

10、的；剛好在1或2上的。師：這個(gè)，老師想知道你打算怎么辦？生3：超過1了，肯定在1的右邊。1里面已經(jīng)有4個(gè)了，再往后數(shù)一小點(diǎn)就行了。接著，學(xué)生說出其它分?jǐn)?shù)怎樣在數(shù)軸上表示的。上述片段中學(xué)生將假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)，或者將1做為參照，確定了其所處的區(qū)間，再將這一區(qū)間的線段平均分成相應(yīng)的份數(shù)，找到了對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。4. 深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)軸的特點(diǎn)，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想（1）要有整體和聯(lián)系的觀點(diǎn)在數(shù)軸滲透教學(xué)中，要有整體觀和聯(lián)系觀，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目之外的奧妙。例如西師大版第10冊(cè)第6頁第6題，讓學(xué)生在直線上用點(diǎn)表示下面的分?jǐn)?shù)。學(xué)生可以整體感知數(shù)軸左邊的分?jǐn)?shù)小，右邊的分?jǐn)?shù)大，相鄰的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相差1個(gè)分?jǐn)?shù)單位，也可以展開前后的聯(lián)系，

11、如啟發(fā)學(xué)生找到（1）小題的前面或后面還有哪些分?jǐn)?shù)，這時(shí)學(xué)生可以由聯(lián)系到，甚至猜想到等。這不單單為下節(jié)課教學(xué)真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)做孕伏，更為重要的是能啟發(fā)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的發(fā)展的聯(lián)系的觀點(diǎn)建立一個(gè)整體的大數(shù)軸概念。（2）要有方向和順序的感覺擅長(zhǎng)開車的人方向感非常好，在借助數(shù)軸來學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，也要加強(qiáng)方向感，使學(xué)生在頭腦中建立數(shù)軸的表象，向右的分?jǐn)?shù)越來越大，向左的分?jǐn)?shù)越來越小，而且數(shù)軸上的分?jǐn)?shù)不是爭(zhēng)先恐后雜亂無章排列的，而是按照從左向右從小到大依次排列的，這樣有序有向無窮的排列是數(shù)系結(jié)構(gòu)的一個(gè)基本特征，也是學(xué)生建立數(shù)感的邏輯起點(diǎn)。（3）要滲透若干數(shù)學(xué)思想數(shù)軸，不僅是一個(gè)重要的分?jǐn)?shù)教學(xué)資源，也是學(xué)生學(xué)好分?jǐn)?shù)的一個(gè)重要工具。在教學(xué)中要注意滲透數(shù)形結(jié)合思想、一一對(duì)應(yīng)思想、微分和數(shù)無窮思想，利用數(shù)軸還可以幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)展學(xué)生模型思想等。只有讓學(xué)生理解數(shù)軸的含義，對(duì)學(xué)生在方法上進(jìn)行一定的指導(dǎo)，學(xué)生才能在數(shù)軸上正確表示分?jǐn)?shù)，從而使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解更加透徹。總之，數(shù)軸在分?jǐn)?shù)教學(xué)中的作用是明顯的、多樣的，教材在分?jǐn)?shù)教學(xué)中大量編排數(shù)軸，其編排意圖十分明顯，就是要充分凸顯數(shù)軸的教學(xué)價(jià)值。我們要深入理解數(shù)軸的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，充分挖掘數(shù)軸的數(shù)學(xué)價(jià)值，發(fā)揮數(shù)軸的作用與功能，幫助學(xué)生建立大數(shù)