函數(shù)微分法及其應(yīng)用PPT課件

1、1.實(shí)例分析 例例 1 1 設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別 x和和 y，則矩形的面則矩形的面積積 S為為 xyS . 在此，當(dāng)在此，當(dāng) x和和 y每取定一組值時(shí)，就有一確定的面每取定一組值時(shí)，就有一確定的面積值積值S即即S依賴(lài)于依賴(lài)于 x和和 y的變化而變化的變化而變化 例例 2 2 具有一定質(zhì)量的理想氣體，其體積為具有一定質(zhì)量的理想氣體，其體積為 V，壓強(qiáng)，壓強(qiáng)為為 P，熱力學(xué)溫度，熱力學(xué)溫度 T 之間具有下面依賴(lài)關(guān)系之間具有下面依賴(lài)關(guān)系VRTP （R是常數(shù)）是常數(shù)）. 在這一問(wèn)題中有三個(gè)變量在這一問(wèn)題中有三個(gè)變量 P，V，T，當(dāng)，當(dāng) V 和和 T 每取每取定為一組值時(shí)，按照上面的關(guān)系，就

2、有一確定的壓強(qiáng)定為一組值時(shí)，按照上面的關(guān)系，就有一確定的壓強(qiáng) P 一、多元函數(shù)一、多元函數(shù)第1頁(yè)/共58頁(yè)定義1 ：設(shè)在某一過(guò)程中有三個(gè)變量 x , y 和 z，如果對(duì)于 變量 x , y 在其變化范圍 D 內(nèi)的每一對(duì)值 ( x , y )， 按照法則 f 有唯一確定的值 z R 與之對(duì)應(yīng)， 那么這種法則就規(guī)定了一個(gè)函數(shù)： 其中 x ，y 稱(chēng)為自變量自變量，z 稱(chēng)為因變量因變量， D為定義域。定義域。 D中任一對(duì)數(shù)中任一對(duì)數(shù) ( x , y )在法則在法則 f 下的對(duì)應(yīng)值下的對(duì)應(yīng)值 z ，稱(chēng)為，稱(chēng)為 f 在在 點(diǎn)點(diǎn)( x , y )的函數(shù)值，記作的函數(shù)值，記作 z = f ( x , y )

3、。),(),(:yxfzyxRDf 多元函數(shù)的概念第2頁(yè)/共58頁(yè)函數(shù) f 的函數(shù)值的全體稱(chēng)為函數(shù) f 的值域。DyxyxfzzDf),(),()(函數(shù)的函數(shù)的兩個(gè)要素兩個(gè)要素: :定義域，對(duì)應(yīng)法則定義域，對(duì)應(yīng)法則第3頁(yè)/共58頁(yè)二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面. .第4頁(yè)/共58頁(yè)xyzsin 例如例如, ,圖形如右圖圖形如右圖. .2222azyx 例如例如, ,右圖球面右圖球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: :xyzo第5頁(yè)/共58頁(yè)一、多元函數(shù)極限一、多元函數(shù)極限第6頁(yè)/共58頁(yè)注意：注意： 是指是指 P 以

4、任何以任何方式趨于方式趨于P0 .0PP ,)(lim0Axfxx,)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx 一一元元中中多多元元中中,),(lim0AyxfPP. )() ( 0PPAxf以某種方式趨于以某種方式趨于Axfyyxx )(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px軸軸沿平行沿平行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py軸軸沿平行沿平行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx ),(lim0000)(yxxky 第7頁(yè)/共58頁(yè)(1) (1) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趨向于趨向于),(000yxP， 若極限值與若極限值與k有關(guān)，

