第二章3-單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)

1、 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)：系統(tǒng)在持續(xù)的外界激勵(lì)作用下 產(chǎn)生的振動(dòng)非周期激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)周期激勵(lì)外界激勵(lì))()(sin)( 0tfTtftFtf強(qiáng)迫振動(dòng)的形式v本章討論單自由度線(xiàn)性系統(tǒng)在周期激擾（激勵(lì)或擾動(dòng)）作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)，通常稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)周期激擾的響應(yīng)。周期激擾可以是作用于振動(dòng)系統(tǒng)的周期擾力，也可以是振動(dòng)系統(tǒng)支座的周期運(yùn)動(dòng)。 Mmexc2k2k O t 2sinMxcxkxmetmxc2k2kc x y k x yytmO正弦激勵(lì)法的作用v對(duì)于實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)測(cè)量，實(shí)際上通常加一系列的正弦信號(hào)，通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的響應(yīng)，來(lái)獲得振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)，即所謂正弦激勵(lì)法，例如正弦掃頻等。 討論簡(jiǎn)諧輸

2、入意義v這種情形比較簡(jiǎn)單，而所得的結(jié)論卻有很重要的工程應(yīng)用 ；v任意的周期激擾，都可以通過(guò)Fourier級(jí)數(shù)，分解成若干個(gè)正弦型激擾的和 v利用線(xiàn)性系統(tǒng)的疊加性，可得到全響應(yīng)。例子v如右圖所示，物體沿垂直方向振動(dòng)，取物體無(wú)擾力下的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，鉛直向下為x軸正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系。受力情況如圖，其擾動(dòng)力為： O0lsxxmkk x()Ft變量說(shuō)明v擾力：v稱(chēng)為擾力的力幅 ，為常值v擾力的頻率 ，簡(jiǎn)稱(chēng)擾頻，為常值 0F0cosFFt系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程v由牛頓第二定律：v 整理v這就是無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧擾力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程。 0cosmxkxFt 0cosmxkxFt定義輔助變量v

3、令：v表示在靜力條件下，系統(tǒng)受到一個(gè)大小為 的力作用時(shí)的位移。nkm0FAk0F方程和通解的標(biāo)準(zhǔn)形式v這是一個(gè)非齊次二階常系數(shù)微分方程，根據(jù)微分方程理論，它的解由兩部分組成：22cosnnxxAt12xxx齊次解v 代表齊次微分方程 的解，簡(jiǎn)稱(chēng)齊次解，由前面的單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)可得： 1x20nxx112cossincos()nnnxBtBtBt特解v 代表方程 的一個(gè)特解，v由激擾力的形式可知方程的特解可以表示成v為： 2x22cosnnxxAt2cosxXt積分常數(shù)的確定v將 代入微分方程，可得：v并令： ，稱(chēng)為頻率比，可得： 2cosxXt222coscosnnXtAtn222211

4、nnAXA微分方程的通解122cossincos1nnAxBtBtt齊次解積分常數(shù)的確定v對(duì)通解求導(dǎo)可得122122cossincos1sincossin1nnnnnnAxBtBttAxBtBtt 應(yīng)用初始條件v由初始條件，時(shí)，初始位移和初始速度分別為：00,x x 102012020211nnABxAxBxBxB通解表達(dá)形式v將得到的 代入方程的通解表達(dá)式：v方程解可以寫(xiě)成： 12,B B0022cossincos11nnnAxAxxttt002cossincoscos1nnnnxAxxtttt解的討論v從上式可以清楚地看到，前兩項(xiàng)是由初始條件引起的自由振動(dòng)，頻率為系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)的固有

5、v頻率 ， 表示系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振v動(dòng)，與激擾力的頻率相同，振幅和初始條件無(wú)關(guān)， v 表示激擾力引起的自由振動(dòng) n2cos1At2cos1nAt對(duì)擾力引起自由振動(dòng)的討論v令初始條件： ，微分方程的解簡(jiǎn)化為：v可見(jiàn)，激擾力不但引起強(qiáng)迫振動(dòng)，同時(shí)還要引起自由振動(dòng)，二者都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但頻率不相等的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和已經(jīng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 000,0 xx2coscos1nAxtt頻率比對(duì)振幅的影響v對(duì)于周期擾動(dòng)作用下的運(yùn)動(dòng)，我們關(guān)心的主v要是強(qiáng)迫振動(dòng)， 為激擾力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)，v在 時(shí) ，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅隨著的增大無(wú)限增大，直到 時(shí)，即激擾力的頻率和系統(tǒng)的固有頻率相等的時(shí)候，理論上的振幅趨于無(wú)窮大，

6、這種現(xiàn)象稱(chēng)為共振。 2cos1At11頻率比對(duì)振幅的影響v在 時(shí)，我們將 v寫(xiě)成 ，從而保證振幅為正值。v從中可以看出，質(zhì)量 的位移與擾力正好反向，振幅隨著 的增大而無(wú)限減小。 12cos1At2cos1Atm放大率 v在靜力作用下，系統(tǒng)的靜撓度為 ，可見(jiàn)：v 體現(xiàn)了擾力的動(dòng)力作用，這個(gè)量的v絕對(duì)值記為放大率： A211211放大率-頻率比曲線(xiàn)v放大率和頻率比之間的關(guān)系，即為 v 曲線(xiàn) 123123n 的意義v 曲線(xiàn)只表示振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的情形，亦即激擾固定在某一頻率時(shí)，系統(tǒng)振幅達(dá)到定值后的情形。 共振的討論v在共振時(shí)，系統(tǒng)的振幅將達(dá)到無(wú)窮大，事實(shí)上，這是不可能的，首先，系統(tǒng)存在阻尼，在下節(jié)大

