工程造價Unit2

1、 第七章 第 三節(jié)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)(13)二、有效性二、有效性 三、相合性三、相合性一、無偏性一、無偏性 從上一節(jié)可知，對于同一未知參數(shù)，用不同的估計方法求出的估計量可能不相同，而用相同的估計方法得到的估計量也可能不同，也就是說，同一未知參數(shù)可能具有多種估計量，那么采用哪一個估計量為好呢？通常認為誤差越小的估計量越好.由于待估參數(shù)是未知的，所以誤差也是未知的.又由于所求的估計量與樣本有關(guān)，所以估計量也是隨機變量,因此在評價估計量的優(yōu)劣時，應(yīng)考慮估計量的整體性能.主要有以下三個方面：一是有無系統(tǒng)偏差；二是波動性的大小如何；三是隨著樣本容量的增大估計量是否越來越精確，這就是評價估計量優(yōu)劣的無偏性，

2、有效性和相合性三項標(biāo)準(zhǔn).一、無偏性則 是一個而若 的數(shù)學(xué)期望恰等于其真值， 設(shè) 是未知參數(shù) 的估計量,我們總希望估計值在 的真值左定義1: 設(shè) 是未知參數(shù) 的估計量,若 存e在, 且對 有 ， e則稱 是 的無偏估稱 具有無偏性. 在科學(xué)技術(shù)中,稱為以 作為 的e這就是所謂的無偏性.右擺動，的估計值，對于不同的樣本值就會得到不同隨機變量，估計量，系統(tǒng)誤差.無偏估計的實際意義就是無估計的系統(tǒng)誤差，例1： 設(shè)總體總是kme x), 2 , 1(,)()(nimxemekkk 特別，不論 服從什么分布，只要 存在，)(xexxx1111()()nnkkkiiiie mexe xnn11()()nkk

3、iie xe xnqk) 1()(kxemkk存階中心矩的計.的無偏估nikikxnm11總是x服從什么分布，論證明：不),(21nxxxx的一個樣本，是 總體在，證明： 與nxxx,21x同分布，的無偏估計.例例2 2： 設(shè)總體且 ,02若 均為未知，2,則 的估2證明： 21212211xxn)xx(nniinii222221)()(nnnniniixexdxenxexene1221222)()(1)()(1)( 若在的兩邊同乘以 ，則所得到的估計1nn而 恰恰就是樣本方差21nnniixxns122)(11. .222)(1)1(ennnne即：，2)(,)(xdxe的數(shù)學(xué)期望和方差ni

4、ixxn122)(1是有偏的. .計量都存在，x量就是無偏了. .而且常用偏的角度考慮，2s比 可見,2s222s2m2s可以作為 的估計，2 在實際應(yīng)用中，無系統(tǒng)偏差只能對整個系統(tǒng)（整個實驗）而言.就一次實驗來講，可能偏大也可能偏小，無系統(tǒng)偏差實質(zhì)上并說明不了什么問題，只是平均來說它沒有偏差.所以無偏性只有在大量的重復(fù)實驗中才能體現(xiàn)出來；而另一方面，往往一個參數(shù)的無偏估計有多個，而僅由無偏性無法確定哪個估計量更好.從無因此，估計.是無偏的估計量.作為方差的估計好.作為 那么，究竟哪個無偏估計更好、更合理，這就看哪個估計量的觀察值更接近真實值的附近，即估計量的觀察值更密集的分布在真實值的附近.

5、我們知道，方差是反映隨機變量取值的分散程度.所以同一參數(shù)的不同無偏估計以方差較小者為更好、更合理.為此引入了估計量的有效性概念.例例3: 設(shè) 是總體 的一個樣本,12(,)nxxxx體 的數(shù)學(xué)期望 ,xe x方差 ，20均值 與 均為 的無偏估計.x11nniiiiia xa為任意常數(shù) .10niia總ia其中則樣本二、有效性定義定義2: 設(shè) 與 都是 的無偏估計量,12意的樣本 都有 ,nxxx,21)()(21dd例例4： 問例3中的 與 哪一個更有效？x11nniiiiia xa解：22()()d xd xn2221111nnnniiiiiiiiida xaaa（許瓦茲不等式 ，2, 1

6、2,1,1,1na aa得222211111,nnnniiiiiiiiaanaan11nniiiiid xda xa若對任更有效。22比則稱令）更有效。x例例5：設(shè) 是來自總體 的一個樣本，12,nxxxx服從 上的均勻分布,0,求 的矩估計量與解:11mm即： ，2xex12x極大似然估計:計量為21ii nmax x 下面考慮上例兩種估計方法的優(yōu)劣：1222eexexex極大似然估計量.由上一節(jié)知其極大似然估令矩估計: :的分布函數(shù)21ii nmax x 22fxpx121,ini np max xxp xx xxxx 12nnxp xx p xx p xx的密度函數(shù)21ii nmax x

7、 21nnnxfx1201nnnxnexdxn現(xiàn)在將極大似然估計量進行修正，則3e，321nn令這里的13和均為愿未知參數(shù)的無偏估計,我們再來比較它們誰更有效：2123xxdxnn32211nnnn22112001nnnnnnxnxxdxxdxn 2222121nnnnnn2 2221212nnnn nnn231可見即極大似然估計比矩估計要更加精確一些.三、相合性 關(guān)于無偏性和有效性是在樣本容量固定的條件下提出的.我們不僅希望一個估計量是無偏的，而且是有效的，自然希望伴隨樣本容量的增大，估計值能穩(wěn)定于待估參數(shù)的真值，為此引入一致性概念.定義定義3： 設(shè) 是 的估計量,若對 ，0則稱 是 的相合性估計計量（一致性估計量）.有1|li