建筑大學畫法幾何及工程制圖教案：投影作圖

1、建筑大學畫法幾何及工程制圖教案第二章 投影作圖§21投影的概念一、投影在燈光或太陽光照射物體時，在地面或墻上酒會產(chǎn)生與原物體相同或相似的影子，人們根據(jù)這個自然現(xiàn)象，總結(jié)出將空間物體表達為平面圖形的方法，即投影法在投影法中：投影線在投影法中，向物體投射的光線，稱為投影線； 投影面在投影法中，出現(xiàn)影像的平面，稱為投影面； 投影在投影法中，所得影像的集合輪廓則稱為投影或投影圖。二、投影法的分類投影法依投影線性質(zhì)的不同而分為兩類：1中心投影法投影線由由投影中心的一點射出，通過物體與投影面相交所得的圖形，稱為中心投影。投影線的出發(fā)點稱為投影中心。這種投影方法，稱為中心投影法；螦得的單面投影圖，

2、稱為中心投影圖。如圖21所示。由于投影線互不平行，所得圖形不能反映提的真實大小，因此，中心投影不能作為繪制工程圖樣的基本方法圖21中心投影法圖22平行投影法（a） 圖23平行投影法（b）2平行投影法如果將投影中心移至無窮遠處，則投影可看成互相平行的通過物體與投影面相交，所得的圖形稱為平行投影；用平行投影線進行投影的方法稱為平行投影法。在平行投影法中，根據(jù)投射方向是否垂直投影面。 平行投影法又可分為兩種，（1）斜投影法：投影方向（投影線）傾斜于投影面，稱為斜角投影法；（2）直角投影法：投影方向（投影線）垂直于投影面，稱為直角投影法，簡稱正投影法。如上圖所示。正投影法是工程制圖中廣泛應用的方法。3

3、軸測投影軸測投影是用平行投影法在單一投影面上取得物體立體投影的一種方法。用這種方法獲得的軸測圖直觀性強，可在圖形上度量物體的尺寸，雖然度量性較差，繪圖也較困難，仍然是工程中一種較好的輔助手段。以后將有一章專門講解有關(guān)部門軸測圖的基本知識。三、正投影的基本特性 圖24正投影特性以對直線、平面進行正投影來說明其特性，如圖24所示。1真實性當直線或平面圖形平行于投面時，投影反映線段的實長和平面圖形的真實形狀；2積聚性當直線或平面圖形垂直于投面時，直線段的投影積聚成一點，平面圖形的投影積聚成一條線；3類似性當直線或平面圖形傾斜于投面時，直線段的投影仍然是直線段，比實長短；平面圖形的投影仍然是平面圖形，

4、但不反映平面實形，而是原平面圖形的類似形。由以上性質(zhì)可知，在采用正投影畫圖時，為了反映物體的真實形狀和大小及作圖方便，應盡量使物體上的平面或直線對投影嘸處于平行或垂直的位置。四、三個投影面的建立（三面投影體系的建立）如圖25所示是三個形狀不同的物體，它們在同一個投影面上的投影是相同的。很明顯若不附加其它說明，僅憑這一個投影面上的投影，是不能表示物體的形狀和大小的。 圖25一個投影不能確定物體的形狀1三個投影面的建立一般需將物體放置在如圖26的三面投影體系中，分別向三個投影面進行投影，然后將所得到的三個投影聯(lián)系起來，互相補充即可反映出物體的真實形狀和大小。圖26三面投影體系2三投影面名稱正投影面

5、正立著的面，簡稱正投影面或v面，水平投影面水平的面為水平投影面，簡稱水平面或h面，側(cè)投影面冊立著的面為側(cè)投影面，簡稱側(cè)面或w面。在三投影面中：ox軸v面和h面的交線， oy軸h面和w面的交線，oz軸v面和w面的交線， 坐標原點ox、oy、oz三軸的交點。五、三視圖的形成按照正投影法繪制出物體的投影圖，又稱為視圖。為了得到能反映物體真實形狀和大小的視圖，將物體適當?shù)胤乐乖谌嫱队绑w系中，分別向v面、h面、w面進行投影美麗v 面上得到的投影稱為主視圖；在h面上得到的投影稱為俯視圖；在w面上得到的投影稱為左視圖。三視圖的形成工程如圖27（a）所示。為了符合生產(chǎn)要求需要把三視圖畫在一個平面內(nèi)，即把三個

6、投影面展開，如圖27（b）所示。展開方法：v面不動，h面繞ox軸旋轉(zhuǎn)900，w面繞oz軸旋轉(zhuǎn)900，使h、w面與v面形成同一平面。在旋轉(zhuǎn)工程中，需將oy軸一分為二，隨h面的稱為oyh，隨w面的oyw。展開后的三視圖，如圖27（c）所示。值得注意的是：在生產(chǎn)中不需要畫出投影軸和表示投影面的邊框，視圖按上述位置布置時，不需注出視圖名稱，如圖27（d）所示。六、三視圖的投影關(guān)系從三視圖的形成工程和投影面展開的方法中，可明確以下關(guān)系：1位置關(guān)系俯視圖在主視圖的下邊，左視圖在主視圖的右邊； 圖27三視圖的形成2方位關(guān)系任何物體都有前后、上下、左右六個方位。而每個視圖只能表示其四個方位，如圖28所示。在三

