函數(shù)微分法及其應(yīng)用PPT課件

1、1.實例分析 例例 1 1 設(shè)矩形的邊長分別設(shè)矩形的邊長分別 x和和 y，則矩形的面則矩形的面積積 S為為 xyS . 在此，當在此，當 x和和 y每取定一組值時，就有一確定的面每取定一組值時，就有一確定的面積值積值S即即S依賴于依賴于 x和和 y的變化而變化的變化而變化 例例 2 2 具有一定質(zhì)量的理想氣體，其體積為具有一定質(zhì)量的理想氣體，其體積為 V，壓強，壓強為為 P，熱力學溫度，熱力學溫度 T 之間具有下面依賴關(guān)系之間具有下面依賴關(guān)系VRTP （R是常數(shù)）是常數(shù)）. 在這一問題中有三個變量在這一問題中有三個變量 P，V，T，當，當 V 和和 T 每取每取定為一組值時，按照上面的關(guān)系，就

2、有一確定的壓強定為一組值時，按照上面的關(guān)系，就有一確定的壓強 P 一、多元函數(shù)一、多元函數(shù)第1頁/共58頁定義1 ：設(shè)在某一過程中有三個變量 x , y 和 z，如果對于 變量 x , y 在其變化范圍 D 內(nèi)的每一對值 ( x , y )， 按照法則 f 有唯一確定的值 z R 與之對應(yīng)， 那么這種法則就規(guī)定了一個函數(shù)： 其中 x ，y 稱為自變量自變量，z 稱為因變量因變量， D為定義域。定義域。 D中任一對數(shù)中任一對數(shù) ( x , y )在法則在法則 f 下的對應(yīng)值下的對應(yīng)值 z ，稱為，稱為 f 在在 點點( x , y )的函數(shù)值，記作的函數(shù)值，記作 z = f ( x , y )

3、。),(),(:yxfzyxRDf 多元函數(shù)的概念第2頁/共58頁函數(shù) f 的函數(shù)值的全體稱為函數(shù) f 的值域。DyxyxfzzDf),(),()(函數(shù)的函數(shù)的兩個要素兩個要素: :定義域，對應(yīng)法則定義域，對應(yīng)法則第3頁/共58頁二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面. .第4頁/共58頁xyzsin 例如例如, ,圖形如右圖圖形如右圖. .2222azyx 例如例如, ,右圖球面右圖球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: :xyzo第5頁/共58頁一、多元函數(shù)極限一、多元函數(shù)極限第6頁/共58頁注意：注意： 是指是指 P 以

4、任何以任何方式趨于方式趨于P0 .0PP ,)(lim0Axfxx,)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx 一一元元中中多多元元中中,),(lim0AyxfPP. )() ( 0PPAxf以某種方式趨于以某種方式趨于Axfyyxx )(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px軸軸沿平行沿平行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py軸軸沿平行沿平行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx ),(lim0000)(yxxky 第7頁/共58頁(1) (1) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趨向于趨向于),(000yxP， 若極限值與若極限值與k有關(guān)，

5、則可斷言極限不存在；有關(guān)，則可斷言極限不存在； (2) (2) 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 兩者不相等，此時也可斷言兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxP 處極限不存在處極限不存在 確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：第8頁/共58頁二、多元函數(shù)連續(xù)二、多元函數(shù)連續(xù)第9頁/共58頁定義3：設(shè)函數(shù) z = f ( x , y )在點 及其附近有定義 如果 ，就稱函數(shù) f ( x , y )在點 連續(xù)。如果 f ( x , y )在區(qū)域 D 的 每一點都連續(xù)，就稱 f ( x , y ) 在區(qū)域 D 連

6、續(xù)。 ),(000yxP),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx0P第10頁/共58頁(1) 函數(shù)函數(shù)),(yxf在在),(000yxP點有定義；點有定義； (2) ),(lim00yxfyyxx存在；存在； (3) ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 。 則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxf在點在點),(000yxP連續(xù)連續(xù). . 滿足以下條件：滿足以下條件：第11頁/共58頁多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四 則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表 示

