高一數(shù)學二面角教案

1、 二 面 角教學目標：使學生正確理解二面角及二面角的平面角；通過概念教學，提高邏輯思維能力，滲透等價轉化思想；通過圖形結構分析，掌握作圖方法，提高空間想象能力；通過本節(jié)教學由水壩、衛(wèi)星運行軌道平面到二面角，體現(xiàn)由具體到抽象思想。教學重點：二面角的平面角。教學難點： 求作二面角的平面角。教學過程：1復習回顧：兩個平面平行的判定有哪幾種方法？各種方法應具備條件是什么？兩個平面平行的性質有哪些？如何利用性質解決問題？這一部分中等價轉化思想體現(xiàn)在哪里？2講授新課：1.二面角師兩個平面的位置關系包括相交、平行兩種，兩個平行平面的相對位置是用“距離”來刻畫.而兩個相交平面的相對位置由這兩個平面所成的“角”

2、來確定.修筑水壩，為了使水壩堅固耐久，必須使水壩面和水平面成適當?shù)慕嵌龋ㄈ鐖D）。還有教材中人造地球衛(wèi)星的發(fā)射，需衛(wèi)星軌道平面和地球赤道平面成一定的角度.請同學們再舉出生活中例子說明結論.那就是：為了解決實際問題，需研究兩個平面所成的角.師請同學歸納總結二面角的概念.（可與平面角概念對比）二面角的概念（1）半平面的定義：平面內的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面.（2）二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.師（3）常用直立式和平臥式兩種（教師和學生共同動手）直立式： 平臥式：1 / 7生（4）二面角

3、的表示在上圖（1）中，棱為AB，面為、的二面角，記作二面角AB.有時為了方便也可在、內（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作二面角PABQ.如果棱為l，則這個二面角記作l或PlQ.師進一步研究圖（2）中AOB與AOB的大小.在二面角l的棱上任取點O，以O為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB組成AOB.再取棱上另一點O，在和內分別作l的垂線OA和OB，則它們組成角AOB.因為OAOA,OBOB,AOB和AOB關系如何？生由OAOA，OBOB可知AOB及AOB的兩邊分別平行且方向相同.即AOB=AOB師結論說明了什么問題？生按照上述方法作出的角的大小

4、，與角的頂點在棱上的位置無關.師由此結果引出二面角的平面角概念.（5）二面角的平面角以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.上圖（2）中的AOB,AOB都是二面角l的平面角.前邊舉過門和門所在墻的關系，隨著門的開啟，其所在平面與墻所在平面的相交程度在變，而二面角就恰如其分地將這種關系區(qū)別開來，度量二面角的大小，利用的是二面角的平面角.二面角的平面角是幾度，就說這個二面角是幾度.本書中規(guī)定二面角的大小范圍為0180.當二面角的兩個面合成一個平面時，規(guī)定二面角的大小為180.師若一個二面角的平面角是直角，就說這個二面角為直二面角.除教

5、材例外，舉出一個二面角為直二面角的例子.生教室相鄰墻構成的二面角就是直二面角.如圖DD1A1D1，DD1D1C1A1D1C1為二面角A1D1DC1的平面角A1D1C1=90該二面角為一直二面角.師在作圖時注意兩種情形.（1）它是一個“平面角”，它的兩邊必須在同一平面內，AB、CD雖各在兩個平面內，且都垂直于棱，但不在同一平面內，所以AB和CD不成平面角.（2）二面角的平面角的兩邊必須都與棱垂直，ABC的頂點雖在棱上，兩邊也分別在兩個半平面內，但BC不與棱垂直，所以ABC不是二面角的平面角.下面閱讀例1，并簡要分析例1：河堤斜面與水平面所成二面角為60，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB

6、的夾角為30，沿這條直道從堤腳向上行走到10 m時人升高了多少？（精確到0.1 m）分析：人升高了多少？實質上就是求人所在位置到水平面距離，問題就轉化為解RtEFG，而直角三角形的求解靠二面角平面角來完成，找二面角的平面角就成為關鍵.解：取CD上一點E，設CE=10 m，過點E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長就是所求的高度.在河堤斜面內，作EFAB，垂足為F，并連結FG.則FGAB即EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成二面角的平面角.EFG=60,由此得EG=EFsin60=CEsin30sin60=10=2.54.3（m）.答：沿直道行走到10 m時人升高約4.3