7、視圖中，主、左視圖表示物體的上、下；主、俯視圖表示物體的左、右；俯左視圖表示物體的前后?？拷饕晥D的一面是物體的后面，遠離主視圖的一面是物體的前面圖28 三視圖與物體的方位關(guān)系3三等關(guān)系任何物體都有長、寬、高三個尺度，若將物體左右方向（x方向）的尺度稱為長，上下方向（z方向）尺度稱為高，前后方向（y方向）尺度稱為寬，則在三視圖上（如圖29所示）主、俯視圖反映了物體的長度，主、左視圖反映了物體的高度，俯、左視圖反映了物體的寬度。歸納上述三視圖的三等關(guān)系是：主、俯上對正，主、左高平齊，俯、左寬相等。簡稱為三視圖的關(guān)系是上對正，高平齊，寬相等關(guān)系。（注意：不僅物體整體的三視圖符合三等關(guān)系，物體上的沒

8、一部分都應符合三等關(guān)系。圖29三視圖的三等關(guān)系§22點的投影空間物體都是由面圍成的，而嘸可視為線的軌跡，線則是點的軌跡，所以點是最基本的集合元素。學習和掌握集合元素的投影規(guī)律和特性，才能透徹理解工程圖樣所表示物體的具體結(jié)構(gòu)形狀。一、點的投影和三面投影規(guī)律點的投影仍然是點，如圖210所示，設：空間有一點a，自a分別向三個投影面作垂線（即投影線），得三個垂足、。、分別表示a點在h面、v面、w面的投影。（通常規(guī)定空間點用大寫字母如：a、b、c等表示，其投影用響應的小寫字母，如、等表示）見上圖。這樣，a點到w 面的距離為a點的x坐標，a點到v 面的距離為a點的y坐標，a點到h 面的距離為a點

9、的z坐標。若用坐標值確定點的空間位置時，可用下列規(guī)定書寫形式：a=（xa，ya，za）， b=（xb，yb，zb）。 圖210點的三面投影由作圖可知，h面，v面，w面。則通過所作的平面p必然同時垂直于h面和v面，當然，也垂直于h面與v 面的交線ox軸，它與ox軸的交點用表示，顯然ax是一矩形，同理ay和az也是矩形。這三個矩形平面都與響應的投影軸相交，且是正交，并與三個投影面的響應矩形圍成一長方體。因為長方體中相互平行棱線長度相等，故可得點與三個投影面的關(guān)系為：=y=z=x（均為坐標xa）=x=z=y（均為坐標ya）=x =y=z（均為坐標za）可見，空間點在某一投影面上的投影，都是由該點的兩

10、個坐標值決定的。點由ox和oy，即a點的xa，ya兩坐標決定；點由ox和oz，即a點的xa，za兩坐標決定；點由oy和oz，即a點的ya，za兩坐標決定。如圖210（a）所示，將三投影面展開，使其與v面成同一平面。為便于進行投影分析，用細實線將點的兩面投影連接起來得到和（稱為投影連線），分別與x、z軸相交于x和z點。由于y軸展開后分為yh和yw，在作圖時，一種方法是采用以o點為圓心畫弧yh和yw，如圖210（b），另一種方法是自o點作450斜線，再從yh引y軸的垂線與450斜線得交點，再從此點引yw的垂線與由引出的z軸的垂線交點，即為點。注：在投影面上通常住畫出投影軸，不畫投影面的邊界，如圖2

11、10（c）所示。按照點與三投影面關(guān)系，由立體展開成平面，可得出點的三面投影規(guī)律：1點的正投影和水平投影的連線垂直于x軸，即ox兩投影都反映橫坐標，表示空間點到側(cè)投影面的距離。即：ox，z=yh=xa。2點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于z軸，這兩個投影都反映空間點的z坐標，即便表示點到水平面的距離。z軸，x=yw=za。3點的水平投影到x軸的距離等于其側(cè)面投影到z軸的距離，這兩個投影都反映空間的y坐標，表示空間點到正投影面的距離：x=z=ya。顯然，點的投影規(guī)律和前面所講的三視圖的畫圖規(guī)則“長對正、高平齊、寬相等”是一致的。應用：（1）根據(jù)點的投影規(guī)律，可由點的三個坐標值x、y、z畫出其三面投

12、影圖。 （2）也可根據(jù)點的兩面投影圖作出第三投影圖。例題1：已知：a（20，10，35）求作：a點的第三面投影例題2：已知：點的兩面投影 求作：點的第三面投影例題3：已知a、b兩點的兩面的投影 求作：第三面投影并確定其相對位置解：xbxa，b點在左，a點在右zazb， a點在上，b點在下yayb， b點在后，a點在前總的結(jié)論：a點在b點的右前上方，b點在a點的左后下方。其它的例題自學。二、兩點的相對位置和重影點1兩點的相對位置根據(jù)相對于投影面的距離確定如圖211所示。（1）距離w面遠者在左，近者在右（根據(jù)v、h的投影分析）；（2）距離v面遠者在前，近者在后（根據(jù)h、w面的投影分析）；（3）距離

13、h面遠者在上，近者在下（根據(jù)v、w面的投影分析）圖211兩點的相對位置2重影點當兩點的某個坐標相同時，該兩點將處于同一投影線上，因而對某一投影面具有重合的投影，則這兩個點的坐標稱為對該投影面的重影點。在投影圖上，如果兩個點的投影重合，則對重合投影所在的投影面的距離（即對該投影面的坐標值）較大的那個點是可見的，而另一個點是不可見的，應將不可見的點用括弧括起來，如圖212中的（b）點的投影。如圖212所示，a、b兩點到v面、w面的距離相等，所以a、b兩點在h面投影重合，故稱a、b兩點為對h面的一對重影點，b點在h面的投影不可見。圖212重影點的投影§23直線的投影空間兩點確定一條空間直線

