特殊四邊形中常添加的輔助線

1、-1 -特殊四邊形-作輔助線添加輔助線解特殊四邊形特殊四邊形主要包括平行四邊形、 矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時往往需要添加輔助線下面介紹一些輔助線的添加方法知識點一：平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有 某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的 平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三 角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一

2、邊的平行線，構(gòu)造 線段平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等 積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等 第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形。例1、如圖1,在平行四邊形ABCD中，點E,F在對角線AC上，且AE二CF ,請你以F為一個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) BF（2） BF 二 DE證明：連結(jié)DB,DF ,設(shè)DB,AC交于點0四邊形ABCD為平行四邊形二AO = OC,DO = OB AE = FC二 AO - AE = OC

3、- FC 即 OE 二 OF 四邊形EBFD為平行四邊形 BF 二 DE圖1圖2第二類：平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2、如圖2,在平行四邊形 ABCD中，對角線AC和BD相交于點 O,如果AC =12，BD =10，AB=m，那么m的取值范圍是（）A 1 m <11 B 2 ： m 22C 10 ： m 12D 5 ： m ： 6解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB =CE , DC = BE，則有四邊形CDBE 為平行四邊形，：在 ACE 中,AC =12,CE =BD =10, AE =2AB =2m 12 -10 :：: 2m :：: 12 10，即卩 2 : 2m ：

4、 22 解得 1 ：: m ： 11故選 A第三類：過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形 問題。例3、已知：如圖3,四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 =AB2 BC2 CD2 DA2證明：過A, D分別作AE _ BC于點E，DF _ BC的延長線于點F AC2 = AE2 CE2 二 AB2 - BE2 (BC - BE)2 二 AB2 BC2 - 2BE BCBD2 = DF2 BF2 =(CD2 _CF2) (BC CF)2 =CD2 BC2 2BC CF貝U AC2 BD AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF -2BC BE四邊形ABCD為

5、平行四邊形二AB / CD且AB二CD , AD二BC BE 二 CF /ABC ZDCF/ . AEB 二.DFC =90°二 ABE = ：DCF AC2 BD2 =AB2 BC2 CD2 DA2FFA第四類：延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4:已知：如圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點，BE與CF 交于P點，求證：AP=AB證明：延長CF交BA的延長線于點K，四邊形ABCD為正方形 AB / CD 且 AB 二 CD , CD 二 AD ,乙 BAD 匚 BCD E D 二 90° 1又： D = DAK =90。，DF = A

6、F CDF 望 KAF1 1 AK =CD = AB T CE =CD DF =丄 AD CE = DF2 ' 2T 乙BCD=900 BCE 也 CDF 1 "2=1 三3 = 900 23 =90。 CPB =90。,貝U KPB =90。 AP 二 AB第五類：延長一邊上一點與一頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三 角形。例5、如圖5,在平行四邊形ABCD中，點E為邊CD上任一點，請你在該圖基 礎(chǔ)上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對相似三角形。解：延長AE與BC的延長線相交于F ,則有：AED s.FEC ,：FAB s FEC ,：AEDFABD第六類：把對角線交點與一邊

7、中點連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線1例6 已知：如圖6,在平行四邊形ABCD中，AN二BN ,BE =BC ,NE3 交 BD于 F，求 BF:BD 解：連結(jié)AC交BD于點O ,連結(jié)ONbd四邊形ABCD為平行四邊形 OA =OC,OB =0D二2AN=BN1 ON / 1BC 且 ON = 1 BCBEBF1)BC22.BFONFOBE BE :ON =2:323FO3BF2 BF:BD =1:5BO5綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：連對角線，平移對角線，延長一邊中點與頂點連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等圖形，為證明解決問題創(chuàng)造條件。知識點二：和菱形有關(guān)的

8、輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或 性質(zhì)定定理解決問題 例7、如圖7,在厶ABC中，/ ACB=90，/ BAC勺平分線交BC于點D, E是AB 上一點，且AE=AC EF/BC交AD于點F,求證：四邊形 CDEF是菱形.分析：要證明四邊形CDEF是菱形，根據(jù)已知條件，本題有兩種判定方法，一是 證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對角線互相垂直平分的四邊形是菱形根據(jù)AD是/ BAC勺平分線，AE=AC可通過連接CE構(gòu)造等腰三角形，借助三線 合一證明AD垂直CE.求AD平分CE.證明：連結(jié)CE交AD于點0,由AC=AE得厶ACE是等腰三角形,因為AO