7、的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的在在定義域內(nèi)的定義域內(nèi)的連續(xù)點求極限可用連續(xù)點求極限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定義區(qū)域定義區(qū)域 PPfPfPP第12頁/共58頁例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim00第13頁/共58頁引例引例 一定量的理想氣體的壓強一定量的理想氣體的壓強 P，體積，體積 V，熱力學，熱力學溫度溫度 T 三者之間的關(guān)系為三者之間的關(guān)系為 VRTP ( (R 為常量

8、為常量) ). . 當溫度不變時（等溫過程） ，壓強當溫度不變時（等溫過程） ，壓強 P 關(guān)于體積關(guān)于體積 V 的變的變變變化率就是化率就是 2ddVRTVPT常數(shù)常數(shù), , 這種形式的變化率稱為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)這種形式的變化率稱為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 一、一、 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 第二節(jié) 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)第14頁/共58頁在二元函數(shù)在二元函數(shù) z = f (x, y)中中, 有兩個自變量有兩個自變量 x, y, 但但若固定其中一個自變量若固定其中一個自變量, 比如比如, 令令y = y0, 而讓而讓 x 變化變化.則 z 成為一元函數(shù) z = f (x, y0), 我們可用討論一元函數(shù)的方法來討論它的

9、導(dǎo)數(shù), 稱為偏導(dǎo)數(shù).一、偏導(dǎo)數(shù)的定義一、偏導(dǎo)數(shù)的定義第15頁/共58頁.),(),(limlim000000存在如果極限xyxfyxxfxzxxx則稱這個極限值為 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù). ),( 00yxfx記作即xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000此時也稱 f (x, y)在(x0, y0) 處對x 的偏導(dǎo)數(shù)存在. 否則稱f (x, y)在(x0, y0) 處對x的偏導(dǎo)數(shù)不存在. ,00yyxxxzxyxfxfyyxx),( 0000或第16頁/共58頁類似類似, 若固若固定定 x = x0, 而讓而讓 y 變變, z

10、 = f (x0, y)成成為為 y 的一元函數(shù)的一元函數(shù).),(),(limlim000000存在若極限yyxfyyxfyzyyy則稱它為z = f (x, y) 在 (x0, y0) 處對 y 的偏導(dǎo)數(shù).yyxfyfyzyxfyyyxxyyxxy),( , ),( 00000000或記作即yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000第17頁/共58頁定義：設(shè)函數(shù) z = f ( x , y ) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義。 固定 ，給 x 增量 ，相應(yīng)的函數(shù) z 有增量 ，稱為 z 關(guān)于 x 的偏增量。如果極限 存在，就稱其為函數(shù) f ( x , y )在點 處對 x 的

11、偏導(dǎo)數(shù)，記作),(00yx),(00yx0yy x),(),(0000yxfyxxfzxxyxfyxxfxzxxx),(),(limlim000000),(,00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx第18頁/共58頁函數(shù) f ( x , y ) 在點 處對 y 的偏導(dǎo)數(shù)，記作),(,00000000yxfzyfyzyyyxxyyyxxyyxxyyxfyyxfy),(),(lim00000),(00yx第19頁/共58頁若若 z = f (x, y) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)每一點內(nèi)每一點 (x, y) 處時處時x的的偏導(dǎo)數(shù)都存在偏導(dǎo)數(shù)都存在, 即即 (x, y) D, xyxf

12、yxxfx),(),(lim0存在.此時此時, 它是它是 x, y的二元函數(shù)的二元函數(shù). 稱為稱為 z 對對 x 的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)函數(shù)函數(shù). 簡稱偏導(dǎo)數(shù)簡稱偏導(dǎo)數(shù).記作記作 ( , ), xzfx yx類似定義 z 對 y 的偏導(dǎo)函數(shù).xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),( 0即第20頁/共58頁1.由偏導(dǎo)數(shù)定義知由偏導(dǎo)數(shù)定義知, 所謂所謂 f (x, y) 對對x 的偏的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 就是將就是將 y 看作常數(shù)看作常數(shù), 將將 f (x, y) 看作一元看作一元函數(shù)來定義的函數(shù)來定義的. 注因此,在實際計算時, 求 f x (x, y)時, 只須將 y 看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求