14、段，空間直線段的投影一般仍為直線，如圖213所示將直線ab向h面投影，因為線段上的任意兩點可以確定線段在空間的位置，所以直線段上兩端點a、b的同面投影a、b的連線就是線段在該面上的投影。圖213空間線段的投影一、直線段對于一個投影面的投影空間直線段對于一個投影面的位置有傾斜、平行、垂直三種。三種不同的位置具有不同的投影特性。1收縮性當直線段ab傾斜于投影面時，如圖214（a），它在該投影面上的投影長度比空間ab 線段縮短了，這種性質(zhì)稱為收縮性。2真實性當直線段ab平行于投影面時，它在該投影面上的投影與空間ab線段相等，這種性質(zhì)稱為真實性。如圖214（b）。3積聚性當直線段ab垂直于投影面時，它

15、在該投影面上的投影重合于一點，這種性質(zhì)稱為積聚性。如圖214（c）。圖214線段的投影特性二、直線段在三面投影體系中的投影特性圖215投影面的平行線空間線段因?qū)θ齻€投影面的相對位置不同，可分為三種：投影面的平行線，投影面的垂直線，投影面的一般位置直線（傾斜線）前面兩種稱為特殊位置直線，后一種稱為一般位置直線。1投影面的平行線平行于一個投影面，而對另兩個投影面傾斜的直線段，稱為投影面平行線。正平線平行于v面的直線段；水平線平行于h面的直線段；側(cè)平線平行于w面的直線段如圖215所示，列出了三種投影面的平行線的投影特點和性質(zhì)。以水平線為例：按照定義，它平行于h面，線上所有點與h面的距離都相同，這就決

16、定了它的投影特性是：（1）ab 的水平投影=ab ，即反映實長；（2）正面投影平行于ox軸，即ox軸；（3）側(cè)面投影平行于oyw軸，即oyw軸；（4）水平投影與ox 軸的夾角，反映該直線對v面的傾角；水平投影與oy軸的夾角，反映該直線對w面的傾角。其它二投影面平行線的分析同上。投影面平行線的投影特性概括為：如圖215所示，（1）在直線段所平行的投影面上的投影反映實長，且其投影與投軸的夾角反映直線與另兩投影面的傾角；（2）另兩投影面平行于相應的投影軸（構(gòu)成所平行的投影面的兩根軸）。投影面平行線的辨認：（1）當直線的投影有兩個平行于投影軸時；（2）第三投影與投影軸傾斜時，則該直線一定是投影面的平行

17、線，且一定平行于其投影為傾斜線的那個投影面。2投影面垂直線 垂直于一個投影面，即與另兩個投影面都平行的直線段，稱為投影面的垂直線。投影面垂直線有三種：鉛垂線直線h面；正垂線直線v面；側(cè)垂線直線w面。圖216列出了三種投影面垂直線的投影特點及性質(zhì)。投影面垂直線的投影特性概括為：（1）在所垂直的投影面貌上的投影積聚為一點；（2）在另外兩個投影面上的投影，垂直于相應的投影軸，且反反應直線段的實長。如何判斷投影面的垂直線？根據(jù)投影面垂直線的投影特性來判斷即可。圖216垂直線3一般位置直線由直線段對一個投影面的投影特性可知，當直線傾斜于投影面時，它在投影面上的投影的長度比空間線段的長度縮短了，具有收縮性

18、，如圖217所示。此特性對于在三面投影體系中的傾斜（一般位置）線段同樣適用，因而，同理可得在三面投影體系中它的投影特性為：（1）三個投影都是一般傾斜線段，且都小于線段的實長；（2）三面投影都與投影軸傾斜，投影與投影軸的夾角，均不反應直線段對投影面的傾角。圖217一般位置直線的投影判斷：若直線段的投影與三個投影軸都傾斜，可判斷該直線為一般位置直線。三、求一般位置直線的實長及對投影面的傾角一般位置直線的投影不能反應其時常及其對投影面的傾角，因此，若求其時常及其對投影面的傾角時有兩種方法：一是利用直角三角形法，二是利用換面法。1利用三角形法求直線段的實長及與投影面的傾角如書中圖218（a）中，在由直

19、線ab及其對h面的投影線所形成的平面abba上的直角三角形abc中可知，其兩直角邊分別為：ac=ab、bc=zbza，r而斜邊ab即為實長，該直線對h面的傾角bac=，而b、a點的高度民主坐標差，可從、中得到。由此，通過一般的幾何作圖便可得到如圖218（c）或（d）所示，求直線段的實長及對投影面傾角了。作圖方法：（1）以水平投影ab為一直角邊，以正投影的坐標為另一直角邊（zbza），作一直角三角形，該直角三角形可以畫在原投影之外，也可以畫在原投影之內(nèi)。（2）三角形的斜邊即為實長，斜邊（實長）與水平投影的夾角即為。用同樣的方法，即可求出角和角：=zbzc（za） =yayd（yb） =xaxe（