7、家將會(huì)看到，微小的阻尼就會(huì)限制振幅的無(wú)限增大。另一方面，在振幅無(wú)限增大的過(guò)程中，線(xiàn)性彈簧的假設(shè)也不再成立。共振時(shí)微分方程的特解v在 的時(shí)候，方程的特解也不再為v而應(yīng)該表示為如下形式：， n2cosxXt2cosnxBtt特解的導(dǎo)數(shù)2cossinnnnxBtBtt222sincosnnnnxBtBtt 222222sincoscos2sin2sincoscossinnnnnnnnnnnnnxxBtBttBttBtBtt 積分常數(shù)的確定v代入微分方程： ，v從而：22cosnnnxxAt22sincoscossincosnnnnnBttAtcos022cos2cos2nnnnnAtABt， 共振特

8、解的討論v方程的特解可以寫(xiě)成：v可見(jiàn)，共振的時(shí)候，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅隨著時(shí)間的增大而按比例的增大。對(duì)于許多機(jī)器，在正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其擾頻都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)系統(tǒng)的固有頻率，所以在啟動(dòng)和停止的過(guò)程中，都要通過(guò)共振區(qū)，由于共振的振幅隨時(shí)間線(xiàn)性增大，只要縮短通過(guò)共振區(qū)的時(shí)間，就可以順利通過(guò)共振區(qū)。 2cos2nnAxtt阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) v實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是有阻尼的，下面來(lái)討論有粘性阻尼的系統(tǒng)，在簡(jiǎn)諧擾力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)。 運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖和坐標(biāo)建立v如右圖所示，物體沿水平方向振動(dòng)，取物體無(wú)擾力下的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系。受力情況如圖，其擾動(dòng)力為： v其中 稱(chēng)為擾力的力幅，為常值；v 為擾

9、力的頻率，簡(jiǎn)稱(chēng)擾頻，也為常值。0cosFFt0FkxcxckxmmxO0cosFt建立微分方程v根據(jù)牛頓第二定律：v令：v方程變形為： 0cosmxFtkxcxnkm，0FAk，22cnckmm，22cnccccmkm 222cosnnnxxxAt解的組成v這是一個(gè)非齊次二階常系數(shù)微分方程，根據(jù)微分方程理論，它的解由兩部分組成 ：v其中 ，代表齊次微分方程 的解，簡(jiǎn)稱(chēng)齊次解，v 為 的一個(gè)特解，又稱(chēng)穩(wěn)態(tài)解 12xxx1x220nnxxx2x222cosnnnxxxAt齊次解的討論v當(dāng) 時(shí)，由前面的單自由度阻尼自由振動(dòng)可得：v其中： ，稱(chēng)為衰減振動(dòng)的圓頻率。v并且： 1112cossincos(

10、)nnttdddxeBtBtBet21dn22000ndxxBx，1000tanndxxx特解的討論v由于激勵(lì)為簡(jiǎn)諧的，根據(jù)微分方程的理論，上述微分方程有如下形式的特解： v將 ， ，v代入 可得：2cosxXt2cosxXt 2sinxXt 22cosxXt 222cosnnnxxxAt22212AX122tan1系統(tǒng)的全響應(yīng)v其中：222coscos()12ntdAtxBet220001000tanndndxxBxxxx， 22212122tan1AX解的討論v右端第一項(xiàng)是齊次解，代表衰減的自由振動(dòng)；第二項(xiàng)是特解，代表與擾力同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 v自由振動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后很短的時(shí)間內(nèi)迅速消失，

11、通?？梢圆患涌紤]。強(qiáng)迫振動(dòng)卻不因阻尼而衰減，它的振幅與相角也與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān) 。復(fù)頻率分析的原理v一個(gè)物體的振動(dòng)可以看作一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的投影。而一個(gè)矢量可以用一個(gè)復(fù)數(shù)來(lái)表示，對(duì)一個(gè)復(fù)數(shù)取實(shí)部和虛部就相當(dāng)于將一個(gè)矢量在實(shí)軸和虛軸上投影。用復(fù)數(shù)描述矢量，復(fù)數(shù)的模相當(dāng)于矢量的長(zhǎng)度，而輻角相當(dāng)于矢量的方向。 復(fù)頻率微分方程和穩(wěn)態(tài)解v復(fù)頻率微分方程：v穩(wěn)態(tài)解 是常數(shù) v代入微分方程可得：222j tnnnzzzAejtzZeZ2222212jnnnAAZejj 頻響函數(shù) &放大因子 v定義：v為系統(tǒng)的復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻響函數(shù)，v它的模 ：v稱(chēng)為系統(tǒng)的放大因子 21()12H jj2221(

12、)12H j放大因子的物理意義v 為放大因子v表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅與靜位移之比， v同時(shí) 是穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，彈簧力v與激振力幅值之比 ()ZH jA00()skZFH jkAF系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)v簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)就是方程v的響應(yīng)在實(shí)軸上的投影222j tnnnzzzAe ReRe()() cosjtxzA H jeA H jt頻響函數(shù)曲線(xiàn)v系統(tǒng)的復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)可以描述激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，它的模體現(xiàn)了激勵(lì)頻率對(duì)響應(yīng)幅值的影響，01234500.511.522.533.544.55=1=0.5=0.375=0.25=0.15=0.1|H(j)| =/n 輻角響應(yīng)曲線(xiàn)v輻角體現(xiàn)了激勵(lì)頻率對(duì)響應(yīng)相位

