向量內(nèi)積的坐標運算與距離公式教學設(shè)計

1、向量內(nèi)積的坐標運算與距離公式【教學目標】1. 掌握向量內(nèi)積的坐標表示，并應(yīng)用向量內(nèi)積的知識解決有關(guān)長度、角度和垂直的問題.2. 能夠根據(jù)平面向量的坐標，判斷向量是否垂直.3. 通過學習向量的坐標表示，使學生進一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認識事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學生辯證思維能力.【教學重點】向量內(nèi)積的坐標表達式，向量垂直的充要條件，向量長度的計算公式的應(yīng)用.【教學難點】向量內(nèi)積的坐標表達式的推導， 即a b= | a |b | cos? a, b ?與a b= aibi+ a2b2兩個式子的內(nèi)在聯(lián)系.【教學方法】本節(jié)課采用啟發(fā)式教學和講練結(jié)合的教學方法向量內(nèi)積的坐標表達式，是向量運算內(nèi)容與形式的統(tǒng)

2、 一無論是向量的線性運算還是向量的內(nèi)積運算，最終歸結(jié)為直角坐標運算教學中教師要引導學生抓住這條線索，不斷使學生的平面向量知識系統(tǒng)化、條理化，從而有利于學生知識體系的形成. 【教學過程】環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖1.非零向量 a與b，貝U a與教師提出問題.為知識遷移做準b的內(nèi)積表達式是怎樣的？由內(nèi)積表達學生回憶解答師生共同備.式怎樣求cos?a, b?回憶舊知識.導2.a_Lb u:師：對平面向量的內(nèi)積的入3.| a |與7a a有何關(guān)系?研究不能僅僅停留在幾何角度，還要尋求其坐標表示.引出探究問題.ei , e2是直角坐標平面上的基學生討論并答復，教師再問題為復習向量向量，a= (ai,

3、a2), b= (bi, b?),你能推提出的以下冋題：的線性運算和向量的導出a b的坐標公式嗎？(i)(aiei+ a2e2) (bi ei +內(nèi)積而設(shè)計.通過學探究過程b2 e2是怎樣進行運算的？生的探究給出結(jié)論，a b= (aiei + a?e2) (biei + b?e2)(2)eiei,e2e2,eie2比直接給出更符合學新=ai bi ei ei + aib2ei e2的內(nèi)積是怎樣計算的？生的特點，容易被學課+ a2biei e2 + a2b2e2 e2,教師針對學生的答復進行生接受.通過結(jié)論的又因為點評.師生共同寫出詳細的探探究，讓學生初步感eiei= i,e2e2= i,eie

4、2= 0,究過程.受到無論是向量的線所以性運算還是向量的內(nèi)a b= aibi + a2b2.積運算，最終都歸結(jié)為直角坐標運算.新課定理 在平面直角坐標系中，ei， e2是直角坐標平面上的基向量，兩 個非零向量 a = (ai, a2), b= (bi, b2), 那么a b= aibi+ a2b2-這就是說，兩個向量的內(nèi)積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和.我們還可以得到以下結(jié)論：(1) 向量垂直的充要條件為a丄心 ai bi+ a2 b2= 0;(2) 兩向量夾角余弦的計算公式為aibi+ a2b2COS?a, b?f 2 丄 a2 債2丄 b2.pai + a2 pbi + b2問題：(1) 假設(shè)

5、a= (ai, a2),你能用上面 的定理求出| a |嗎？解因為2| a | = a a = (ai, a2) (ai, a2)=ai2+ a22,所以 | a |= #a/+ a2?.這就是根據(jù)向量的坐標求向量長度的計算公式.(2) 假設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2)，你能求出忌|嗎？解 因為 A(xi, yi), B(x2 , y2),所以= (X2-xi, y2-yi).因為 | a |=Qai2+ a22，所以 |B|=P (X2 - Xi)2 + (y2-yi)2,這就是根據(jù)兩點的坐標求兩點之間 的距離公式.例 i 設(shè) a = (3, - i), b= (i, - 2)

6、, 求：教師給出向量內(nèi)積的直角 坐標運算公式.并引導學生用 文字表達.在教師的引導下學生討論 得出.教師提出問題，稍加點撥.學生討論解答.教師總結(jié)得出這就是根據(jù) 向量的坐標求向量長度的計算 公式.教師提出問題.學生討論解答.教師總結(jié)得出這就是根據(jù) 兩點的坐標求兩點之間的距離 公式.學生嘗試解答.教師針對 學生的答復進行點評.通過對問題的詳 細探究得到性質(zhì)，比 直接給出結(jié)論更容易 被學生接受.同時加 深對 a -b= aibi + a2b2 的理解.從而提高學 生的思維能力.使剛剛學過的知 識及時得到應(yīng)用.通過例i可讓學 生加深對向量內(nèi)積的直角坐標運算公式及 向量的長度公式的理 解和記憶. a

7、b;(2) | a |; I b |;？a, b?.解 (1) a b= 3X 1 + ( 1) x ( 2)=3 + 2 | a |=3 + (- 1) =. 10； | b |= 12+ ( 2)2=- 5;因為cos?a,b?=a b|a|b|22，所以孔b?= n例 2 A(2, 4), B( 2, 3), 求|云B|.解 因為 A(2, 4), B( 2, 3)，所以AB = ( 2, 3) (2, 4)=(4, 7),所以 |AB|= ；72+ ( 4)2= , 65.例 3 A(1 , 2), B(3, 4), C(5,0)，求證： ABC是等腰三角形.證明因為B = (3 1,

8、4 2) =(2,2),云C = (5 1,0 2) =(4, 2),BC = (5 3,0 4) =(2, 4),屁 |= 42 +( 2)2= 20,|血|= ,22 + ( 4)2= 20 ,所以 |AC|= |BC|.教師點撥，學生解答.教師針對學生的答復進行點評.教師點撥，學生討論解答. 小組討論時教師巡視，并 針對學生的答復給予補充、完 善.最后師生共同完成此題.教 師給出具體的解題步驟.穩(wěn)固公式，形成 技能.在板書證明的過 程中，突出解題思路 與步驟.因此 ABC是等腰三角形.例 4 A(1, 2), B(2, 3), C( 2,教師點撥，學生解答.通過學生討論，5)，求證：Xb

9、丄XC .教師針對學生的答復進行老師點撥，可以突出點評.解題思路，深化解題證明因為步驟，分解難點.順云B = (2 1 , 3 2) = (1 , 1),利幫助學生完成.云C = ( 2 1, 5 2)= ( 3, 3),新可得課AB AC = (1 , 1) ( 3, 3) = 0.所以Xb丄云C .練習1 A(1 , 2), B(2 , 3), C( 2,n5)，求證：ZBAC=2.2 .點P的橫坐標是7點P到 點N( 1, 5)的距離等于10,求點P的坐 標.師生合作共同完成.學習新知后緊跟 練習，有利于幫助學 生更好的梳理和總結(jié) 本節(jié)所學內(nèi)容.有利 于教師檢驗學生的掌 握情況.本節(jié)課我們主要學習了平面向量內(nèi)學生閱讀課本，暢談本節(jié)梳理總結(jié)也可針積的坐標運算與距離公式，常見的題型課的