242拋物線的簡單幾何性質(zhì)1人教A版高二數(shù)學選修21課件共20張PPT

1、定義：在平面定義：在平面內(nèi)內(nèi),與一個定點與一個定點f和一條定直和一條定直線線l(l不經(jīng)過點不經(jīng)過點f)的的距離相等距離相等的點的軌跡叫的點的軌跡叫拋物線拋物線.拋物線的定義及標準方程拋物線的定義及標準方程準線方程準線方程焦點坐標焦點坐標標準方程標準方程圖圖 形形x xf foy ylx xf foy ylx xf foy ylx xfoy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py 一、溫故知新一、溫故知新范圍范圍1、yox)0 ,2(pf由拋物線由拋物線y2 =2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以拋物線的范圍為所以拋物線的范圍為0 x 二

2、、探索新知二、探索新知如何研究拋物線如何研究拋物線y2 =2px（p0）的幾何性質(zhì)）的幾何性質(zhì)?拋物線在拋物線在y軸的右側(cè)，當軸的右側(cè)，當x的值增大時，的值增大時，y也也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。對稱性對稱性2、yox)0 ,2(pf( , )x y關于關于x軸軸對稱對稱( ,)xy即點即點(x,-y) 也在拋物線上也在拋物線上,故故 拋物線拋物線y2 = 2px(p0)關于關于x軸軸對稱對稱.則則 (-y)2 = 2px若點若點(x,y)在拋物線上在拋物線上, 即滿足即滿足y2 = 2px，頂點頂點3、yox)0 ,2(pf 定義

3、：拋物線與定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋它的軸的交點叫做拋物線的物線的頂點頂點。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,則則x=0.即：拋物線即：拋物線y2 = 2px (p0)的的頂點（頂點（0，0）.注注:這與橢圓有四個頂點這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。雙曲線有兩個頂點不同。離心率離心率4、yox)0 ,2(pfp(x,y) 拋物線上的點與拋物線上的點與焦點的距離和它到準焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做線的距離之比，叫做拋物線的離心率。拋物線的離心率。 由定義知，由定義知， 拋物線拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為的離心率為e=1. 下面請大家得出其余三種標

4、準方程拋下面請大家得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質(zhì)。物線的幾何性質(zhì)。（二）歸納：拋物線（二）歸納：拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)圖圖 形形方程方程焦點焦點準線準線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸elfyxolfyxolfyxolfyxoy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pf)0 ,2(pf )2, 0(pf)2, 0(pf2px 2px 2py 2pyx0yrx0yry0 xry 0 xr(0,0)x軸軸y軸軸1特點：特點：1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無雖然它可以無限延伸限延

5、伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有沒有對稱中心對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;思考思考：拋物線標準方程中的：拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.yox)0 ,2(pfp(x,y)p越大越大,開口越開闊開口越開闊補充補充（1）通徑：）通徑：通過焦點且垂直對稱軸的直線，通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的兩點的線段叫做拋物線的通徑通徑。|pf|=

6、x0+p/2xoyfp通徑的長度通徑的長度：2pp越大越大,開口越開闊開口越開闊（2）焦半徑：）焦半徑： 連接拋物線任意一點與焦點的線段叫連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標準方程中（標準方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點頂點、通徑的兩個、通徑的兩個端點端點可較準確畫出可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。因為拋物線關于因為拋物線關于x x軸對稱，它的頂點在坐標原軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點點，并且經(jīng)過點m m（，），（，），2 2解解:所以設方程為：所以設方

7、程為：)0(22ppxy又因為點又因為點m m在拋物線上在拋物線上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求拋物線標準方程為：因此所求拋物線標準方程為：24yx例：已知拋物線關于例：已知拋物線關于x x軸對稱，它的頂點在坐標軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點原點，并且經(jīng)過點m m（，），求它的標準方程（，），求它的標準方程. .2 2三、典例精析三、典例精析坐標軸坐標軸當焦點在當焦點在x(y)軸上軸上,開口方向不定時開口方向不定時,設為設為y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免討論可避免討論例例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線

