常系數(shù)線性常微分方程

1、常系數(shù)線性常微分方程常系數(shù)高階 線性微分方程 一. 常系數(shù)線性齊次微分方程二. 常系數(shù)線性非齊次微分方程 第六章 常系數(shù)線性常微分方程常系數(shù) 齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化 第六章 常系數(shù)線性常微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrey 和它的導數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當042qp時, 有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為xrxreCeCy2121( r 為待定常數(shù) )

2、,xrer函數(shù)為常數(shù)時因為,所以令的解為 則微分其根稱為特征根特征根.常系數(shù)線性常微分方程2. 當042qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解)(12xuyy 設另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru常系數(shù)線性常微分方程3. 當042qp時, 特征方程有一對共軛復根irir21,這時原方程有兩個復數(shù)解:xiey)(1)sin(

3、cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx常系數(shù)線性常微分方程小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .常系數(shù)線性常微分方程若特征方程含 k 重復根,ir若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必

4、含對應項xrkkexCxCC)(121112()cosxkkeCC xC xxsin)(121xxDxDDkk則其通解中必含對應項)(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC常系數(shù)線性常微分方程例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxeCeCy321例例2. 求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetCCs)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值

5、問題的解為tets)24(22C常系數(shù)線性常微分方程例例3.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解為xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例4.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不難看出, 原方程有特解), 132xexxx常系數(shù)線性常微分方程02)(22222rr例例5. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根為),1(22,1i

6、r)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC常系數(shù)線性常微分方程例例6.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為,2,1irir4,3則方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42常系數(shù)線性常微分方程內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根:21, rr(1) 當時, 通解為xrxreCeCy212121rr (2) 當時, 通解為xrexCCy1)(2121rr (3) 當時, 通解為)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求

7、通解 .常系數(shù)線性常微分方程思考與練習思考與練習 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解為xCCy21:0a通解為xaCxaCysincos21:0a通解為xaxaeCeCy21常系數(shù)線性常微分方程思考題思考題,2cos,2,321xyexyeyxx求一個以xy2sin34為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解 .解解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :, 121 rrir24, 3因此特征方程為2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程為其通解為xCxCexCCyx2sin2cos)(4321常系數(shù)線性常微分方程常系數(shù)非齊次線

8、性微分方程 型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、 第六章 常系數(shù)線性常微分方程)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法常系數(shù)線性常微分方程)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 為實數(shù) ,)(xPm設特解為, )(*xQeyx其中 為待定多項式 , )(xQ )()(*

9、xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xQm從而得到特解形式為. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為 m 次多項式 .Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式常系數(shù)線性常微分方程(2) 若 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為m 次多項式, 故特解形式為xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是 m 次多項式,故特解形式為xmexQxy)(*2小結(jié)小結(jié) 對方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxm

10、k此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即當 是特征方程的 k 重根 時,可設特解常系數(shù)線性常微分方程例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 本題而特征方程為,0322 rr不是特征方程的根 .設所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0常系數(shù)線性常微分方程例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對應齊次方程的通解為xxeCeCY3221設非齊次方程特解為xebxbx

11、y210)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2常系數(shù)線性常微分方程例例3. 求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題特征方程為, 02323rrr其根為設非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對應齊次方程通解為1CY xeC2xeC23原方程通解為x211Cy xeC2xeC23由初始條件得0432CC,0常系數(shù)線性常微分方程于是所

12、求解為xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC常系數(shù)線性常微分方程二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下兩個方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思路:第一步第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點ximexP)()(常系數(shù)線性常微分方程第一步第一步 利用歐拉公式將 f (x) 變形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)

13、()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(則令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2常系數(shù)線性常微分方程 第二步第二步 求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多項式為mxQm故ximexPyqypy)(111)()()( 等式兩邊取共軛 :ximexPyqypy)(111)(1y這說明為方程 的特解 .ximexPyqypy)()( ximexPyqypy)()( 設則 有特解:常系數(shù)線性常微分方程第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有

