初等復(fù)變函數(shù)PPT課件

1、1一、指數(shù)函數(shù)1. 復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義: zxiy 定定義義復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)為為(cossin )zx iyxeeeyiy 2.復(fù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)復(fù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì):(1)(1)(2)(2)(3)(3)Im( )0, ( ),Re( ).xzf zexz當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)其其中中|ze | |Arg() ze ,xe2() ykk 其其中中 為為任任何何整整數(shù)數(shù)12zze e 12() zze 加加法法定定理理第1頁(yè)/共33頁(yè)2 . 所沒有的所沒有的該性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)該性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)xe例例1 (4)(4)2 zk ie 2zk iee ze 2,zek i 即即 的的周周期

2、期是是 (5)(5) ze 在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面上上解解析析，()zzee 并并且且注意：121 2()zzz zee 一一般般不不成成立立12 , (1); (2)Re();izzzxiyee 設(shè)設(shè)求求12 zzee= = (6)(6)122zzk i 0, 1, 2,.k 第2頁(yè)/共33頁(yè)3zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 1(2)ze 第3頁(yè)/共33頁(yè)4二、對(duì)數(shù)函數(shù)1. 定義定義zwzfwzzewLn , )( )0( 記為稱為對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)滿足方程，則令ir

3、ezivuw ,iivureeiurevive)sin(cosArgzvzrulnlniArgzzLnzwln2uervk第4頁(yè)/共33頁(yè)5 .2 , )( , Arg的整數(shù)倍的整數(shù)倍并且每?jī)芍迪嗖畈⑶颐績(jī)芍迪嗖钜彩嵌嘀岛瘮?shù)也是多值函數(shù)所以對(duì)數(shù)函數(shù)所以對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)為多值函數(shù)由于由于izfwz ,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果將如果將 . Ln ln Ln 的主值的主值稱為稱為，記為記為為一單值函數(shù)，為一單值函數(shù)，那末那末zzz.arglnlnzizz 于是有于是有特殊地特殊地, .,lnln Ln , 0 是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的主值的主值時(shí)時(shí)

4、當(dāng)當(dāng)xzzxz Lnln2(0, 1, 2,),zzk ik 第5頁(yè)/共33頁(yè)6例例2 解解注意注意: 在實(shí)變函數(shù)中在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù), 而復(fù)變數(shù)對(duì)而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣. Ln2, Ln( 1) 求求ln2=因因?yàn)闉?Ln2 =ln( 1)= 因因?yàn)闉?Ln( 1) ln|2|0i ln2 ln22k i () k為為整整數(shù)數(shù)ln|1|i i ln( 1)2k i (21) ki () k為為整整數(shù)數(shù)第6頁(yè)/共33頁(yè)7例例3解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因?yàn)橐驗(yàn)?31(Ln iz 所以所以 kii2331ln

5、ki232ln), 2, 1, 0( k第7頁(yè)/共33頁(yè)82. 性質(zhì)性質(zhì)且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)和和其其它它各各分分支支處處處處連連續(xù)續(xù)主主值值支支的的復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)包包括括原原點(diǎn)點(diǎn)在在除除去去負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 1212(1) Ln()LnLn,zzzzLn( )(2)ze 1122LnLnLn,zzzzLnze , z2(0, 1, 2,.)zk ik 第8頁(yè)/共33頁(yè)9證證 (3) , ln arg是是單單值值的的內(nèi)內(nèi)的的反反函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域zwzezw wezzwdd1dlnd 證畢證畢.1z iargz lnlnzz考慮, ln .