13、即可.求 f y (x, y)時, 只須將 x 看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.第21頁/共58頁2. f x (x0, y0) 就是就是 f x (x, y), 在點在點(x0, y0)的值的值. 算 f x (x0, y0) 可用3種方法.f y (x0, y0)f y (x, y)f y (x0, y0)(1) 用定義算.(2) 先算 f x (x, y), 再算 f x (x0, y0) f y (x, y),f y (x0, y0).第22頁/共58頁例1.)2 , 1 (322處的偏導(dǎo)數(shù)在求yxyxz解:. 862 ,3221yxxzyxxz從而. 743 ,2321yxyzy

14、xyz從而第23頁/共58頁例2.2sin2的偏導(dǎo)數(shù)求yxz 解:,2sin2yxxz22cos2yxyzyx2cos22第24頁/共58頁例4. 222的偏導(dǎo)數(shù)求zyxu解:22222 zyxxuxux22222 zyxyuyuy22222 zyxzuzuz第25頁/共58頁在一元函數(shù)中在一元函數(shù)中, 可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù), 但對多元函數(shù)但對多元函數(shù)不適用不適用.即即, 對多元函數(shù)對多元函數(shù) f (x,y)而言而言, 即使它在即使它在 (x0， y0 )的對各個自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在的對各個自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 也也不不能保證能保證 f (x,y)在在 (x0， y0 ) 連續(xù)連續(xù).三、偏導(dǎo)

15、與連續(xù)的關(guān)系三、偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系第26頁/共58頁兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在的二元函數(shù)未必連續(xù)兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在的二元函數(shù)未必連續(xù)偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：第27頁/共58頁例. ),(yxfz,),( , 1軸上時軸或不在當yxyx,),( , 0軸上時軸或在當yxyx易知易知, f (x, y)在在(0,0)的兩個偏的兩個偏導(dǎo)都存在導(dǎo)都存在,且為且為0.但它在(0, 0)不連續(xù).如圖yxzo第28頁/共58頁).,(),(),(yxfyxfyxfzyx的偏導(dǎo)數(shù)為設(shè)由于它們還是 x, y 的函數(shù). 因此, 可繼續(xù)討論.),(),(的偏導(dǎo)數(shù)yxfyxfyx高階偏導(dǎo)數(shù)第29頁/共58頁, .),(),( .),(

16、則記還可偏導(dǎo)若內(nèi)可偏導(dǎo)在區(qū)域設(shè)yxfyxfDyxfzyx xfyyxfyxzxy),(2,),(22 xfxyxfxzxx第30頁/共58頁,),(22 yfyyxfyzyy yfxyxfxyzyx),(2稱為 z = f (x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). .),(),( 為二階混合偏導(dǎo)數(shù)稱yxfyxfyxxy 第31頁/共58頁類似, 可得三階, 四階, , n 階偏導(dǎo)數(shù).則記可偏導(dǎo)若如, ,22xz,2233xzxxz.,2223等等xzyyxz第32頁/共58頁例1., 3sin3322xzyxyxz求全部二階偏導(dǎo)和設(shè)解:221,zy xx22cos .zx yyy24.zxyx y 2222

17、,zyx2222sin ,zxyy24,zxyy x 330.zx第33頁/共58頁一般說來一般說來, 算這算這個改變量較麻煩個改變量較麻煩, 希望找計算它的近似公式希望找計算它的近似公式.該近似公式應(yīng)滿足(1)好算. (2)有起碼的精度.在實際中在實際中,常需計算當兩個自變量都改常需計算當兩個自變量都改變時變時, 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y)的改變量的改變量 f (x0+ x, y0 + y) f (x0, y0).一、全微分的概念一、全微分的概念第三節(jié)第三節(jié) 多元函數(shù)的全微分多元函數(shù)的全微分第34頁/共58頁類似一元函數(shù)的微分概念, 引進記號和定義.記 z = f (x0+

18、x, y0 + y) f (x0, y0).稱為 z = f (x, y)在點 (x0, y0) 的全增量.第35頁/共58頁如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量 ),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為 zA xB y ， 其中其中BA,不依賴于不依賴于yx 、而僅與而僅與yx、有關(guān)，有關(guān)， 22)()(yx ，當當0時時0，則稱函則稱函數(shù)數(shù) ),(yxfz 在點在點),(yx 可微分，可微分，yBxA 稱稱為函數(shù)為函數(shù) ),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 全微分的定義全微分的定義. yBxAdz 定義第36頁