9、平分/ CAE所以ACL CE且OC=O,因為EF/CD，所以/仁/ 2,又因為/ EOF" COD所以 DO（可以看成由厶FOE繞點O旋轉(zhuǎn)而成，所以O(shè)F=OD 所以CE DF互相垂直平分.所以四邊形CDEF是菱形圖7A E B例8、如圖8,四邊形ABCD1菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點， 求證EF+BF的最小值等于DE長.分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長，可以通過連結(jié)菱形的對角線 BD,借助 菱形的對角線互相垂直平分得到 DF=BF然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解 決問題證明：連結(jié)BD DF.因為AC BD是菱形的對角線，所以 AC垂直BD且平分BD 所以

10、 BF=DF 所以 EF+BF=EF+DFDE,當(dāng)且僅當(dāng)F運動到DE與AC的交點G處時，上式等號成立，所以EF+BF的最小值 恰好等于DE的長.綜上所述，菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計算題作輔助 線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對角線.知識點三：與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角 形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角 線相等這一性質(zhì)解決問題和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少例9、如圖9,已知矩形ABCD內(nèi)一點，PA=3 PB=4 PC=5.求

11、PD的長.分析：要利用已知條件，因為矩形 ABCD可過P分別作兩組對邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題解：過點P分別作兩組對邊的平行線 EF、GH交AB于E,交CD于 F,交BC于點H,交AD于G.因為四邊形ABCD1矩形，所以 PFcpdPH2, dF=aE=aP-ep2, pH+pE=bP ,所以 PD)=P(2-PH2+A-EP2=P(C+A-PB2=52+32-42=18，所以 PD=3.2.說明：本題主要是借助矩形的四個角都是直角，通過作平行線構(gòu)造四個小矩形，然后根據(jù)對角線得到直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PB、PC之間的關(guān)系，進而求到PD的長.知識點四：與正方

12、形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān) 正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解 決正方形問題的常用輔助線.例10、如圖10,過正方形ABCD勺頂點B作BE/AC，且AE=AC 又 CF/AE.求 證：/ BCF=2 / AEB.分析：由BE/AC，CF/AE,AE=AC可知四邊形AEFC是菱形，作AHL BE于H,根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形 AHBO是正方形，從AH=OB=AC可算出/ E=Z ACF=30，/ BCF=15 .證明：連接BD交AC于O,作AHL BE交BE于H.在正方形 ABCD中, AC丄 BD

13、 AO=BO 又 BE/AC, AHL BE 所以 BCL AC所以四邊形AOBH為正方形，所以AH=AO= AC因為AE=AC所以/ AEH=30 , 因為 BE/AC, AE/CF，所以 ACFE是菱形，所以/ AEFW ACF=30，因為 AC是 丄正方形的對角線，所以/ ACB=45，所以/ BCF=15，所以/ BCF=2 /AEB.說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì).通過連接正方形的對角線構(gòu)造正方形 AHBO，進一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決題. 知識點五：與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行

14、線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩 形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4） 延長兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例 11、已知如圖 11,在梯形 ABCD中, AD/BC，AB=ACZ BAC=90，BD=BC BD交AC于點0.求證：CO=CD.分析：要證明CO=CD可證明/ CODMCDO由于已知/ BAC=90，所以可通過 作梯形高構(gòu)造矩形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問題 證明：過點A D分別作AEL BC，DF丄BC，垂足分別是E、F,則四邊形AEFD為矩形，因為 AE=DF AB=AC AEL BC, / BAC=90，

15、1 1所以 AE=BE=CE=BC / ACB=45，所以 AE=DF=2， 又 DFLBC,所以在 Rt DFB中，/ DBC=30，180' -/DBC又 BD=BC 所以/ BDCM BCD= 所以/ DOCMDBC# ACB=30 +45= 75。2=75° .所以/ BDCM DOC 所以 C0=CD圖11圖12說明：在證明線段相等時，一般利用等角對等邊來證明，本題作梯形的咼將梯 形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，進而根據(jù)直角三角形知識解決例 12、如圖 12,在等腰梯形 ABCD中, AD/BC, ACL BD, AD+BC=10 DEL BC 于E.求DE的長.分析：根

16、據(jù)本題的已知條件，可通過平移一條對角線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形 和直角三角形，借助勾股定理解決解：過點D作DF/AC，交BC的延長線于F,則四邊形ACFD為平行四邊形，所以AC=DF AD=CF因為四邊形ABC助等腰梯形，所以AC=DB BD=FD，因為11 1 1DEL BC,所以 BE=EF=2 BF=2 (BC+CF)=2 (BC+AD) =2 x 10=5.因為 AC/DF,BDLAC,所以 BDL DF,因為BE=FE所以DE=BE=EF=$P DE的長為5.說明：當(dāng)有對角線或垂直成梯形時，常作梯形對角線的平行線，構(gòu)造平行四邊形， 等腰三角形或直角三角形來解決知識點六：和中位線有關(guān)輔助線的作法例13、如圖13,在四邊形ABC沖，AC于BD交于點0, AC=BD E、F分別是AB