8、的一部分，光源位于拋物線的焦點處。已知燈口圓的直徑為位于拋物線的焦點處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深，燈深40cm，求拋物線的標準方程和焦點位置。，求拋物線的標準方程和焦點位置。xyoba(40,30)解解:所在平面內(nèi)建立直所在平面內(nèi)建立直角坐標系角坐標系,使反射鏡使反射鏡的頂點與原點重合的頂點與原點重合, x軸垂直于燈口直徑軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面在探照燈的軸截面設拋物線的標準方程為設拋物線的標準方程為:y2=2px由條件可得由條件可得a (40,30),代入方程得代入方程得:302=2p40解之解之: p=445故所求拋物線的標準方程為故所求拋物線的標準方程為: y2= x,

9、245焦點為焦點為( ,0)845練習：練習：1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在軸，焦點在直線直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是上，那么拋物線通徑長是 .162、已知點、已知點a（-2，3）與拋物線）與拋物線 的焦點的距離是的焦點的距離是5，則，則p= 。 22(0)ypx p4法一法一: :直接求兩點坐標直接求兩點坐標, ,計算弦長計算弦長( (運算量一般較大運算量一般較大);); 法法二二: :設設而而不不求求, ,運運用用韋韋達達定定理理, ,計計算算弦弦長長( (運運算算量量一一般般) ); ; 法法三三: :設而不求設而不求

10、, ,數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合, ,活用定義活用定義, ,運用韋達定理運用韋達定理, ,計計算弦長算弦長. . 例例3、斜率為、斜率為1的直線的直線 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線 的的焦點焦點f，且與拋物線相交于，且與拋物線相交于a，b兩點，求線兩點，求線段段ab的長。的長。l24yxaabbfoxyaabbfoxy432 .圖圖 .:,101122 xlfpp準線焦點由題意可知解如 .,.baddlbayxbyxa的距離分別為到準線設圖2211432 .| ,|1121 xdbfxdafba由拋物線的定義可知.|221 xxbfafab于是 1101., xyabf方程為的所以直線為由已知得拋物線的焦點 .

11、,xxxy412122 得代入將aabbfoxy432 .圖圖. 0162 xx化簡得.|,822232232121 xxabxx于是由求根公式得 621 xx或由韋達定理得.,8的長是線段所以ab四、歸納總結(jié)四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于；拋物線的離心率是確定的，等于；拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線；拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線；拋物線的通徑為拋物線的通徑為2p, 2p越

12、大，拋物線的張口越大，拋物線的張口越大越大.1、范圍：、范圍：2、對稱性：、對稱性：3、頂點：、頂點：4、離心率：、離心率：5、通徑：、通徑：1.1.已知已知m m為拋物線為拋物線 上一動點，上一動點，f f為拋物線的焦點，為拋物線的焦點，定點定點p(3,1)p(3,1), ,則則 的最小值為（的最小值為（ ） (a)3 (b)4 (c)5 (d)6 (a)3 (b)4 (c)5 (d)6 mfmp xy42b b.)0 , 1 (f3xm.n.m.p24l例例3:圖中是拋物線形拱橋，當水面在圖中是拋物線形拱橋，當水面在 l 時，拱頂離時，拱頂離水面水面2米，水面寬米，水面寬4米米. 水下降水下降1米后，水面寬多少？米后，水面寬多少？xoy若在水面上有一寬為若在水面上有一寬為2米米,高高為為1.6米米的船只，能否安全通過拱橋？的船只，能否安全通過拱橋？思考題思考題2ba（2,2）x2=2y6x b（1，y） y=0.5b到水面的距離為到水面的距離為1.5米米不能安全通過不能安全通過y=3代入得代入得26水面寬例題例題3探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都是太陽灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面。拋物鏡面：拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。拋物鏡面：拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在