等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式課件

1、蘇教版必修蘇教版必修5 5第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二節(jié)第二節(jié) 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式式1等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式一般地，如果一個(gè)數(shù)列 a a1 1,a,a2 2,a,a3 3 ，a an n 從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)d， a a2 2 a a1 1 = = a a3 3 - a - a2 2 = = = a = an n - a- an-1 n-1 = = d= = d 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。常數(shù)d叫做等差數(shù)列的公差。知識(shí)回顧知識(shí)回顧an+1-an=d(nn * *)2等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式通通 項(xiàng)項(xiàng) 公公 式式 的的 推推 導(dǎo)導(dǎo)1 1（歸納猜想）（歸納

2、猜想）設(shè)一個(gè)等差數(shù)列設(shè)一個(gè)等差數(shù)列 an n 的首項(xiàng)是的首項(xiàng)是a1 1, ,公差是公差是d,d,則有：則有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d, ,所以有：所以有：所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是：所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是：an=a1+(n-1)d（nn* *）問(wèn)問(wèn)an=?=? 通過(guò)觀察：通過(guò)觀察：a2， a3，a4都可都可以用以用a1與與d 表示出來(lái)；表示出來(lái)；a1與與d的的系數(shù)有什么特點(diǎn)？系數(shù)有什么特點(diǎn)？a1 1 、an n、n、d知三知三求一求一a2=a1+ d,a3=a1+2d,a4=a1+3d, an=a1+(n-1)da2=a1+d,a3=a2+d = (a1+d) + d

3、= a1+ 2da4=a3+d = (a1+2d) +d =a1+3d3等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式21aad32aad43aad12nnaad1nnaad疊加得疊加得1(1)naand等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)2 2（疊加）（疊加）dnaan)1(14等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式例第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于例第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于18961896年在希臘雅典舉行，此后每年在希臘雅典舉行，此后每4 4年年舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算。舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算。 （1 1）試寫(xiě)出由舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公）試寫(xiě)出由舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式式 （2 2）20

4、082008年北京奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？年北京奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？20502050年舉行奧運(yùn)會(huì)年舉行奧運(yùn)會(huì)嗎？嗎？解解: :（1 1）由題意知，舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)以）由題意知，舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)以18961896為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，4 4為公差的等差數(shù)列。這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為為公差的等差數(shù)列。這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 a an n=1896+4(n-1)=1896+4(n-1) =1892+4n(nn =1892+4n(nn* *) ) (2) (2) 假設(shè)假設(shè)a an n=2008, =2008, 由由 2008=1892+4n, 2008=1892+4n, 得得 n=29.n=2

5、9. 假設(shè)假設(shè)a an n=2050,2050=1892+4n =2050,2050=1892+4n 無(wú)正整數(shù)解無(wú)正整數(shù)解答：所求通項(xiàng)公式為答：所求通項(xiàng)公式為 a an n= 1892+4n(nn= 1892+4n(nn* *) ) ，20082008年北京奧運(yùn)會(huì)是第年北京奧運(yùn)會(huì)是第2929屆，屆，20502050年不舉行奧運(yùn)會(huì)年不舉行奧運(yùn)會(huì)5等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式例例. .在等差數(shù)列在等差數(shù)列a an n中中, ,已知已知a a3 3=10, a=10, a9 9=28,=28,求求a a12 12 。推廣：推廣：等差數(shù)列等差數(shù)列a an n中，中，a am m,a,an n(nm)(nm)等

6、差數(shù)列的通項(xiàng)公式一般形式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一般形式: : a an n = a= am m + (n + (nm)d.m)d. 解：由題意得解：由題意得a a1 1+2d=10+2d=10a a1 1+8d=28+8d=28所以所以a a1212=4+(12-1) =4+(12-1) 3=373=37注注:a:a1212=a=a1 1+11d=+11d=+(12-3)d=+(12-3)d=+(12-3)d+(12-3)d = =+(12-+(12-9)d=9)d=+(12-9)d+(12-9)d解得：解得： a a1 1=4=4 d=3d=3練一練練一練：已知：已知a a5 5=11, a=1