20、xb） (a) (b) (c) (d)圖218直角三角形法求空間直線段的實長和傾角四、直線上點的投影從圖219（a）可以看出，點在直線實長的幾何條件及投影特性：1直線上點的投影必定在該直線的同面投影上。k點的投影、分別在、上。2同一直線上兩線段長度之比等于其投影長度之比。由于對同一投影面面的投影面線互相平行，因此：= 。由直線有積聚性的投影面特性可知：（1）如果點在已知直線上，則根據(jù)點的一個投影面（頭版頭條面垂直線有積聚性的投影面除外），求出它的另外兩個投影面，如上圖（c）所示；（2）也可通過作第三面投影的方法求得；（3）也可如圖所示，通過a作一輔助線，在該線上量?。簅=，oo=，然后連接bo

21、b，并通過o作obob交于ab上的k點，即為所求。 （a） （b） （c）圖219直線上點的投影五、兩直線的相對位置圖220兩直線的相對位置1平行兩直線（1）平行兩直線的所有同面投影面都互相平行；（2）反之若兩直線的同面投影均互相平行，則空間兩直線必定互相平行；（3）判定方法：（a）一般情況下，只要看他們的兩個同面投影是否平行就可以了； （b）特殊情況，當兩直線為某一投影面平行線時，則需根據(jù)他們在所平行的那個投影面上的是否平行才能判定。2相交兩直線（1）若空間兩直線相交，則它們的所有同面投影都相交，且各同面投影的交點之間的關(guān)系符合點的的規(guī)律。這是因為交點是兩直線的共有點，如圖220所示；（2）

22、反之，若兩直線的各同面投影都相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律，則該兩直線必相交；（3）特殊情況：當直線為某一投影面平行線時，它們是否相交需進一步判斷之。通常有兩種方法：（a）用定比方法判定；（b）用兩條直線的第三投影來判定。3交叉兩直線如圖220，交叉兩直線的同面投影可能相交，但各投影的交點不符合點的投影規(guī)律。交叉兩直線上對該投影面的一對重影點的投影。可用它來判斷這兩直線的相對位置。4直角投影定理（1）定理：a）空間兩條互相垂直的直線，如果其中一條為某一投影面的平行線，則它們在該投影面上的投影仍互相垂直； b）逆定理也成立； c）垂直交叉的兩直線仍具有上述特性。（2）定理的應用：（p22）&

23、#167;24 平面的投影由初等幾何學可知，不在一條直線上的三點、一條直線和線外一點、兩平行直線、兩相交直線可決定一平面；在投影圖上可利用幾何元素來表示平面。但是形體上任何一個平面圖形都有一定的形狀、大小和位置。從形狀上看，常見的平面圖形有三角形、矩形、正多邊形等直線輪廓的平面圖形。平面的表示方法1不在一條直線上的三點； 2一條直線和線外一點；3兩平行直線；4兩相交直線；5任意一平面圖形。圖221幾何元素表示平面平面形在三面投影體系中的特性平面形的投影一般仍為平面形，特殊情況下為一條直線。平面形投影的作圖方法是將圖形輪廓線上的一系列點（多邊形則是其頂點）向投影面投影，即得平面形投影。三角形是最

24、簡單的平面形，如圖225所示，將abc三頂點向三投影面進行投影的直觀圖和三面投影圖。其各投影即為三角形之各頂點的同面投影的連線。其它多邊形的作法與此類似。又此可見，唨平面形的投影，實質(zhì)上仍是以點的投影為基礎而得的投影。圖222一般位置平面的投影圖223投影面平行面的投影特性平面形在三面投影體系中的位置可分為三種：1一般位置平面對于三個投影面都傾斜平面 對三個投影面都傾斜的平面，稱為一般位置平面，如圖圖222所示。一般位置的三角形平面的投影情況，由于它對三個投影面都傾斜，所以三個投影仍為三角形，且不反映實形，都比實形縮小了。由此得到一般位置平面的投影特性：（1）類似性在三個投影面上的投影均為相仿

25、的平面圖形，且形狀縮小；（2）判斷平面的三面投影都是類似的幾何圖形，該平面一定是一般位置平面。2投影面平行面平行于一個投影面的平面平行于一個投影面也即同時垂直于其它兩個投影面的平面，稱為投影面平行面。如圖223所示，投影面平行面有三種：水平面（h面）、正平面（v面）、側(cè)平面（w面）。三種投影面平行面的投影特征：（1）真實性如平面用平面形表示，則在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的實形；（2）積聚性在另外兩個投影面上的投影為直線段（有積聚性）且平行于相應的投影軸；（3）判斷若在平面形的投影中，同時有兩個投影分別積聚成平行于投影軸的直線，而只有一個投影為平面形，則此平面平行于該投影所在的那個投

26、影面。該平面形投影反映該空間平面形的實形。1 投影面垂直面垂直于一個投影面的平面圖224投影面垂直面的投影特性僅垂直于一個投影面，而與另外兩個投影面傾斜的平面，稱為投影面垂直面。如圖224所示。投影面垂直面有三種：鉛錘面（h面）、正垂面（v面）、側(cè)垂面（w面）。三種投影面垂直面的投影特征：（1）積聚性在其所垂直的投影面上的投影為傾斜直線段，該傾斜直線段與投影軸的夾角，反映該平面對相應投影面的傾角；（2）相仿性若平面用平面形表示，則在另外兩個投影面上的投影仍為平面形，但不是實形；（3）判斷若平面形在某一投影面上的投影積聚成一條傾斜于投影軸的直線段，則此平面垂直于積聚投影所在的投影面。平面內(nèi)的直線