5、則可斷言極限不存在；有關(guān)，則可斷言極限不存在； (2) (2) 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 兩者不相等，此時(shí)也可斷言?xún)烧卟幌嗟龋藭r(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP 處極限不存在處極限不存在 確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：第8頁(yè)/共58頁(yè)二、多元函數(shù)連續(xù)二、多元函數(shù)連續(xù)第9頁(yè)/共58頁(yè)定義3：設(shè)函數(shù) z = f ( x , y )在點(diǎn) 及其附近有定義 如果 ，就稱(chēng)函數(shù) f ( x , y )在點(diǎn) 連續(xù)。如果 f ( x , y )在區(qū)域 D 的 每一點(diǎn)都連續(xù)，就稱(chēng) f ( x , y ) 在區(qū)域 D 連

6、續(xù)。 ),(000yxP),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx0P第10頁(yè)/共58頁(yè)(1) 函數(shù)函數(shù)),(yxf在在),(000yxP點(diǎn)有定義；點(diǎn)有定義； (2) ),(lim00yxfyyxx存在；存在； (3) ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 。 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP連續(xù)連續(xù). . 滿足以下條件：滿足以下條件：第11頁(yè)/共58頁(yè)多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四 則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表 示

7、的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的在在定義域內(nèi)的定義域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用連續(xù)點(diǎn)求極限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定義區(qū)域定義區(qū)域 PPfPfPP第12頁(yè)/共58頁(yè)例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim00第13頁(yè)/共58頁(yè)引例引例 一定量的理想氣體的壓強(qiáng)一定量的理想氣體的壓強(qiáng) P，體積，體積 V，熱力學(xué)，熱力學(xué)溫度溫度 T 三者之間的關(guān)系為三者之間的關(guān)系為 VRTP ( (R 為常量

8、為常量) ). . 當(dāng)溫度不變時(shí)（等溫過(guò)程） ，壓強(qiáng)當(dāng)溫度不變時(shí)（等溫過(guò)程） ，壓強(qiáng) P 關(guān)于體積關(guān)于體積 V 的變的變變變化率就是化率就是 2ddVRTVPT常數(shù)常數(shù), , 這種形式的變化率稱(chēng)為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)這種形式的變化率稱(chēng)為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 一、一、 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 第二節(jié) 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)第14頁(yè)/共58頁(yè)在二元函數(shù)在二元函數(shù) z = f (x, y)中中, 有兩個(gè)自變量有兩個(gè)自變量 x, y, 但但若固定其中一個(gè)自變量若固定其中一個(gè)自變量, 比如比如, 令令y = y0, 而讓而讓 x 變化變化.則 z 成為一元函數(shù) z = f (x, y0), 我們可用討論一元函數(shù)的方法來(lái)討論它的

9、導(dǎo)數(shù), 稱(chēng)為偏導(dǎo)數(shù).一、偏導(dǎo)數(shù)的定義一、偏導(dǎo)數(shù)的定義第15頁(yè)/共58頁(yè).),(),(limlim000000存在如果極限xyxfyxxfxzxxx則稱(chēng)這個(gè)極限值為 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù). ),( 00yxfx記作即xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000此時(shí)也稱(chēng) f (x, y)在(x0, y0) 處對(duì)x 的偏導(dǎo)數(shù)存在. 否則稱(chēng)f (x, y)在(x0, y0) 處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)不存在. ,00yyxxxzxyxfxfyyxx),( 0000或第16頁(yè)/共58頁(yè)類(lèi)似類(lèi)似, 若固若固定定 x = x0, 而讓而讓 y 變變, z

10、 = f (x0, y)成成為為 y 的一元函數(shù)的一元函數(shù).),(),(limlim000000存在若極限yyxfyyxfyzyyy則稱(chēng)它為z = f (x, y) 在 (x0, y0) 處對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù).yyxfyfyzyxfyyyxxyyxxy),( , ),( 00000000或記作即yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000第17頁(yè)/共58頁(yè)定義：設(shè)函數(shù) z = f ( x , y ) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義。 固定 ，給 x 增量 ，相應(yīng)的函數(shù) z 有增量 ，稱(chēng)為 z 關(guān)于 x 的偏增量。如果極限 存在，就稱(chēng)其為函數(shù) f ( x , y )在點(diǎn) 處對(duì) x 的