13、的影響。012345-2-1.5-1-0.500.511.52阻尼比對(duì)幅頻特性的影響v從上圖中可以看出，當(dāng) 時(shí)，放大因子沒(méi)有峰值，這時(shí)，整個(gè)頻率比范圍內(nèi)，都有： 。v把 稱(chēng)為小阻尼情況。只有在小阻尼情況下，放大因子 才在 的時(shí)候有峰值，而且 。 12()1H j12()H j0max()1H j幅頻和相頻特性的幾個(gè)特殊點(diǎn)v在 這幾個(gè)特殊點(diǎn)， 和 分別為： 0,n()H j 1(0)1,( )0,()2nHHH 0,2n 慣性力，彈性力和阻尼力關(guān)系 v系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，慣性力，彈性力和阻尼力都是與激勵(lì)同頻的簡(jiǎn)諧量，由達(dá)朗伯原理，其關(guān)系為：0cos0 + + + =0mxcxkxFt 慣性力阻尼力彈

14、性力擾力慣性力，彈性力和阻尼力的表示v慣性力：v阻尼力：v彈性力：220() cos=() cosmFmxmA H jtFH jt 0() sin=2() sindFcxc A H jtF H jt 0() cos() cossFkxkA H jtF H jt 三種情況下各力的關(guān)系圖 XXXt t t 0F0F0FsFsFdFdFmFmF0.51.02.000.25 , F constdFsFmF系統(tǒng)三個(gè)不同響應(yīng)范圍 v當(dāng) 時(shí)，擾力主要與彈性力平衡。因?yàn)榇藭r(shí)激勵(lì)的頻率很低；v當(dāng) 時(shí)，擾力的頻率遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的固有頻率，擾力主要和慣性力平衡 v當(dāng) 時(shí)，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅可能很大，唯一限制因素是系統(tǒng)的阻尼

15、。 111時(shí)v系統(tǒng)的速度、加速度都很小，相應(yīng)的阻尼力、慣性力也很小。此時(shí)： ，v由 ，響應(yīng)的振幅11,0Hj222()12AXA H jZA時(shí)v激擾力頻率很高，激擾力的方向變化過(guò)快，系統(tǒng)由于慣性無(wú)法跟隨； ，v響應(yīng)的振幅：121()0H j，2()AXA H j時(shí)v由 ，可知，在 v的時(shí)候，此時(shí)， ， 。122212AX1122放大因子的極值v由： 得到：v由于 ，v 是函數(shù) 極大值點(diǎn)。 020 12或2 12,02 12,0212222112共振和共振點(diǎn)v放大率的最大值取在 ，記 ，不但小于系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的圓頻率 ，而且也小于衰減振動(dòng)圓頻率 。v使強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅有最大值的激振力的（圓）頻

16、率，稱(chēng)為共振（圓）頻率，振動(dòng)系統(tǒng)以最大振幅進(jìn)行振動(dòng)的現(xiàn)象稱(chēng)為共振。共振時(shí)的放大率為：212212rn21dn 2121r品質(zhì)因子 v定義：v為系統(tǒng)的品質(zhì)因子v當(dāng) 的時(shí)候 ，有v因此，在阻尼比很小的時(shí)候，品質(zhì)因子和阻尼比成反比。當(dāng) 較小的時(shí)候，共振峰比較尖銳，反之比較平緩。2121rQ112Q帶寬v滿(mǎn)足方程： 的激擾力的固有頻率稱(chēng)為系統(tǒng)的半功率點(diǎn)。它的意義：當(dāng)響應(yīng)幅值降為共振振幅 時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率。v在小阻尼時(shí)，半功率點(diǎn)有兩個(gè)，記為： 并且 ，其差值： 稱(chēng)為系統(tǒng)的帶寬，它給出了共振區(qū)的范圍。 222Q1/212,1221品質(zhì)因子的作用v通過(guò)上式，在 已知的時(shí)候，可以得到系統(tǒng)的阻尼比和帶寬。 12nQ

17、Q222111()21xo xx 222111()2xxo x 振動(dòng)系統(tǒng)激擾力的功v對(duì)于阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)后，系統(tǒng)的振幅保持穩(wěn)定，此時(shí)，系統(tǒng)消耗的能量和激擾力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)輸入的能量相等。v對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)，當(dāng) 時(shí)，無(wú)能量輸入，當(dāng) 時(shí)，外力對(duì)系統(tǒng)作功，使系統(tǒng)的能量越來(lái)越大，以致振幅越來(lái)越大。11外力對(duì)系統(tǒng)作的功 v外力在振動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，對(duì)系統(tǒng)作的功為 0cosfWFt dx外力功的計(jì)算v由：v可得：v對(duì)于強(qiáng)迫振動(dòng)，相應(yīng)的一個(gè)周期為 coscosxA HjtXtsindxAH jtdt 2積分的運(yùn)算 0202202202coscoscossincossin1sin 2sin2si

18、nfWFt dxAkt dxAktAHjtdtA k HjttdtA k HjtdtA k Hj 外力的功：v由 可得：v代入前面的積分結(jié)果：122tan1j sin2Hj222222222fnncWA k HjX kkXmc X 阻尼力在一個(gè)周期作的功 sinxAHjt sindxAH jtdt 202222222220022220sinsinsinsin1cos22cWcxdxcAHjtAHjtdtcAHjtdtcXtdttcXdtc X 阻尼力功的特點(diǎn)v具有粘性阻尼的系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)的能量消耗正比于阻尼系數(shù)，激振頻率及響應(yīng)振幅的平方成正比，與系統(tǒng)的固有頻率無(wú)關(guān)。v當(dāng) 時(shí)， 2cWc