6、z除除原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸 在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)其其它它點(diǎn)點(diǎn)處處處處連連續(xù)續(xù)第9頁(yè)/共33頁(yè)10三、冪函數(shù)1. 定義定義注意注意: :, zwz 對(duì)對(duì)任任意意的的復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) 以以及及復(fù)復(fù)變變量量定定義義冪冪函函數(shù)數(shù)為為L(zhǎng)n=zze Ln(ln| |arg2)=zzizk izee即即 Lnln(arg2) , .zzizkz 由由于于是是多多值值的的因因而而也也是是多多值值的的第10頁(yè)/共33頁(yè)11(1) , n 當(dāng)當(dāng)為為整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)Ln = nnzzze ln(arg2) nzizke (lnarg ) 2 nzizkn ie (lnarg ) nzize . nz 具具有有單單一一的的值

7、值ln nze lnlnln zzze lnlnln zzzeee z zz ) (個(gè)個(gè)因子因子 n第11頁(yè)/共33頁(yè)12(2) (, 0), ppqqq 當(dāng)當(dāng)與與 為為互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)ln(arg2) ppzizkqqzze ln(arg2) ppzizkqqe ln cos(arg2 )sin(arg2 )pzqppezkizkqq , zq 具具有有個(gè)個(gè)值值 0,1,2,(1). kq即即取取時(shí)時(shí)相相應(yīng)應(yīng)的的值值ln(arg2) ppzizkqqee 第12頁(yè)/共33頁(yè)13特殊情況特殊情況: 1) (), n 當(dāng)當(dāng)正正整整數(shù)數(shù) 時(shí)時(shí) nzz , nnwz 即即當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 就就得得到

8、到通通常常的的冪冪函函數(shù)數(shù)1 2) (), n 當(dāng)當(dāng)分分?jǐn)?shù)數(shù) 時(shí)時(shí)11Ln znnze 11ln(arg2) zizknne 11ln(arg2) zizknnee . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中11(arg2)izknnze nz 第13頁(yè)/共33頁(yè)14(3) 當(dāng)當(dāng)是是一一無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)或或者者虛虛數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，2k ie 這這時(shí)時(shí)的的所所有有值值都都不不相相同同z 就就是是無(wú)無(wú)窮窮多多值值的的函函數(shù)數(shù)Ln(ln| |arg2)=zzizk izee(ln| |arg )2=zizk iee 第14頁(yè)/共33頁(yè)15例例4 4 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22

9、 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案課堂練習(xí)課堂練習(xí).3)( 5 計(jì)算計(jì)算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik第15頁(yè)/共33頁(yè)162. 冪函數(shù)性質(zhì)冪函數(shù)性質(zhì) , )1(的的在復(fù)平面內(nèi)是單值解析在復(fù)平面內(nèi)是單值解析冪函數(shù)冪函數(shù)nz .)(1 nnnzz . , )2(1個(gè)分支個(gè)分支具有具有是多值函數(shù)是多值函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)nzn它的它的 各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的, n

10、nzz1 zneLn1.111 nzn第16頁(yè)/共33頁(yè)17 它的它的 各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的,1(3) ( ), ,. wznn 冪冪函函數(shù)數(shù)除除去去與與兩兩種種情情況況外外當(dāng)當(dāng)為為無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)或或負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí) 是是無(wú)無(wú)窮窮多多值值的的1()zz第17頁(yè)/共33頁(yè)18四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1. 三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義,sincos yiyeiy 因?yàn)橐驗(yàn)?sincos yiyeiy 將兩式相加與相減將兩式相加與相減, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變現(xiàn)在把

11、余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況數(shù)取復(fù)值的情況.第18頁(yè)/共33頁(yè)19,2cos izizeez 我我們們定定義義余余弦弦函函數(shù)數(shù)為為.2sin ieeziziz正正弦弦函函數(shù)數(shù)為為第19頁(yè)/共33頁(yè)202. 三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)(1) , zx當(dāng)當(dāng) 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 時(shí)時(shí) 我我們們定定義義三三角角函函數(shù)數(shù)與與通通常常的的三三角角函函數(shù)數(shù)定定義義是是一一致致的的(2) sin , cos.zz是是奇奇函函數(shù)數(shù)是是偶偶函函數(shù)數(shù).cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz (3) 2. 正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)都都是