11、偏導(dǎo)數(shù)，記作),(00yx),(00yx0yy x),(),(0000yxfyxxfzxxyxfyxxfxzxxx),(),(limlim000000),(,00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx第18頁(yè)/共58頁(yè)函數(shù) f ( x , y ) 在點(diǎn) 處對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)，記作),(,00000000yxfzyfyzyyyxxyyyxxyyxxyyxfyyxfy),(),(lim00000),(00yx第19頁(yè)/共58頁(yè)若若 z = f (x, y) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn) (x, y) 處時(shí)處時(shí)x的的偏導(dǎo)數(shù)都存在偏導(dǎo)數(shù)都存在, 即即 (x, y) D, xyxf

12、yxxfx),(),(lim0存在.此時(shí)此時(shí), 它是它是 x, y的二元函數(shù)的二元函數(shù). 稱(chēng)為稱(chēng)為 z 對(duì)對(duì) x 的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)函數(shù)函數(shù). 簡(jiǎn)稱(chēng)偏導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)偏導(dǎo)數(shù).記作記作 ( , ), xzfx yx類(lèi)似定義 z 對(duì) y 的偏導(dǎo)函數(shù).xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),( 0即第20頁(yè)/共58頁(yè)1.由偏導(dǎo)數(shù)定義知由偏導(dǎo)數(shù)定義知, 所謂所謂 f (x, y) 對(duì)對(duì)x 的偏的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 就是將就是將 y 看作常數(shù)看作常數(shù), 將將 f (x, y) 看作一元看作一元函數(shù)來(lái)定義的函數(shù)來(lái)定義的. 注因此,在實(shí)際計(jì)算時(shí), 求 f x (x, y)時(shí), 只須將 y 看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求

13、即可.求 f y (x, y)時(shí), 只須將 x 看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.第21頁(yè)/共58頁(yè)2. f x (x0, y0) 就是就是 f x (x, y), 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)的值的值. 算 f x (x0, y0) 可用3種方法.f y (x0, y0)f y (x, y)f y (x0, y0)(1) 用定義算.(2) 先算 f x (x, y), 再算 f x (x0, y0) f y (x, y),f y (x0, y0).第22頁(yè)/共58頁(yè)例1.)2 , 1 (322處的偏導(dǎo)數(shù)在求yxyxz解:. 862 ,3221yxxzyxxz從而. 743 ,2321yxyzy

14、xyz從而第23頁(yè)/共58頁(yè)例2.2sin2的偏導(dǎo)數(shù)求yxz 解:,2sin2yxxz22cos2yxyzyx2cos22第24頁(yè)/共58頁(yè)例4. 222的偏導(dǎo)數(shù)求zyxu解:22222 zyxxuxux22222 zyxyuyuy22222 zyxzuzuz第25頁(yè)/共58頁(yè)在一元函數(shù)中在一元函數(shù)中, 可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù), 但對(duì)多元函數(shù)但對(duì)多元函數(shù)不適用不適用.即即, 對(duì)多元函數(shù)對(duì)多元函數(shù) f (x,y)而言而言, 即使它在即使它在 (x0， y0 )的對(duì)各個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在的對(duì)各個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 也也不不能保證能保證 f (x,y)在在 (x0， y0 ) 連續(xù)連續(xù).三、偏導(dǎo)