27、和點§25 換面法一、 換面法概述當直線或平面相對于投影面處于特殊位置（平行、垂直）時，它們的投影反映線段的實長、平面的實形及其與頭面的傾角。當直線或平面和投影面處于一般位置時，則它們的投影不具備上述特性。換面法的目的，就在于將直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以便于解決它們的度量和定位問題。1換面法的基本概念換面法就是保持空間幾何元素不動，用一個新的投影面替換其中一個原來的投影面，使新投影面對于空間幾何元素處于有利于解題的位置。然后找出其在新投影面上的投影。2新投影面的選擇原則（1）新投影面必須和空間的幾何元素處于有利于解題的位置；（2）新投影面必須垂直于一個原有

28、的投影面；（3）在新建立的投影體系中仍然采用正投影法。二、 點的換面點是一切幾何元素的基本元素。因此在研究換面時，首先從點的投影變換來研究換面法的投影規(guī)律。1點的一次換面 （1）換v面圖2-25（a）表示點a在原投影體系v/h中，其投影為和現(xiàn)令h面不動，用新投影面v1來代替v面，v1面必須垂直于不動的h面，這樣便形成新的投影體系v1/h，o1x1是新投影軸。過點a向v1面作垂線，得到v1面上的新投影，點是新投影，點是舊投影，點是新、舊投影體系中的共有的不變投影。和是新的投影體系中的兩個投影，將v1面繞o1x1軸旋轉(zhuǎn)到與h面重合的位置時，就得到圖2-25（b）所示的投影圖。由于在 （a） （b）

29、 （c）圖2-25點的一次變換（換v面）新投影體系中，仍采用正投影方法，又在v/h投影體系和v1/h體系中，具有公共的h面，所以點到h面的距離（z坐標）在兩個題詞體系中是相等的。所以有如下關(guān)系：o1x1軸；=a，即：換v面時z坐標不變。由此得出點的投影變換規(guī)律是：點的新投影和不便投影的連線，必垂直于新投影軸；點的新投影到新投影軸（o1x1）的距離等于被替換的點的舊投影到舊投影軸（ox）的距離，也即換v面時高度坐標不變。換v面的作圖方法和步驟如圖2-25（c）所示：在被保留的h投影附近（適當?shù)奈恢茫┳鱫1x1軸；由h投影向新投影軸o1x1作垂線，在此垂線上量取=，點即為所求。（2）換h面換h面時

30、，新就投影之間的關(guān)系與換v面類似，也存在如下關(guān)系：o1x1軸；=a，換h面是y坐標不變。其作圖方法和步驟與換v面類似2-25（c），可依此類推，此略。2點的二次換面由于應用換面法解決實際問題時，有時一次換面還不便于解題，有時還需要二次或多次變換投影面。如圖3-27表示點的二次換面，其求點的新投影的作圖方法和原理與一次換面相同。但要注意：在更換投影面時，不能一次更換兩個投影面，為在換面過程中二投影面保持垂直，必須在更換一個之后，在新的投影體系中交替地再更換另一個。如2-26（a）所示，先由h1代替h面，構(gòu)成新的投影體系v/h1，o1x1為新坐標軸；再以這個新投影體系為基礎，以v2面代替v面，又構(gòu)

31、成新的投影體系v2/h1，o2x2為新坐標軸。二次換面的作圖步驟如圖2-26（b）所示：（1）先換h面，以h1面替換h面，建立v/h1新投影體系，得新投影，而=a，作圖方法與點的一次換面完全相同；（2）再換v面，以v2面替換v面，建立v2/h1新投影體系，得新投影，而=a，作圖方法與點的一次換面類似。 （1） （2）圖2-26點的二次換面注：根據(jù)實際需要也可以先換v 面，后換h 面，但兩次或多次換面應該是v 面和h 面交替更換，如：。三、幾個基本作圖問題1將一般位置直線變換為投影面的平行線如圖2-27（a）為把一般位置直線ab變換為投影面平行線的情況。用v1面代替v面，使v1面ab并垂直于h面

32、。此時，ab在新投影體系v1/h中為正平線。圖2-27（b）為投影圖。作圖時，先在適當位置畫出與不變投影平行的新投影軸o1x1（o1x1），然后根據(jù)點的投影變換規(guī)律和作圖方法，求出a、b兩點在新投影面v1上的新投影、，再連接直線。則反應線段ab的實長，即=ab，并且新投影和新投影軸（o1x1軸）的夾角即為直線ab對h面的傾角，如圖2-27（b）。如圖2-27（c）所示若求線段ab的實長和與v面的傾角，應將直線ab 變換成水平線（abh1面）也即應該換h面，建立v/h1新投影體系，基本原理和作圖方法同上。 （a） （b） （c）圖2-27將一般位置直線變換為投影面平行線2將投影面的平行線變換為投

33、影面垂直線 將投影面平行線變換為投影面的垂直線，是為了使直線積聚成一個點，從而解決與直線有關(guān)部門的度量問題（如求兩直線間的距離）和空間文質(zhì)彬彬問題（如求線段面交點）。應該選擇哪一個投影面進行變換，要根據(jù)給出的直線的位置而定。即選擇一個與已知平行線垂直的新投影面進行變換，使該直線在新投影體系中成為垂直線。如圖2-28（a）表示將水平線ab變換為新投影面的垂直線的情況。圖2-28（b）表示投影圖的作法：因所選的新投影面垂直于ab，而ab為水平線，所以新投影面一定垂直于h面，故應換v面，用新投影體系v1/h更換舊投影體系v/h，其中o1x1。 （a） （b）圖2-28將投影面的平行線變換為投影面垂直