12、是以以為為周周期期的的(4)(4)正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)都都是是解解析析函函數(shù)數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz 第20頁(yè)/共33頁(yè)21(5)(5)有有關(guān)關(guān)正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)的的幾幾組組重重要要公公式式12121212121222cos()coscossinsin,sin()sincoscossin,sincos1.zzzzzzzzzzzzzz sin0z (6)(6)的的根根,0, 1, 2,.znn cos0z 的的根根1() ,0, 1, 2,.2znn 第21頁(yè)/共33頁(yè)22 解方程解方程0sin z解解0212sin2

13、izizizizieeieez12 ize. kz), 2, 1, 0( k第22頁(yè)/共33頁(yè)23 , 時(shí)時(shí)為純虛數(shù)為純虛數(shù)當(dāng)當(dāng)yiz .cos ,sin , yiyiy時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)( (注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的) )sincoszz ( (7 7) )在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域內(nèi)內(nèi)，不不能能斷斷言言| | | 1 1, ,| | | 1 1cos2yyeeyi sin2yyeeyii 第23頁(yè)/共33頁(yè)24其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義,cossintan zzz 正切函數(shù)正切函數(shù),sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1sec zz 正

14、割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割函數(shù) . , , , cos sin 解析性解析性奇偶性奇偶性周期性周期性我們可以討論它們的我們可以討論它們的類似類似和和與與zz第24頁(yè)/共33頁(yè)253. 雙曲函數(shù)的定義 ch,2zzeez 我我們們定定義義雙雙曲曲余余弦弦函函數(shù)數(shù)為為 sh,2zzeez 雙雙曲曲正正弦弦函函數(shù)數(shù)為為 th.zzzzeezee 雙雙曲曲正正切切函函數(shù)數(shù)為為第25頁(yè)/共33頁(yè)264. 雙曲函數(shù)的性質(zhì)雙曲函數(shù)的性質(zhì)(1) , zx當(dāng)當(dāng) 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 時(shí)時(shí) 我我們們定定義義雙雙曲曲函函數(shù)數(shù)與與通通常常的的雙雙曲曲函函數(shù)數(shù)定定義義是是一一致致的的(2) sh , c

15、h.zz是是奇奇函函數(shù)數(shù)是是偶偶函函數(shù)數(shù)(3) 2.i 雙雙曲曲正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和雙雙曲曲余余弦弦函函數(shù)數(shù)都都是是以以為為周周期期的的(4)(4)雙雙曲曲正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和雙雙曲曲余余弦弦函函數(shù)數(shù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)都都是是解解析析函函數(shù)數(shù)sh()sh ,ch()ch .zzzz (sh )ch ,zz (ch )sh .zz 第26頁(yè)/共33頁(yè)27:(5)(5)有有如如下下公公式式chc s ,oizz shsiniziz sinshiziz coschizz 22chsh1zz第27頁(yè)/共33頁(yè)28五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1. 反三角函數(shù)的定義反三角函數(shù)的定義.cosArc , ,c

16、os zwzwwz 記作記作的反余弦函數(shù)的反余弦函數(shù)為為那么稱那么稱設(shè)設(shè),2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得, 1 2 zzeiw方程的根為方程的根為21ArccosLn1 (. )zzzi第28頁(yè)/共33頁(yè)29 同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), 重復(fù)以上步驟重復(fù)以上步驟, 可以得到它們的表達(dá)式可以得到它們的表達(dá)式:2. 反雙曲函數(shù)的定義21 ArcsinLn(1)zizzi11ArctanLn.21izziiz 2 ArshLn(1),zzz反反雙雙曲曲正正弦弦2 ArchLn(1),zzz反反雙雙曲曲余余弦弦11 ArthLn21zzz 反反雙雙曲曲正正切切第29頁(yè)/共33頁(yè)30例例5 5解解).32tan( Arci 求函數(shù)值求函數(shù)值 )32tan( Arci)32(1)32(1Ln2iiiii 53Ln2ii kii231arctan52ln2.31arctan212152ln4 ki . , 2 , 1 , 0 k其中其中第30頁(yè)/共33頁(yè)31六、小結(jié)與思考 復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣范圍內(nèi)的自然推廣, 它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性質(zhì)本性質(zhì), 又有一些與后者不同