15、與連續(xù)的關(guān)系三、偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系第26頁(yè)/共58頁(yè)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的二元函數(shù)未必連續(xù)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的二元函數(shù)未必連續(xù)偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：第27頁(yè)/共58頁(yè)例. ),(yxfz,),( , 1軸上時(shí)軸或不在當(dāng)yxyx,),( , 0軸上時(shí)軸或在當(dāng)yxyx易知易知, f (x, y)在在(0,0)的兩個(gè)偏的兩個(gè)偏導(dǎo)都存在導(dǎo)都存在,且為且為0.但它在(0, 0)不連續(xù).如圖yxzo第28頁(yè)/共58頁(yè)).,(),(),(yxfyxfyxfzyx的偏導(dǎo)數(shù)為設(shè)由于它們還是 x, y 的函數(shù). 因此, 可繼續(xù)討論.),(),(的偏導(dǎo)數(shù)yxfyxfyx高階偏導(dǎo)數(shù)第29頁(yè)/共58頁(yè), .),(),( .),(

16、則記還可偏導(dǎo)若內(nèi)可偏導(dǎo)在區(qū)域設(shè)yxfyxfDyxfzyx xfyyxfyxzxy),(2,),(22 xfxyxfxzxx第30頁(yè)/共58頁(yè),),(22 yfyyxfyzyy yfxyxfxyzyx),(2稱(chēng)為 z = f (x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). .),(),( 為二階混合偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)yxfyxfyxxy 第31頁(yè)/共58頁(yè)類(lèi)似, 可得三階, 四階, , n 階偏導(dǎo)數(shù).則記可偏導(dǎo)若如, ,22xz,2233xzxxz.,2223等等xzyyxz第32頁(yè)/共58頁(yè)例1., 3sin3322xzyxyxz求全部二階偏導(dǎo)和設(shè)解:221,zy xx22cos .zx yyy24.zxyx y 2222

17、,zyx2222sin ,zxyy24,zxyy x 330.zx第33頁(yè)/共58頁(yè)一般說(shuō)來(lái)一般說(shuō)來(lái), 算這算這個(gè)改變量較麻煩個(gè)改變量較麻煩, 希望找計(jì)算它的近似公式希望找計(jì)算它的近似公式.該近似公式應(yīng)滿足(1)好算. (2)有起碼的精度.在實(shí)際中在實(shí)際中,常需計(jì)算當(dāng)兩個(gè)自變量都改常需計(jì)算當(dāng)兩個(gè)自變量都改變時(shí)變時(shí), 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y)的改變量的改變量 f (x0+ x, y0 + y) f (x0, y0).一、全微分的概念一、全微分的概念第三節(jié)第三節(jié) 多元函數(shù)的全微分多元函數(shù)的全微分第34頁(yè)/共58頁(yè)類(lèi)似一元函數(shù)的微分概念, 引進(jìn)記號(hào)和定義.記 z = f (x0+

18、x, y0 + y) f (x0, y0).稱(chēng)為 z = f (x, y)在點(diǎn) (x0, y0) 的全增量.第35頁(yè)/共58頁(yè)如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的全增量的全增量 ),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為 zA xB y ， 其中其中BA,不依賴(lài)于不依賴(lài)于yx 、而僅與而僅與yx、有關(guān)，有關(guān)， 22)()(yx ，當(dāng)當(dāng)0時(shí)時(shí)0，則稱(chēng)函則稱(chēng)函數(shù)數(shù) ),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx 可微分，可微分，yBxA 稱(chēng)稱(chēng)為函數(shù)為函數(shù) ),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 全微分的定義全微分的定義. yBxAdz 定義第36頁(yè)

19、/共58頁(yè) 對(duì)照一元函數(shù)的微分, z = f (x , y), 若 z = A x +0( x) 則dz = A x = f (x) x . 自然會(huì)提出以下問(wèn)題.(1)若z = f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)可微, 微分式 dz = A x +B y中系數(shù) A, B 如何求, 是否與z的偏導(dǎo)有關(guān)?(2)在一元函數(shù)中, 可微與可導(dǎo)是等價(jià)的. 在二元函數(shù)中, 可微與存在兩個(gè)偏導(dǎo)是否也等價(jià)?(3)在一元函數(shù)中, 可微連續(xù), 對(duì)二元函數(shù)是否也對(duì)?第37頁(yè)/共58頁(yè)函數(shù)若在某區(qū)域函數(shù)若在某區(qū)域 D 內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，則稱(chēng)這函數(shù)內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，則稱(chēng)這函數(shù) 在在 D 內(nèi)內(nèi)可微分可微分. . 如果函數(shù)