34、線3將一般位置直線變換為投影面垂直線（需要二次換面）如果要將一般位置直線變換為投影面垂直線，必須變換兩次投影面。先將一般位置直線變換為投影面的平行線，然后再將該投影面平行線變換為投影面垂直線。如圖2-29所示，先換v面，使直線ab在新投影體系v1/h中成為正平線，然后再換h面，使直線ab在新投影體系v1/h2中成為鉛垂線。其作圖方法詳見圖2-29（b），其中o1x1，o2x2。 （a） （b）圖2-29直線的二次換面4將一般位置平面變換為投影面垂直面（求傾角問題）將一般位置平面變換為投影面垂直面，只需使平面內(nèi)的任一條直線垂直于新的投影面。我們知道要將一般位置直線變換為投影面的垂直線，必須經(jīng)過兩

35、次變換，而將投影面平行線變換為投影面垂直線只需要一次變換。因此，在平面內(nèi)不取一般位置直線，而是取一條投影面的平行線為輔助線，再取與輔助線垂直的平面為新投影面，則平面也就和新投影面垂直了。如圖2-30表示將一般位置平面abc變換為新投影體系中的正平線段的情況。由于新投影面v1既要垂直于abc平面，又要垂直于原有投影面h面，因此，它必須垂直于abc平面內(nèi)的水平線。作圖步驟（如圖2-30（b）：（1）在abc平面內(nèi)作一條水平線ad線作為輔助線及其投影、；（2）作o1x1；（3）求出abc在新投影面v1面上的投影、，、 三點連線必積聚為一條直線，即為所求。而該直線與新投影軸的夾角即為該一般位置平面ab

36、c與h面的傾角。同理，也可以將abc平面變換為新投影體系v/h1中的鉛垂面，并同時求出一般位置平面abc與v面的傾角。 （a） （b） （c） 圖2-30平面的一次換面（求傾角）5將投影面的垂直面變換為投影面平行面（求實形問題）如圖表示將鉛垂面abc變?yōu)橥队懊嫫叫忻妫ㄇ髮嵭危┑那闆r。由于新投影面平行于abc，因此它必定垂直于投影面h，并與h 面組成v1/h新投影體系。abc在新投影體系中是正平面。圖2-30（b）為它的投影圖。作圖步驟（如圖2-31（b）：（1）在適當位置作o1x1；（2）求出abc在h1面的投影、，連接此三點，得即為abc的實形。 （a） （b）圖2-31將投影面的垂直面變換

37、為投影面平行面6將一般位置平面變換為投影面平行面（二次換面）要將一般位置平面變換為投影面平行面，必須經(jīng)過兩次換面。因為如果取新投影面平行于一般位置平面，則這個投影面也一定是一般位置平面，它和原體系v/h中的哪個投影面都不垂直而無法構(gòu)成新投影體系。因此，一般位置平面變換為投影面平行面，必須經(jīng)過兩次換面。如圖2-32（a）所示，先換v面，其變換順序為xx1x2，在h2面上得到=abc，即是abc的實形；如圖2-32（b）所示，先換h面，其變換順序為xx1x2，在v2面上得到=abc，即是abc的實形。 （a） （b）圖2-32平面的二次換面四、 應用舉例1. 點到平面的距離確定點到平面的距離，只要

38、把已知的平面變換成垂直面，點到平面的實際距離就可反映在投影圖上了。圖2-33，用變換v 面的方法，確定點d到abc的距離，作圖步驟如下：（1）由于abc中的ac為水平線，故直接取新軸o1x1；（2）再作出d面和abc的新投影和（為一直線）；（3）過點向直線作垂線，得垂足的新投影，投影之長即為所求的距離。 圖2-33點到平面的距離2. 點到直線的距離及其投影例 如圖2-34（a）所示：已知線段ab和線外一點c的兩個投影，求點c到直線ab的距離，并作出c點對ab 的垂線的投影。分析：要使新投影直接反映c點到直線ab的距離，過c點對直線ab的垂線必須平行于新投影面。即直線ab 或垂直于新的投影面，或

39、與點c所決定的平面平行于新投影面。要將一般位置直線變?yōu)橥队懊娴拇怪本€，必須經(jīng)過二次換面，因為垂直一般位置直線的平面不可能又垂直于投影面。因此要先將一般位置直線變換為投影面的平行線，再由投影面平行線變換為投影面的垂直線。作圖步驟：（1）求c點到直線ab的距離。在圖2-34（b）中先將直線ab變換為投影面的正平線（v1面），再將正平線變換為鉛垂線（h2面），c點的投影也隨著變換過去，線段即等于c點到直線ab 的距離；（2）作出c點對直線ab的垂線的舊投影。如圖2-34（c），由于直線ab的垂線ck在新投影體系v1h2中平行于h2面，因此ck在v1面上的投影o2x2軸，而與。據(jù)此，過點作o2x2軸的

40、平行線，就可得到點，利用直線上點的投影規(guī)律，由點返回去，在直線ab 的相應投影上，先后求得垂足k點的兩個舊投影點和點，連接、。、即為c點對直線ab的垂線的舊投影。 （a） （b） 圖2-34求點到直線的距離及其投影3. 兩交叉直線之間的距離兩交叉直線之間的距離，應該用它們的公垂線來度量。分析：（1）當兩交叉直線中有一條直線是某一投影面的垂直線時，不必換面即可直接求出兩交叉直線之間的距離；（2）當兩交叉直線中有一條直線是某一投影面的平行線段時，只需要一次換面即可求出兩交叉直線之間的距離；（3）當當兩交叉直線都是一般位置直線時，則需要進行二次換面才能求出兩交叉直線之間的距離。例 如圖2-35所示：