19、X 0fcWW無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)激擾力的功 v當(dāng)當(dāng) ， 時(shí)，時(shí)，v外力的功為：外力的功為：v當(dāng) ， 時(shí)，v外力的功為：外力的功為：01 cosxXt22001coscossinsin202fWAktdxAktXt dtAkXtdt 01cos2nnAxtt22022coscoscossin2212nnnPnnnnAAWAktdxAkttttdtA k等效阻尼 v實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼來(lái)自多方面，阻尼的性質(zhì)也不同。非粘性阻尼會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)成為非線(xiàn)性系統(tǒng)，微分方程的求解也就比較困難。v因此，工程上常把其他類(lèi)型的阻尼等效成粘性阻尼，稱(chēng)為等效阻尼。等效阻尼的計(jì)算v粘性阻尼每周消耗的能量 ，v再求出非粘性阻尼在一周

20、消耗的能量：v令： 即可求出等效阻尼：2cWc X 2ceeWcX cceWW2ceeWcX等效阻尼的用途v等效阻尼計(jì)算出來(lái)后，即可以當(dāng)作普通的粘性阻尼系數(shù)來(lái)使用，求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況：v其中： 02222222()12eeeAAFXH jkmc 22eeeecnccccmkm0FAk 注意v在計(jì)算過(guò)程中，我們假定振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧的，事實(shí)上，當(dāng)阻尼不再是粘性阻尼后，上述結(jié)論不再正確，但當(dāng)實(shí)際阻尼比較小，不會(huì)過(guò)分影響振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的波形時(shí)，上述方法計(jì)算的結(jié)果和精確解比較接近。例一v庫(kù)侖阻尼的等效：設(shè)物體和磨擦面的摩擦阻尼力 其中， 是磨擦系數(shù)，為常數(shù)， 為摩擦表面的正壓力，也為常數(shù)qFNN例

21、一解v由摩擦力的性質(zhì)， 總是與運(yùn)動(dòng)方向或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)反向，所以，總是做負(fù)功。在一個(gè)周期中，物體移動(dòng)的距離為qFN4X4ceWXN24ceeWNcXX例二v對(duì)于多數(shù)金屬材料，結(jié)構(gòu)阻尼導(dǎo)致的能量損失大致與位移的平方成正比，在很大范圍內(nèi)與頻率無(wú)關(guān)，試求其等效阻尼。 滯后回線(xiàn)陰影面積=每周期能量損失 F t X t例二解2ceWaX2ceeWacX帶結(jié)構(gòu)阻尼振動(dòng)微分方程v具有結(jié)構(gòu)阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程表示為：v方程的解：v在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下， 代入方程； j tamxxkxAkexj xj tamxjk xAkejtxXexj x復(fù)剛度v引入輔助變量：v方程變形為：v我們 將稱(chēng)為復(fù)剛度，該方程僅

22、適用于簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 ak1j tmxkjxAke1kj復(fù)剛度微分方程求解v將其解 ：代入方程jtxXe1j tmxkjxAke21jtj tmkjXeAke222221111jnAkAXemmkjjkAAjj結(jié)果2221AX，12tan1211Hjjmax1,2QHj，強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用 v單自由度受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)在實(shí)際中廣泛存在，下面舉幾個(gè)典型的例子。旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動(dòng) v在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，旋轉(zhuǎn)失衡是使系統(tǒng)振動(dòng)的外界激勵(lì)的主要來(lái)源，如：發(fā)動(dòng)機(jī)的曲軸，飛輪，車(chē)輪，車(chē)輛傳動(dòng)系統(tǒng)的齒輪，機(jī)床的主軸，洗衣機(jī)，空調(diào)和冰箱的壓縮機(jī)，風(fēng)扇等。旋轉(zhuǎn)失衡的主要原因是高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中轉(zhuǎn)動(dòng)部分的質(zhì)量中心和轉(zhuǎn)軸中心

23、不重合造成的。 旋轉(zhuǎn)失衡系統(tǒng)參數(shù)描述v只考慮垂直運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)總質(zhì)量為 ,失衡質(zhì)量為 ，失衡質(zhì)量與轉(zhuǎn)軸中心的距離為 ，通常稱(chēng) 為偏心距。失衡質(zhì)量與偏心距的乘積定義為失衡量：失衡量= ， 以角速度 旋轉(zhuǎn)。非旋轉(zhuǎn)質(zhì)量為 ，旋轉(zhuǎn)質(zhì)量的垂直位移為 。 MmeememMmsinxet坐標(biāo)建立v以旋轉(zhuǎn)中心的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為 軸正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，其余振動(dòng)參數(shù)見(jiàn)圖。Mmexc2k2k O t x微分方程的建立v根據(jù)牛頓第二定律，v整理可得：22sindMm xmxetkxcxdt 2sinMxcxkxmet求解v令： ，v由前面的分析，v其他的分析和前面完全相同。20Fme220nFme

24、meAkMM ImRe()() sinjtxzA H jeA H jt122tan1支撐運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng) v強(qiáng)迫振動(dòng)不一定都是由激擾力引起的，振動(dòng)系統(tǒng)支座的周期運(yùn)動(dòng)同樣可以引發(fā)強(qiáng)迫振動(dòng)。例如精密儀表受到基座振動(dòng)的影響而振動(dòng)，車(chē)輛在不平的路面上行駛引起的振動(dòng)，如果支撐的運(yùn)動(dòng)可以用簡(jiǎn)諧函數(shù)來(lái)描述，則系統(tǒng)的振動(dòng)也可以用簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)理論來(lái)分析。 系統(tǒng)描述v如圖所示的系統(tǒng)，假設(shè)物體只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，支撐點(diǎn)的位移是簡(jiǎn)諧函數(shù)，可以表示為： Recosj tyAeAt坐標(biāo)建立v取鉛垂坐標(biāo) 與 ，分別以物體和支撐靜止時(shí)的平衡位置為原點(diǎn)，向上為正，設(shè)某瞬時(shí) ，物體 有位移 與速度 ，支撐有位移 和速度 ，則物