7、1, a8 8=5, =5, 求等差數(shù)列求等差數(shù)列a an n的通項(xiàng)公的通項(xiàng)公式式. .6等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式練習(xí)練習(xí)1 1、填空題：、填空題：(1)(1)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列3 3，7 7，1111，則，則a11= (2)(2)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列1111，6 6，1 1，則，則an = (3)(3)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列1010，8 8，6 6， ，中，中，-10是第（是第（ ）項(xiàng)）項(xiàng)43-5n+16117等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式練習(xí)練習(xí)2.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an=2n 1. 求首項(xiàng)求首項(xiàng)a1和公差和公差d.變式引申變式引申:如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列

8、an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式an=kn+d,其中其中k,b都是常數(shù)都是常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?語(yǔ)言描述這種現(xiàn)象語(yǔ)言描述這種現(xiàn)象想一想！想一想！8等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式1a111(1)(1)2(2)mnaaamdandamndmnpq mnpqaaaad na nqpnm,qpnmqpnmaaaa 在等差數(shù)列在等差數(shù)列中，中，為公差，若為公差，若且且求證：求證： 證明：證明： 設(shè)首項(xiàng)為設(shè)首項(xiàng)為，則，則例例2.111(1)(1)2(2)pqaaapdaqdapqd 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)9等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式o若p=q呢?2 ,2mnpmnpaaa若則有10

9、等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式練習(xí)練習(xí) .在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中(1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=1523例題分析例題分析1591317315(3)117,naaaaaa已知數(shù)列是等差數(shù)列，且求a +a 的值11等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式1.1.等

10、差數(shù)列等差數(shù)列 an 的前三項(xiàng)依次為的前三項(xiàng)依次為 a-6-6，2 2a -5-5，-3-3a +2 2，則則 a 等于（等于（ ) ) a . -1 . -1 b . 1 . 1 c .-2 .-2 d. 2b2. 在數(shù)列在數(shù)列an中中a1=1，an= an+1+4，則，則a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1an=4 -353. 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中 (1) 若若a59=70，a80=112，求，求a101； (2) 若若ap= q，aq= p ( pq )，求，求ap+qd=2,a101=154d= -1, ap+q =0

11、課堂練習(xí)課堂練習(xí)12等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式練習(xí)練習(xí)已知已知 ，求，求 的值。的值。)(21)(2) 1(, 2) 1 (*nnnfnff)2007(f100523200721)2007(2321)(212)(21)() 1(1)(2) 1(2fnnfnfnfnfnfnf即的等差數(shù)列，公差為是首項(xiàng)為解解:13等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式小結(jié)小結(jié)掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題a an n=a=a1 1+(n+(n1)d1)d 提高觀察、歸納、猜想、推理等數(shù)學(xué)能力提高觀察、歸納、猜想、推理等數(shù)學(xué)能力14等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式1. 1.

12、 a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列 2. 2. a a、b b、c c成等差數(shù)列成等差數(shù)列 a an n+1+1- - a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n= = a a1 1+ +( (n-n-1) 1) d da an n= = kn + bkn + b（k k、b b為常數(shù)）為常數(shù)）b b為為a a、c c 的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng)2cab 2 2b= a+cb= a+c 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)15等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式a amm+ +a an n=a ap p+ +a aq q上面的命題中的等式兩邊有上面的命題中的等式兩邊有 相相 同同 數(shù)數(shù) 目目 的項(xiàng)，否則不成立。如的項(xiàng)，否則不成立。如a a1 1+ +a a2 2=a a3 3 成立嗎？成立嗎？ 【說(shuō)明說(shuō)明】 3. 3.更一般的情形，更一般的情形，a an n= = ，d d= = a amm+ +( (n n - - mm) ) d dmnaamn