19、/共58頁 對照一元函數(shù)的微分, z = f (x , y), 若 z = A x +0( x) 則dz = A x = f (x) x . 自然會提出以下問題.(1)若z = f (x, y)在點(x0, y0)可微, 微分式 dz = A x +B y中系數(shù) A, B 如何求, 是否與z的偏導(dǎo)有關(guān)?(2)在一元函數(shù)中, 可微與可導(dǎo)是等價的. 在二元函數(shù)中, 可微與存在兩個偏導(dǎo)是否也等價?(3)在一元函數(shù)中, 可微連續(xù), 對二元函數(shù)是否也對?第37頁/共58頁函數(shù)若在某區(qū)域函數(shù)若在某區(qū)域 D 內(nèi)各點處處可微分，則稱這函數(shù)內(nèi)各點處處可微分，則稱這函數(shù) 在在 D 內(nèi)內(nèi)可微分可微分. . 如果函數(shù)

20、如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分, , 則函數(shù)在該則函數(shù)在該 點點連續(xù)連續(xù). . 事實上事實上,zA xB y , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故函數(shù)故函數(shù) ),(yxfz 在點在點 ),(yx 處連續(xù)處連續(xù). . 第38頁/共58頁結(jié)論結(jié)論: 對二元函數(shù)對二元函數(shù) z = f (x, y), z 在在(x0, y0)可微可微(不是不是存在兩個偏導(dǎo)存在兩個偏導(dǎo)) z 在在(x0, y0)連續(xù)連續(xù).第39頁/共58頁可微的條件定理定理 1 1（可微分必要條件可微分必要條件） 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在在 點點

21、),(yx可微分，則該函數(shù)在點可微分，則該函數(shù)在點),(yx的偏的偏 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)xz 、yz 必存在，且函數(shù)必存在，且函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的全微分為的全微分為 . yyzxxzdz .,dyydxx .dyyzdxxzdz 第40頁/共58頁定理定理（可微分的充分條件可微分的充分條件）如果函數(shù)）如果函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)xz 、yz 在點在點),(yx連續(xù)，則該函連續(xù)，則該函 數(shù)在點數(shù)在點),(yx可微分可微分 證略。證略。.dyyzdxxzdz 第41頁/共58頁多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微分函數(shù)可微分函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 偏

22、導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在第42頁/共58頁例例 3 3 計算函數(shù)計算函數(shù) xyez 在點在點 )1 , 2( 處的全微分處的全微分. . 解解,xyxe dyyzdxxzdz 因此，因此，.dyxedxyexyxy .222dyedxedz (2, 1) 處的全微分處的全微分它們均連續(xù)。因此，函數(shù)可微分。它們均連續(xù)。因此，函數(shù)可微分。,xyye xxyexz yxyeyz 第43頁/共58頁全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 第44頁/共58頁定理1： 如果函數(shù) 在點 ( x , y )有 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，函數(shù)

23、 z = f ( u , v ) 在對應(yīng)點 ( u , v ) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，則函數(shù) 在點( x , y )有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且),(),(yxvyxuyxyxvvuu,vuzz,yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz第四節(jié) 多元函數(shù)的求導(dǎo)法則一 鏈式法則第45頁/共58頁鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xzuvxzy uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv uvxzy第46頁/共58頁例例 1 1 設(shè)設(shè) vezusin ，而，而 xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz . . 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu yz uzyu vzyv 1cossin

24、 vexveuuz uvxy型型).cos()sin(yxyxyexy ).cos()sin(yxyxxexy 第47頁/共58頁例例 5 5 設(shè)設(shè)),(22xyyxfz，求，求 xz，yz 解解 令令22yxu，xyv ，則，則),(vufz 所以所以 xzxvvzxuuzvzyuzx 2, yzyvvzyuuzvzxuzy 2. 第48頁/共58頁1 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù))ln()4() 3 ()(cos)sin()2()ln() 1 (2xyzxuxyxyzxyxzzy2 求下列函數(shù)的全微分yzxyxuezyxyz) 3()2() 1 (22第49頁/共58頁3 求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)uururzryrxzyxudxdzeyxyarctgzdtdztytxtyxzx,cos,sinsin,sincos,) 3(,),()2(,cos,sin,) 1 (22222求求求第50頁/共58頁yuxuyxyx