25、體對(duì)于支撐有相對(duì)位移 與相對(duì)速度 ，因此作用于物體的彈簧力為 ，阻尼力 。 xytmxx yy xyxyk xyc xy運(yùn)動(dòng)和受力簡(jiǎn)圖mxc2k2kc x y k x yytmO微分方程的建立v由牛頓第二定律：v整理可得： 右端的兩項(xiàng)相當(dāng)于由彈簧和阻尼器傳遞的激勵(lì)力。v令： ，則原方程可以改寫(xiě)為： mxk xyc xy mxcxkxcykynkm2ckm2222nnnnxxxyy用復(fù)頻域法求解v將支座的位移 和振動(dòng)系統(tǒng)中質(zhì)量 的強(qiáng)迫振動(dòng) 表示成為復(fù)數(shù)形式：v將上述復(fù)數(shù)形式代入變形后的微分方程：ymxj tcjtcyAexXe22222jtj tnnnnjXejAe求解21212jjXeAj22

26、222222121212121212121212jjjXXeAAjjjAAjAHj計(jì)算相位角v由：v考慮Euler公式： 21212jXjeAjcossinjXXejAA22232222222121212212121212jjjjj結(jié)果v無(wú)量綱的比值： 212cosxAHjt3222tan12j212XHjA幅頻和相頻曲線(xiàn)01.02.03.04.05.01.02.03.01.002.03.04.05.0XA210.500.3750.250.150.100.05323結(jié)果討論v從公式 和上圖中都可以看出，當(dāng) 時(shí)，無(wú)論阻尼比 為何值，響應(yīng)幅值總是與激勵(lì)幅值相等。即 ，以此為分界點(diǎn)，在 和 兩個(gè)區(qū)域

27、內(nèi)，阻尼比對(duì)響應(yīng)幅值的影響不同。 22221212XA2/1XA22不同頻率比的阻尼的作用v當(dāng) ，阻尼抑制了響應(yīng)的幅值，阻尼比越大，響應(yīng)幅值越小，無(wú)論阻尼為何值有：v當(dāng) 時(shí)，阻尼比越大，響應(yīng)的幅值反而增大，無(wú)論阻尼為何值有v當(dāng)系統(tǒng)的阻尼小到可以忽略 ， ，當(dāng) v 時(shí)，質(zhì)量系統(tǒng)的位移幾乎為零 2XA2XA21AX1振動(dòng)隔離v振動(dòng)隔離是指將機(jī)器或結(jié)構(gòu)與周?chē)沫h(huán)境用減振裝置隔離，它是消除振動(dòng)危害的重要手段，實(shí)際工程應(yīng)用中分為兩大類(lèi)：積極隔振（主動(dòng)隔振）和消極隔振（被動(dòng)隔振） 積極隔振 v對(duì)于自身是振源的機(jī)器，為減少它對(duì)周?chē)h(huán)境的影響，將其與支撐它的基礎(chǔ)隔離開(kāi)，這類(lèi)隔振稱(chēng)為積極隔振（主動(dòng)隔振）。v力學(xué)

28、特點(diǎn)：激勵(lì)作用于質(zhì)量引起的振動(dòng)。要求把振源與它的基礎(chǔ)隔離（兩者之間加裝彈簧和減振器）例如：發(fā)動(dòng)機(jī)和車(chē)架之間，大型電機(jī)，沖床，汽錘等和基礎(chǔ)之間都要安裝一定的隔振裝置以減少對(duì)周?chē)h(huán)境的影響。 消極隔振： v對(duì)于受振動(dòng)影響很大的精密儀器或設(shè)備，為減少周?chē)h(huán)境振動(dòng)對(duì)其造成的影響，將其和支撐的基礎(chǔ)隔離，這類(lèi)隔振成為消極隔振。 v力學(xué)特點(diǎn)：激勵(lì)由基礎(chǔ)產(chǎn)生，振源是基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)，要求質(zhì)量 的振動(dòng)盡可能小。如：車(chē)輛的懸架，光柵刻錄儀，全息攝像系統(tǒng)。 m兩種隔振的相似點(diǎn)v都是把需要隔離的機(jī)器設(shè)備安裝在合適的具有彈性和阻尼的減振或隔振裝置上，使大部分振動(dòng)被減振裝置和隔振裝置吸收，以阻斷振動(dòng)的傳遞。 積極隔振的隔振系數(shù)

29、v 稱(chēng)為隔振系數(shù)或傳遞系數(shù)， 為隔振后系統(tǒng)傳給基礎(chǔ)的動(dòng)載荷的幅值， 為未隔振時(shí)系統(tǒng)傳給基礎(chǔ)的動(dòng)載荷的幅值，顯然 越小越好。sNPsNPs消極隔振的隔振系數(shù)v 稱(chēng)為隔振系數(shù)或傳遞系數(shù)， 為設(shè)備隔振后的振幅， 為振源振幅，顯然 也是越小越好。sXAsAXs積極減振系統(tǒng)描述v為受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)傳給基礎(chǔ)的動(dòng)載荷為彈簧和減振器對(duì)基礎(chǔ)作用力的合力。如果沒(méi)有彈簧和減振器，激勵(lì)力將直接作用于基礎(chǔ)，其幅值為 。 0F積極減振簡(jiǎn)圖和力分析 2k2kcmF2mXcXk XXFtrF微分方程和受力分析v簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)微分方程的復(fù)數(shù)形式為： v由上圖的受力分析圖，可知，彈簧和減振器對(duì)基礎(chǔ)的作用力為： trF

