高一數(shù)學(xué)二面角教案

1、 二 面 角教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生正確理解二面角及二面角的平面角；通過(guò)概念教學(xué)，提高邏輯思維能力，滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；通過(guò)圖形結(jié)構(gòu)分析，掌握作圖方法，提高空間想象能力；通過(guò)本節(jié)教學(xué)由水壩、衛(wèi)星運(yùn)行軌道平面到二面角，體現(xiàn)由具體到抽象思想。教學(xué)重點(diǎn)：二面角的平面角。教學(xué)難點(diǎn)： 求作二面角的平面角。教學(xué)過(guò)程：1復(fù)習(xí)回顧：兩個(gè)平面平行的判定有哪幾種方法？各種方法應(yīng)具備條件是什么？?jī)蓚€(gè)平面平行的性質(zhì)有哪些？如何利用性質(zhì)解決問(wèn)題？這一部分中等價(jià)轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在哪里？2講授新課：1.二面角師兩個(gè)平面的位置關(guān)系包括相交、平行兩種，兩個(gè)平行平面的相對(duì)位置是用“距離”來(lái)刻畫.而兩個(gè)相交平面的相對(duì)位置由這兩個(gè)平面所成的“角”

2、來(lái)確定.修筑水壩，為了使水壩堅(jiān)固耐久，必須使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌龋ㄈ鐖D）。還有教材中人造地球衛(wèi)星的發(fā)射，需衛(wèi)星軌道平面和地球赤道平面成一定的角度.請(qǐng)同學(xué)們?cè)倥e出生活中例子說(shuō)明結(jié)論.那就是：為了解決實(shí)際問(wèn)題，需研究?jī)蓚€(gè)平面所成的角.師請(qǐng)同學(xué)歸納總結(jié)二面角的概念.（可與平面角概念對(duì)比）二面角的概念（1）半平面的定義：平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面.（2）二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫二面角的面.師（3）常用直立式和平臥式兩種（教師和學(xué)生共同動(dòng)手）直立式： 平臥式：1 / 7生（4）二面角

3、的表示在上圖（1）中，棱為AB，面為、的二面角，記作二面角AB.有時(shí)為了方便也可在、內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作二面角PABQ.如果棱為l，則這個(gè)二面角記作l或PlQ.師進(jìn)一步研究圖（2）中AOB與AOB的大小.在二面角l的棱上任取點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB組成AOB.再取棱上另一點(diǎn)O，在和內(nèi)分別作l的垂線OA和OB，則它們組成角AOB.因?yàn)镺AOA,OBOB,AOB和AOB關(guān)系如何？生由OAOA，OBOB可知AOB及AOB的兩邊分別平行且方向相同.即AOB=AOB師結(jié)論說(shuō)明了什么問(wèn)題？生按照上述方法作出的角的大小

4、，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān).師由此結(jié)果引出二面角的平面角概念.（5）二面角的平面角以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.上圖（2）中的AOB,AOB都是二面角l的平面角.前邊舉過(guò)門和門所在墻的關(guān)系，隨著門的開啟，其所在平面與墻所在平面的相交程度在變，而二面角就恰如其分地將這種關(guān)系區(qū)別開來(lái)，度量二面角的大小，利用的是二面角的平面角.二面角的平面角是幾度，就說(shuō)這個(gè)二面角是幾度.本書中規(guī)定二面角的大小范圍為0180.當(dāng)二面角的兩個(gè)面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角的大小為180.師若一個(gè)二面角的平面角是直角，就說(shuō)這個(gè)二面角為直二面角.除教

5、材例外，舉出一個(gè)二面角為直二面角的例子.生教室相鄰墻構(gòu)成的二面角就是直二面角.如圖DD1A1D1，DD1D1C1A1D1C1為二面角A1D1DC1的平面角A1D1C1=90該二面角為一直二面角.師在作圖時(shí)注意兩種情形.（1）它是一個(gè)“平面角”，它的兩邊必須在同一平面內(nèi)，AB、CD雖各在兩個(gè)平面內(nèi)，且都垂直于棱，但不在同一平面內(nèi)，所以AB和CD不成平面角.（2）二面角的平面角的兩邊必須都與棱垂直，ABC的頂點(diǎn)雖在棱上，兩邊也分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，但BC不與棱垂直，所以ABC不是二面角的平面角.下面閱讀例1，并簡(jiǎn)要分析例1：河堤斜面與水平面所成二面角為60，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB

6、的夾角為30，沿這條直道從堤腳向上行走到10 m時(shí)人升高了多少？（精確到0.1 m）分析：人升高了多少？實(shí)質(zhì)上就是求人所在位置到水平面距離，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為解RtEFG，而直角三角形的求解靠二面角平面角來(lái)完成，找二面角的平面角就成為關(guān)鍵.解：取CD上一點(diǎn)E，設(shè)CE=10 m，過(guò)點(diǎn)E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長(zhǎng)就是所求的高度.在河堤斜面內(nèi)，作EFAB，垂足為F，并連結(jié)FG.則FGAB即EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成二面角的平面角.EFG=60,由此得EG=EFsin60=CEsin30sin60=10=2.54.3（m）.答：沿直道行走到10 m時(shí)人升高約4.3