41、已知兩條交叉直線ab、cd，求兩直線間的距離。 作圖方法和步驟：（1）因為ab、cd兩直線在v/h體系中均為一般位置直線，所以需要二次換面。先用v1面代替v面，使v1面ab，同時v1h面。此時ab在新投影體系v1/h中為新投影面的平行線。在新投影體系中求出ac、cd的新投影、；（2）在適當?shù)奈恢靡峦队拜So2x2，用h2代替h面，使h2面， 圖2-35兩交叉直線之間的距離§26基本形體的視圖及尺寸標注各種機械設備及其零件，雖然形狀結(jié)構(gòu)各異，一般都可看作由若干個基本幾何形體組成的組合體；而任何基本形體又都可以看作是由一個或若干個面圍成的。根據(jù)這些表面性質(zhì)，幾何體可分為兩類：平面立體由若

42、干個平面圍成的幾何體，如棱柱、棱錐體等；曲面立體由曲面或曲面與平面形所圍成的幾何體，最常見的是回轉(zhuǎn)體，如圓柱、圓錐、圓臺、圓球、圓環(huán)等。一、平面立體的投影平面立體主要有棱柱、棱錐等，在投影圖上表示立體就是把組成立體的平面和棱線表示出來，然后判斷其可見性?？吹靡姷睦饩€投影畫成粗實線，看不見的棱線的投影畫成細實線。1棱柱在一個平面立體中，若各棱面互相平行，則該平面立體稱為棱柱，如圖236所示為一正四棱柱，它由四個棱面、頂面和底面組成。（1）分析投影其頂面和底面為水平面，該兩面的水平投影反映實形；正面、側(cè)面投影分別積聚成直線；棱柱的前、后棱面為正平面，該兩面的投影反映實形，水平面、側(cè)平面投影積聚成直

43、線；棱柱的左、右兩棱面為側(cè)平面，該兩面的側(cè)面投影反映實形，水平面、正平面積聚成直線。棱線ec、fd為鉛錘線，水平投影積聚成一點c（e）、d（f），正面投影、側(cè)面投影反映實長 ，即：=ce，=df，其它各棱線的投影分別與此類似。畫圖時，應先畫出三個視圖的中心線作為投影圖的基準線，先畫出反映實形的那個投影圖（注意放高位置），再根據(jù)投影規(guī)律畫出其他兩個投影。畫完底稿后一般應檢查各投影圖是否符合點、直線、平面形的投影規(guī)律，最后擦去不必要的作圖線，加深需要的各種圖線，使其符合國家標準，如圖236。圖236四柱的投影、三視圖及表面求點（2）棱柱表面上求點立體表面上的點，其投影一定位于立體表面的同面投影上。

44、例題1：已知cdef棱面上b點的正面投影，求：它的水平投影和側(cè)面投影。解：cdef為鉛錘面，其水平投影具有積聚性，點b的水平投影必在這條直線上，然后由和求出。注意：點的可見性的識別。2棱錐三棱錐是一個三角形底面和三個三角形棱面的四面體，如圖237所示，就是這種錐體的立體圖和按箭頭方向投影所得的三視圖。圖237三棱錐及其視圖（1）投影分析按照圖中所示的位置，三棱錐的三個三角形棱面都是一般位置平面，因此，它們的投影都不反映其真實形狀和大小，但都是小于對應棱面的三角形線框。三個棱面既然都是一般位置平面，它們的交線即三棱錐的棱線自然也是一般位置直線，它們的都不積聚成點，而是小于實際長度的傾斜直線。（2

45、）棱錐表面上求點組成棱錐的表面有特殊平面，也有一般位置平面；特殊位置平面上點的投影可利用平面積聚性作圖；一般位置平面上點的投影可選取適當?shù)妮o助線作圖，稱為輔助線法。其依據(jù)是：在平面上的點，必然在平面上且通過該點的一條直線上。圖2-38棱錐表面上求點例題2：已知：（如上圖）棱面asb上點m的正面投影和棱面asc上的n點的水平投影， 求：這兩點的另外兩個投影。 解：棱面asb是一般位置平面，過頂點s及m作一輔助線s，通過s的水平投影2可求出m的水平投影，再根據(jù)和求出；還可過m點在棱面asb上作ab的平行線im，即作，再作，求出，并從，求出，如上圖（b）；棱面asc是側(cè)垂面，其側(cè)投影具有積聚性，故（

46、）必與重影，由和即可求得（）。注意asc是后側(cè)棱面，該面上的點（不含棱線上的點）是正投影不可見。棱錐表面上取線：方法1，作輔助線；方法2，直接延長已知線的投使與棱線相交，后求之。二、曲面立體的投影常見的曲面立體主要有圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)、圓臺等，在投影圖上表示曲面立體，就是把組成立體的曲面或平面和曲面表示出來，然后判斷其可見性。1圓柱圓柱表示由圓柱面和頂、底圓形平面所組成，圓柱面可看成是一條直線aa1繞與它平行的固定軸oo1回轉(zhuǎn)形成的曲面。直線oo1稱為回轉(zhuǎn)軸，直線aa1稱為母線，aa1回轉(zhuǎn)到任何一個位置稱為素線，如圖239所示。（1）圓柱的投影及特性圓柱的軸線h面，上、下底面為水平面貌，其