20、如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分可微分, , 則函數(shù)在該則函數(shù)在該 點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)連續(xù). . 事實(shí)上事實(shí)上,zA xB y , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故函數(shù)故函數(shù) ),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn) ),(yx 處連續(xù)處連續(xù). . 第38頁(yè)/共58頁(yè)結(jié)論結(jié)論: 對(duì)二元函數(shù)對(duì)二元函數(shù) z = f (x, y), z 在在(x0, y0)可微可微(不是不是存在兩個(gè)偏導(dǎo)存在兩個(gè)偏導(dǎo)) z 在在(x0, y0)連續(xù)連續(xù).第39頁(yè)/共58頁(yè)可微的條件定理定理 1 1（可微分必要條件可微分必要條件） 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在在 點(diǎn)點(diǎn)

21、),(yx可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)),(yx的偏的偏 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)xz 、yz 必存在，且函數(shù)必存在，且函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的全微分為的全微分為 . yyzxxzdz .,dyydxx .dyyzdxxzdz 第40頁(yè)/共58頁(yè)定理定理（可微分的充分條件可微分的充分條件）如果函數(shù)）如果函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)xz 、yz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx連續(xù)，則該函連續(xù)，則該函 數(shù)在點(diǎn)數(shù)在點(diǎn)),(yx可微分可微分 證略。證略。.dyyzdxxzdz 第41頁(yè)/共58頁(yè)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微分函數(shù)可微分函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 偏

22、導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在第42頁(yè)/共58頁(yè)例例 3 3 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù) xyez 在點(diǎn)在點(diǎn) )1 , 2( 處的全微分處的全微分. . 解解,xyxe dyyzdxxzdz 因此，因此，.dyxedxyexyxy .222dyedxedz (2, 1) 處的全微分處的全微分它們均連續(xù)。因此，函數(shù)可微分。它們均連續(xù)。因此，函數(shù)可微分。,xyye xxyexz yxyeyz 第43頁(yè)/共58頁(yè)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 第44頁(yè)/共58頁(yè)定理1： 如果函數(shù) 在點(diǎn) ( x , y )有 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，函數(shù)

23、 z = f ( u , v ) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) ( u , v ) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，則函數(shù) 在點(diǎn)( x , y )有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且),(),(yxvyxuyxyxvvuu,vuzz,yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz第四節(jié) 多元函數(shù)的求導(dǎo)法則一 鏈?zhǔn)椒▌t第45頁(yè)/共58頁(yè)鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示 xzuvxzy uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv uvxzy第46頁(yè)/共58頁(yè)例例 1 1 設(shè)設(shè) vezusin ，而，而 xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz . . 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu yz uzyu vzyv 1cossin

24、 vexveuuz uvxy型型).cos()sin(yxyxyexy ).cos()sin(yxyxxexy 第47頁(yè)/共58頁(yè)例例 5 5 設(shè)設(shè)),(22xyyxfz，求，求 xz，yz 解解 令令22yxu，xyv ，則，則),(vufz 所以所以 xzxvvzxuuzvzyuzx 2, yzyvvzyuuzvzxuzy 2. 第48頁(yè)/共58頁(yè)1 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù))ln()4() 3 ()(cos)sin()2()ln() 1 (2xyzxuxyxyzxyxzzy2 求下列函數(shù)的全微分yzxyxuezyxyz) 3()2() 1 (22第49頁(yè)/共58頁(yè)3 求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)uururzryrxzyxudxdzeyxyarctgzdtdztytxtyxzx,cos,sinsin,sincos,) 3(,),()2(,cos,sin,) 1 (22222求求求第50頁(yè)/共58頁(yè)yuxuyxyx