30、cxkx222cosnnnxxxAt合力的計(jì)算coscosxA HjtXt sin()cos() cos()trTFcxkxXtkXtFt 隔振系數(shù)v合力的幅值：v隔振系數(shù)：222220121212TNFc XkXkXkAHjFHj2012sNHjF消極隔振的隔振系數(shù)v由支撐運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)一節(jié)中的結(jié)論，相應(yīng)的幅值：v消極隔振的隔振系數(shù)為 22121212jjXXeAAHjj212sXHjA結(jié)論v當(dāng)振源為簡(jiǎn)諧量時(shí)，積極隔振和消極隔振的隔振系數(shù)計(jì)算公式相同，其與頻率比和阻尼比的關(guān)系 如右圖：01.02.03.04.05.01.02.03.01.002.03.04.05.0XA210.500.3

31、750.250.150.100.05323討論v無(wú)論阻尼大小，僅當(dāng)頻率比 才有隔振效果，隨著頻率比 的增大，隔振效果提高，實(shí)際取：v當(dāng)頻率比 ，阻尼比的增大使隔振系統(tǒng)增大，降低了隔振效果 ，但適當(dāng)?shù)淖枘峥梢员苊猱?dāng)其中含有和系統(tǒng)固有頻率接近的頻率成分造成過(guò)大的振幅。 22.552慣性式測(cè)振儀器原理v慣性式測(cè)振儀器將由彈性元件支撐的慣性質(zhì)量裝在適當(dāng)?shù)臍んw內(nèi)，限制慣性質(zhì)量沿某一直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。阻尼由殼體內(nèi)的粘性液體提供。將殼體和被測(cè)系統(tǒng)固聯(lián)，以質(zhì)量塊和殼體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)作為輸出。 慣性式測(cè)振儀器簡(jiǎn)圖xykcmz輸出的獲得v相對(duì)運(yùn)動(dòng)量可以通過(guò)安裝傳感器獲得，本圖繪制的是簡(jiǎn)單機(jī)械式，質(zhì)量塊安裝有一支畫(huà)筆，右側(cè)為一

32、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的滾筒，當(dāng)質(zhì)量塊上下運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫(huà)筆在滾筒上纏繞的紙帶上繪出軌跡，此曲線(xiàn)為相對(duì)位移 隨 變化的曲線(xiàn)， 為滾筒半徑， 為滾筒的角速度，該曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，即可得到 隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)。 zrRtRrzt坐標(biāo)的建立v設(shè)支座的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)v取支座處于平衡位置時(shí)，質(zhì)量 的平衡位置為原點(diǎn)，豎直向上為 軸正向，其絕對(duì)位移為 ，取支座的平衡位置為原點(diǎn)，豎直向上為 軸正向，與被測(cè)結(jié)構(gòu)固聯(lián)的殼體的絕對(duì)位移為 ，殼體與質(zhì)量塊的相對(duì)位移為：mxxyyzxy微分方程的建立v根據(jù)牛頓第二定律，可得微分方程：v將 代入 0mxc xyk xyzxymzczkzmy 求解v由支座為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則： 代入方程：v則方

33、程的解為： cosyYt2cosmzczkzmYt22222222cos()112 =12zZtmYZkY122tan1加速度計(jì)v當(dāng) 時(shí)， ，相對(duì)位移的幅值：v由 則： v因此： ，與支座的運(yùn)動(dòng)頻率無(wú)關(guān)1222 , 0nYZYcosyYt222Y cos ( t) =Z cos ( t)=znny 2nyZ()1H j加速度計(jì)的特點(diǎn)v固有頻率高v隨著固有頻率的增大，在其他條件不變，系統(tǒng)的響應(yīng)幅值將減小，從而使系統(tǒng)的靈敏度下降，可能會(huì)增加測(cè)量誤差。v在阻尼比很小的時(shí)候， 的范圍很窄，綜合其他因素，通常加速度計(jì)的阻尼比取為 ， ，此時(shí)，系統(tǒng)的誤差小于1%。()1H j0.700.4位移計(jì)v當(dāng) 時(shí)，

34、 ， 儀器的相對(duì)位移和激勵(lì)的位移幅值相等，此儀器用來(lái)測(cè)量振動(dòng)位移。12ZYHjYcoszYt 位移計(jì)特點(diǎn)v位移計(jì)為低頻儀器，固有頻率越低，測(cè)量的范圍越寬，但系統(tǒng)也就越笨重，安裝到待測(cè)系統(tǒng)上，會(huì)對(duì)待測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)力特性造成很大影響，從而造成誤差。轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速v某些旋轉(zhuǎn)機(jī)械在開(kāi)機(jī)與停機(jī)的過(guò)程中，當(dāng)機(jī)器的轉(zhuǎn)速經(jīng)過(guò)某個(gè)定值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)劇烈的震動(dòng)，這對(duì)機(jī)器十分有害，這個(gè)定值通常稱(chēng)為臨界轉(zhuǎn)速。為了保證機(jī)器的安全，開(kāi)機(jī)和停機(jī)的時(shí)候，必須快速通過(guò)臨界轉(zhuǎn)速區(qū)。在設(shè)計(jì)機(jī)器時(shí)，必須使轉(zhuǎn)軸的工作轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速非常接近轉(zhuǎn)軸橫向自由振動(dòng)的固有頻率。 系統(tǒng)描述v簡(jiǎn)圖如下所示，假定：轉(zhuǎn)軸在靜