47、水平投影面上的投影反映實形，其正面和側(cè)面投影積聚成一直線，圓柱面的水平投影也積聚為一個圓，外形輪廓的投影（即為圓柱面可見與不可見分界線的投影）。入正面上投影為最左、最右兩條素線aa1、bb1的投影、；側(cè)面上投為最前和最后兩條素線投影和。作圖時：首先畫出中心線和軸線； 然后畫出投影是圓的那個投影面的投影； 再畫出其它兩個投影面的投影。如圖239圓柱的形成和投影如圖239所示，當圓柱的軸線垂直于某個投影面時，必有一個投影是圓，另兩個投影圖為全等的矩形。（2）圓柱表面上求點如圖239中的p點k點。已知：其在v面投影和，均為可見，（如圖239中的點點）。求：另外兩個投影。解：由于點位于圓柱面的最左邊界

48、母線上，其另外兩投影、可直接求出，而點不在圓柱面的界限母線上，可利用圓柱面有積聚性的h投影先求出點k的水平投影，再由和求出，并判斷可見性。2圓錐圓錐表面由圓錐面和底面所組成，圓錐面可看成一直線繞與它相交的固定軸oo1回轉(zhuǎn)而形成的曲面。sa為母線，sa在圓錐面的任意位置即是它的素線，如圖240所示。 圖240圓錐的形成和投影（1）圓錐的投影特性 如圖240，圓錐軸線h面，底面圓為水平面，它的水平投影反映實形，其正面、側(cè)面投影均積聚成一條水平線。在正、側(cè)兩面投影中還要分別畫出錐面外形輪廓線的投影，在正面投影上為最左、最右兩條素線sa、sb的投影、，在側(cè)面投上為最前、最后兩條素線sc、sd的投影、。

49、作圖：首先畫出中心線和軸線， 然后畫出投影是圓的那個投影面的投影，再畫出錐頂s的三面投影，最后分別畫出其外形輪廓素線的投影，即得圓錐的投影圖，如圖232所示。特征：當圓錐軸線某一個投影面時，在該投影面上的投影為一個與底圓相等的圓形；另兩個投影必為全等的等腰三角形；其底邊為底圓的直徑投影（活說水平面積聚為一直線）；其兩腰即為輪廓素線的投影；其頂點即為錐頂?shù)耐队啊?2) 圓錐表面上求點已知：如圖240，m、k為錐面上的兩個點，m、k在v 面上的投影、，求：其它二個投影解：求m點，m點為特殊位置點（在界限母線上），它的作圖簡單，可直接利用投影關(guān)系求出。求k點，k點是一般位置的點，求它可利用兩種方法：

50、方法1： 過點k及錐頂s作錐面上的母線se，即先過作由求出、，連接、，它們的輔助線se點h、w面投影，而點k的h、w面投影必在se的同面投影上，從而求出、。 方法2：過點kl 錐面上作一輔助圓，該圓與圓錐的軸線，稱此圓為緯線。點k的投影必在緯線上。其作圖步驟是，先過k作水平線，它是緯線的水平投影（圓心與s點重合、半徑為r），由點向下引垂線與緯線圓的交點，再由、求。然后判斷可敬否，即為所求。（2）圓球三、基本幾何形體的尺寸標注視圖表達了物體的形狀，而形體的真實大小，是由圖樣上縮標注的尺寸決定的，任何物體都有長、寬、高三個方向的尺寸，在視圖上標注基本幾何形體的尺寸時，應將三個方向的尺寸標注齊全，但

51、每個尺寸只標注一次，應注在相關(guān)視圖之間。1平面立體尺寸標注 （a） （b） 圖2-41平面立體尺寸標注2曲面立體尺寸標注 圖2-42曲面立體尺寸標注常見不完整基本形體的三視圖構(gòu)成零件的基本形體，有時不是完整的棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等，常常是被切去一部分。畫這樣不完整的基本形體的三視圖時，一般應先按完整形體畫出它的投影，然后再確定切割部分的形狀和位置，利用三視圖的投影關(guān)系及平面、直線的投影特性進行分析畫出三視圖。例1：畫出開槽四棱柱的三視圖分析：四棱柱的上部分用三個平面切去一部分，因此作圖時，可先畫出完整四棱柱的三視圖和開槽的主視圖，然后根據(jù)槽底是水平面，兩側(cè)是側(cè)平面的性質(zhì)，分別畫出開槽的俯

52、、左視圖。作圖過程：如圖243所示，在圖中的俯視圖，由于通槽兩側(cè)面投影積聚為兩條直線段，把正四邊形分成三個閉合的線框，當中的一個反映槽底實形；在左視圖中，由于通槽處前后棱被切去，左視圖的外形不完整，槽底的側(cè)面投影積聚為一直線，其中一段不可見用虛線表示。圖243畫四棱柱開槽三視圖例2：圓柱被平行于其軸線的截平面截割時的三視圖分析：當圓柱被平行于其軸線的截平面截割時，所得切口是矩形。例3：圓柱被兩個平行于其軸線的截平面截割時的三視圖作圖方法：接頭形狀為在圓柱左端前、后對稱切去兩塊之后而形成扁頭，每個切口由互相垂直的兩個平面切成，平行軸線截切成矩形，垂直軸線截切成弓形（圓的一部分）前后切口都由矩形和弓形組成，其作圖步驟如圖244所示。圖244接頭的三視圖例4：畫出球體缺口的三視圖（1）平面截切球：平面截切球，其切口為正圓形，如圖245所示。其切口的水平投影是球水平投影的同心圓并反