7、m.師學(xué)生思考問(wèn)題.兩條相交直線對(duì)頂角相等.兩個(gè)平面相交時(shí)，形成一些二面角，其中有些二面角有類似對(duì)頂角的位置關(guān)系，二面角和二面角AB相等.這樣的兩個(gè)二面角有公共的棱它們的面合在一起恰是兩個(gè)相交平面.具有這樣特殊位置的兩個(gè)二面角大小相等.但二面角AB和二面角AB是互補(bǔ)的.例2：設(shè)P是二面角l內(nèi)一點(diǎn)，P到面、的距離PA、PB分別為8和5，且AB7，求這個(gè)二面角的大小。解：作ACl于c，連結(jié)BCPA，l PAl又ACl，ACPAAl平面PAC lPCPB，l PBl 又PBPCP l平面PBC平面PAC與平面PBC重合，且lBCACB就是所求的二面角PAB中，PA8，PB5，AB7 P600ACB1

8、2003課堂練習(xí)：課本P47 練習(xí)1.4課時(shí)小結(jié)：1.應(yīng)理解掌握二面角、二面角的平面角概念；2.通過(guò)學(xué)習(xí)應(yīng)掌握利用二面角平面角的定義. 5課后作業(yè)：（一）課本P47 習(xí)題 17.（二）預(yù)習(xí)：如何判定兩個(gè)平面垂直？?jī)蓚€(gè)平面垂直后具有什么性質(zhì)？備課資料一、求作二面角的平面角求作二面的平面角是解決二面角問(wèn)題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，通過(guò)前面教學(xué)及習(xí)題涉及到的作法有下面三種：1.定義法：利用二面角的平面角定義，在二面角棱上取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線、兩射線所成角就是二面角的平面角.2.三垂線法：利用三垂線定理及逆定理通過(guò)證明線線垂直，找到二面角的平面角，關(guān)鍵在找面的垂線.3.垂面法：作一與棱

9、垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角.例1（2002年高考試題江蘇卷）四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形PB垂直面ABCD，證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90.分析：注意到題目中所給的二面角，面PAD與面PCD其棱為PD，圍繞PD而考慮問(wèn)題解決途徑.證法一：利用定義法經(jīng)A在PDA平面內(nèi)作AEPD于E，連CE因底是正方形，故CDDACEDAED，AEEC，CEDAED90則CEPD故CEA是面PAD與面PCD所成二面角的平面角設(shè)AC與BD交于O，連EO，則EOAC因 OAaa，AEADa cosAEC0所以面PAD

10、與面PCD所成的二面角恒大于90.證法二：運(yùn)用三垂線法PB面ABCD，則PBAD，又ADABAD面PAB，即面PAB面PAD過(guò)B作BEPA則BE面PAD在面PBC內(nèi)作PGBC，連GD經(jīng)C作CF面PAD于F那么連結(jié)EF，有EF AD經(jīng)F作FGPD于H，連CH則FGH是所求二面角平面角的補(bǔ)角因CFFH，故FHC是銳角則面PAD與面PCD所成二面角大于90此結(jié)論證明過(guò)程中與棱錐高無(wú)關(guān).證法三：利用垂面法找平面角.在證法一所給圖形中連AC、BD，因ACBD，PB面ABCDACPD經(jīng)A作AEPD于E，那么有PD面AEC，連CE即PDCE故PD與平面AEC垂直后，面AEC與面ADC及面ADP的交線EA、E

11、C構(gòu)成角CEA就是二面角的平面角以下同證法一.評(píng)述：證法一用的是定義法，平面角的一邊是作出，而另一邊是證得，證法二用的是三垂線法，關(guān)鍵在找面PAD的垂線CF，并且證明過(guò)程滲透立體幾何的割補(bǔ)法求解問(wèn)題，證法三是利用作垂直于棱的垂面，找交線是主要的.二、用面積法求解二面角問(wèn)題面積射影在運(yùn)用上述方法找二面角的平面角時(shí)，不一定所有問(wèn)題都能解決，這時(shí)就應(yīng)想到轉(zhuǎn)化思想，即不直接找或作二面角的平面角，而是把問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化，下面介紹一種求二面角的方法，就是射影面積公式cos，是二面角的大小，S是一面積為S的平面圖形在另一面內(nèi)的射影面積.例2正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn)，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小.解：EB1C在底面ABCD內(nèi)的射影三角形為RtABC因E點(diǎn)射影為A，B1點(diǎn)射影為B設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a則SABCa2