7、m.師學生思考問題.兩條相交直線對頂角相等.兩個平面相交時，形成一些二面角，其中有些二面角有類似對頂角的位置關系，二面角和二面角AB相等.這樣的兩個二面角有公共的棱它們的面合在一起恰是兩個相交平面.具有這樣特殊位置的兩個二面角大小相等.但二面角AB和二面角AB是互補的.例2：設P是二面角l內一點，P到面、的距離PA、PB分別為8和5，且AB7，求這個二面角的大小。解：作ACl于c，連結BCPA，l PAl又ACl，ACPAAl平面PAC lPCPB，l PBl 又PBPCP l平面PBC平面PAC與平面PBC重合，且lBCACB就是所求的二面角PAB中，PA8，PB5，AB7 P600ACB1

8、2003課堂練習：課本P47 練習1.4課時小結：1.應理解掌握二面角、二面角的平面角概念；2.通過學習應掌握利用二面角平面角的定義. 5課后作業(yè)：（一）課本P47 習題 17.（二）預習：如何判定兩個平面垂直？兩個平面垂直后具有什么性質？備課資料一、求作二面角的平面角求作二面的平面角是解決二面角問題的關鍵，也是難點，通過前面教學及習題涉及到的作法有下面三種：1.定義法：利用二面角的平面角定義，在二面角棱上取一點，過該點在兩個半平面內作垂直于棱的射線、兩射線所成角就是二面角的平面角.2.三垂線法：利用三垂線定理及逆定理通過證明線線垂直，找到二面角的平面角，關鍵在找面的垂線.3.垂面法：作一與棱

9、垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角.例1（2002年高考試題江蘇卷）四棱錐PABCD的底面是邊長為a的正方形PB垂直面ABCD，證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90.分析：注意到題目中所給的二面角，面PAD與面PCD其棱為PD，圍繞PD而考慮問題解決途徑.證法一：利用定義法經A在PDA平面內作AEPD于E，連CE因底是正方形，故CDDACEDAED，AEEC，CEDAED90則CEPD故CEA是面PAD與面PCD所成二面角的平面角設AC與BD交于O，連EO，則EOAC因 OAaa，AEADa cosAEC0所以面PAD

10、與面PCD所成的二面角恒大于90.證法二：運用三垂線法PB面ABCD，則PBAD，又ADABAD面PAB，即面PAB面PAD過B作BEPA則BE面PAD在面PBC內作PGBC，連GD經C作CF面PAD于F那么連結EF，有EF AD經F作FGPD于H，連CH則FGH是所求二面角平面角的補角因CFFH，故FHC是銳角則面PAD與面PCD所成二面角大于90此結論證明過程中與棱錐高無關.證法三：利用垂面法找平面角.在證法一所給圖形中連AC、BD，因ACBD，PB面ABCDACPD經A作AEPD于E，那么有PD面AEC，連CE即PDCE故PD與平面AEC垂直后，面AEC與面ADC及面ADP的交線EA、E

11、C構成角CEA就是二面角的平面角以下同證法一.評述：證法一用的是定義法，平面角的一邊是作出，而另一邊是證得，證法二用的是三垂線法，關鍵在找面PAD的垂線CF，并且證明過程滲透立體幾何的割補法求解問題，證法三是利用作垂直于棱的垂面，找交線是主要的.二、用面積法求解二面角問題面積射影在運用上述方法找二面角的平面角時，不一定所有問題都能解決，這時就應想到轉化思想，即不直接找或作二面角的平面角，而是把問題加以轉化，下面介紹一種求二面角的方法，就是射影面積公式cos，是二面角的大小，S是一面積為S的平面圖形在另一面內的射影面積.例2正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱AA1的中點，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小.解：EB1C在底面ABCD內的射影三角形為RtABC因E點射影為A，B1點射影為B設正方體棱長為a則SABCa2