35、止時(shí)，軸線(xiàn)成鉛垂，并與兩端軸承的中心線(xiàn)重合。軸承是絕對(duì)剛性的，但軸承可以在軸承內(nèi)自由偏轉(zhuǎn)，圓盤(pán)成水平，裝在軸的中點(diǎn)。軸線(xiàn)通過(guò)圓盤(pán)的幾何中心S，而圓盤(pán)的重心G，有微小的偏心距e。這樣，重力的影響可以忽略不計(jì)，而且在轉(zhuǎn)軸發(fā)生撓曲時(shí)，圓盤(pán)平面始終水平，因而可以不考慮陀螺效應(yīng)。系統(tǒng)簡(jiǎn)圖OSG e aeOGSAA向xy當(dāng)轉(zhuǎn)軸以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤(pán)的離心力使軸發(fā)生撓曲，軸承的中心線(xiàn)與盤(pán)面相交于O點(diǎn)，設(shè)軸線(xiàn)中點(diǎn)的撓度為a，則OS=a。系統(tǒng)分析v先不考慮阻尼，作用于圓盤(pán)的力只有彈性恢復(fù)力與離心力，彈性力從S指向O，大小等于ka，其中k是軸在中點(diǎn)的彈簧系數(shù)。v（對(duì)于中點(diǎn)受集中載荷的簡(jiǎn)支梁，其彈性剛度為：k=

36、48EI/L3）。v離心力沿著OG方向，指向外邊，大小和m2成正比，其中，m代表圓盤(pán)的質(zhì)量。這兩個(gè)力成為動(dòng)平衡，必須大小相同，方向相反。計(jì)算撓度v對(duì)a求解，可以得到va可以寫(xiě)成：22meakmnkmn22eak極限轉(zhuǎn)速v當(dāng)=1時(shí)，轉(zhuǎn)軸的撓度a理論上可以無(wú)限大，這個(gè)角速度，稱(chēng)為軸的臨界轉(zhuǎn)速，它等于轉(zhuǎn)軸橫向振動(dòng)的固有圓頻率。在工程上，轉(zhuǎn)速單位為：轉(zhuǎn)/分，用n表示 602n不同轉(zhuǎn)速情況下的撓度情況v轉(zhuǎn)軸中點(diǎn)的撓度a，在 時(shí)，即亞臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，與偏心距e同號(hào)，圓盤(pán)的重心G在轉(zhuǎn)軸撓曲線(xiàn)的外側(cè)；v在 時(shí)，與偏心距e同號(hào)，圓盤(pán)的重心G在轉(zhuǎn)軸撓曲線(xiàn)的外側(cè)；v當(dāng) 時(shí)，有a=e，v重心G與定點(diǎn)O重合，圓盤(pán)繞重心轉(zhuǎn)動(dòng)

37、，這個(gè)現(xiàn)象稱(chēng)為自動(dòng)定心。nnn偏心距為零時(shí)v從上述分析可以看出，除非e=0，轉(zhuǎn)軸總是彎成弓形，以角速度繞鉛垂的軸承中心轉(zhuǎn)動(dòng)。v但即使e=0，（實(shí)際不可能），轉(zhuǎn)軸仍然有臨界轉(zhuǎn)速，因?yàn)樵趀=0時(shí)，根據(jù)ka=m2(a+e)有：ka=m2a。在時(shí)，上式成為恒等式，撓度a可以為任意值， a為任意值的物理意義v當(dāng)： a可以為任意值時(shí)，轉(zhuǎn)軸失去穩(wěn)定性，任何微小的外力，都可以使轉(zhuǎn)軸有很大的撓度。可見(jiàn)理想的無(wú)偏心距的轉(zhuǎn)子，其臨界轉(zhuǎn)速和有偏心距的轉(zhuǎn)子相同。因此，在計(jì)算轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，不需要考慮轉(zhuǎn)子的偏心距。 1有阻尼的情況v再來(lái)看有阻尼的情形，假定為粘性阻尼，阻尼力的大小Fd=cv，式中v代表圓盤(pán)幾何中心S的速

38、度，阻力的方向與速度v相反。此時(shí)，O，S，G三點(diǎn)不一定共線(xiàn)。 xy xy OSG eat坐標(biāo)系的建立和微分方程v取靜止坐標(biāo)系Oxy，圓盤(pán)中心S的坐標(biāo)為（x，y）重心G的坐標(biāo)為（x+ecost, y+esint）v由牛頓第二定律： 2222cossinddxmxetkxcdtdtddxmxetkxcdtdt 微分方程的求解v令：z=x+jy可得：v響應(yīng)的振幅：v響應(yīng)的相角： 2j tmzczkzmee2222212eZeHj122tan1簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)部分作業(yè)： 闡述軍用車(chē)輛使用可變阻尼減振器的必要性 在不同路面（高頻和低頻路面）行駛，應(yīng)如 何調(diào)節(jié)阻尼，才能減小車(chē)體的振動(dòng)？1. 單自由度線(xiàn)性系統(tǒng)在