14、特解 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均為 m 次多項式 .常系數(shù)線性常微分方程第四步第四步 分析的特點yxRxRexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmRR,因此均為 m 次實多項式 .11yyy本質(zhì)上為實函數(shù) ,11yy常系數(shù)線性常微分方程小小 結(jié)結(jié)xxPxxPenlxsin)(cos)(對非齊次方程yqypy ),(為常數(shù)qpxRxRexymmxksincos*則可設特解:其中 為特征方程的

15、k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.常系數(shù)線性常微分方程例例4. xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比較系數(shù) , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb常系數(shù)線性常微分方程例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特

16、征方程為, 092r其根為對應齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設非齊次方程特解為常系數(shù)線性常微分方程例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以設非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024

17、rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理 , 可設非齊次方程特解為)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx設下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:常系數(shù)線性常微分方程思考與練習思考與練習時可設特解為 xxxfcos)() 1當xexxxf22cos)()2當xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 時可設特解為 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 設sin)(cos)(xxRxxRmm常系數(shù)

18、線性常微分方程2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中為實數(shù) ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr對應齊次方程通解:xexCCY221)(2時,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解為xexCCy221)(xe2)2(12時,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解為xexCCy221)(xex221常系數(shù)線性常微分方程3. 已知二階常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 將特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比較系數(shù)得01baca 201ba0a1b2c故原方程為xe

19、yy2 對應齊次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解為xxeCeCy21xex常系數(shù)線性常微分方程振動問題振動問題當重力與彈性力抵消時, 物體處于 平衡狀態(tài), 例例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動,xxo解解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖. 設時刻 t 物位移為 x(t).(1) 自由振動情況.彈性恢復力物體所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.常系數(shù)線性常微分方程據(jù)牛頓第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2

20、mn令則得有阻尼自由振動方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 強迫振動情況. 若物體在運動過程中還受鉛直外力作用，t pHFsin，令mhH則得強迫振動方程:t phxktxntxsindd2dd222常系數(shù)線性常微分方程例例2.xxo解解: 由例1 知, 位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運動,初始求物體的運動規(guī)律 ,0v速度為. )(txx 立坐標系如圖, ,0 xx 設 t = 0 時物體的位置為取其平衡位置為原點建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解問題為自由振動方程自由振動方程 , 常系數(shù)線

21、性常微分方程方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkir2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始條件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:1) 無阻尼自由振動情況無阻尼自由振動情況 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA常系數(shù)線性常微分方程解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxto簡諧振動 A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有頻率 T0dd00vtxt, 000 xxt下圖中假設(僅由系統(tǒng)特性確定)常系數(shù)線性常微分方程方程:特征方程:0222krnr222

22、,1knnr特征根:小阻尼: n k臨界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tCtCextn)(22nk trtreCeCx2121tnetCCx)(21常系數(shù)線性常微分方程( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: 1) 無振蕩現(xiàn)象; trtreCeCx2121222,1knnr其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此圖參數(shù): 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 對任何初始條件即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.常系數(shù)線性常微分方程( n = k ) 臨界阻尼解的特征臨界阻尼解的特征 : 任意常數(shù)由初始條件定, tn

23、etCCx)(21)() 1tx最多只與 t 軸交于一點; 取何值都有無論21,CC)(lim)3txt即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.0)(lim21tntetCC2) 無振蕩現(xiàn)象 ;常系數(shù)線性常微分方程例例3.求物體的運動規(guī)律. 解解: 問題歸結(jié)為求解無阻尼強迫振動方程 tphxktxsindd222 當當p k 時時, 齊次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齊次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解為例1 中若設物體只受彈性恢復力 f,sin的作用ptHF 和鉛直干擾力xox代入可得: 常系數(shù)線性常微分方程當干擾力的角頻率 p 固有頻率 k