39、周期激勵(lì)周期激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 單自由度線(xiàn)性系統(tǒng)在周期激勵(lì)周期激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)11 1mxcxkkxk x實(shí)例其中，11()( )x tTx t微分方程v設(shè)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)受到一個(gè)周期為T(mén)的激勵(lì) f(t+T)=f(t)，則系統(tǒng)的微分方程可以寫(xiě)成：222( )nnnxxxf t周期強(qiáng)迫振動(dòng) v非簡(jiǎn)諧的周期激勵(lì)在工程結(jié)構(gòu)中的振動(dòng)中大量存在，一般來(lái)說(shuō)，如果周期激勵(lì)中的某一諧波的振幅比其他諧波的振幅大得多，大多可以作為簡(jiǎn)諧激勵(lì)；反之，則不行。v求解一般周期激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)問(wèn)題需要將激勵(lì)展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)，分別求出各個(gè)諧波引起的響應(yīng)，再利用疊加原理得到系統(tǒng)的響應(yīng)。 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù) 定理

40、：設(shè)周期為T(mén)的周期函數(shù) 滿(mǎn)足收斂定收斂定 理理的條件， 則它的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為其中系數(shù) 利用三角函數(shù)的正交性求出： 2222( )cos (0,1,2,)TnTntaf tdtnTT2222( )sin (1,2,3,)TnTntbf tdtnTT0122( )cossin2nnnantntf tabTT( )f t,nna b 周期激勵(lì)函數(shù)一般都滿(mǎn)足收斂定理的條件，都 可以展開(kāi)為如下形式的傅立葉級(jí)數(shù)：0101122( )cossin2 cossincos2sin2cossin2nnnnnaf tan tbn taatbtatbtan tbn t222222( )cos (0,1,2,)2(

41、 )sin (1,2,3,)TnTTnTTaf tn tdtnTbf tn tdtnT 其中 周期函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù) 的物理意義: 把一個(gè)比較復(fù)雜的周期激勵(lì)看成是許多不同不同頻率頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加疊加。 諧波分析諧波分析 頻率 稱(chēng)為基本頻率，簡(jiǎn)稱(chēng)基頻；對(duì)應(yīng)于基頻的簡(jiǎn)諧分量，稱(chēng)為基波；對(duì)應(yīng)于頻率為 ， 的簡(jiǎn)諧分量稱(chēng)為二次諧波，三次諧波，等等。 23周期激勵(lì)的處理v將f(t)展成Fourier級(jí)數(shù)：v其中的第p項(xiàng)為：v對(duì)應(yīng)的響應(yīng)為： 0( )Rejp tppf tA e( )Rejp tppftA e pxt求解 振系在簡(jiǎn)諧激勵(lì) 與 分別作用下,相應(yīng)的強(qiáng)迫振動(dòng)可依次表示為( )cosn

42、f tan t( )sinnf tbn t22222cos12nnaxn tknpnp 22222sin12nnbxn tknpnp 22arctan1nnpnp 組集總響應(yīng)v根據(jù)線(xiàn)性系統(tǒng)的疊加原理0222221cossin212nnnnnan tbn taxkknpnp 22arctan1nnpnp 結(jié)論v可以看出，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是周期函數(shù)，其周期仍然為T(mén)，并且激勵(lì)的每個(gè)諧波都只引起與自身頻率相同的響應(yīng)，這是線(xiàn)性系統(tǒng)的特點(diǎn)。v在周期激勵(lì)中，只要系統(tǒng)的固有頻率和激勵(lì)中的某一諧波頻率接近就會(huì)發(fā)生共振，因此，對(duì)于周期激勵(lì)，要避開(kāi)系統(tǒng)共振區(qū)比簡(jiǎn)諧激勵(lì)要困難。通常使用適當(dāng)增加系統(tǒng)阻尼的方式來(lái)減振。周

43、期強(qiáng)迫振動(dòng) v非簡(jiǎn)諧的周期激勵(lì)在工程結(jié)構(gòu)中的振動(dòng)中大量存在，一般來(lái)說(shuō)，如果周期激勵(lì)中的某一諧波的振幅比其他諧波的振幅大得多，大多可以作為簡(jiǎn)諧激勵(lì)；反之，則不行。 單自由度線(xiàn)性系統(tǒng)在非周期激勵(lì)非周期激勵(lì) 作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)非周期激勵(lì)非周期激勵(lì) 作用的特點(diǎn)非周期非周期強(qiáng)迫振動(dòng)求解脈沖響應(yīng)函數(shù)法傅立葉變換法拉普拉斯變換法周期激勵(lì)的特點(diǎn)v前面章節(jié)討論的激擾力，無(wú)論是外界力或是支座的位移，我們都假定激擾的函數(shù)要么為簡(jiǎn)諧，要么可以通過(guò)Fourier級(jí)數(shù)展成一系列簡(jiǎn)諧函數(shù)的和。v振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)通常指系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)，是按照激擾頻率（可以是單一的，亦可以是一系列）進(jìn)行的周期振動(dòng)。 非周期激勵(lì)的特

44、點(diǎn)v在許多實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)往往不是周期的，而是任意的時(shí)間函數(shù)，或者只是持續(xù)時(shí)間很短（相對(duì)于振動(dòng)系統(tǒng)固有周期）的沖擊。 舉例：車(chē)輛越障 非周期激勵(lì)響應(yīng)的特點(diǎn)v相應(yīng)地，瞬態(tài)激勵(lì)引起的系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)持續(xù)時(shí)間也不長(zhǎng)，但響應(yīng)的峰值往往很大，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大應(yīng)力和變形。v振動(dòng)系統(tǒng)通常沒(méi)有穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，只有瞬態(tài)振動(dòng)v在激勵(lì)消失后，振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行阻尼自由振動(dòng)，即所謂的剩余振動(dòng)。v振動(dòng)系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)，包括剩余振動(dòng)，稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)。非周期非周期強(qiáng)迫振動(dòng)求解 脈沖響應(yīng)函數(shù)法解決問(wèn)題的思路：把非周期激振力看作是一系列作用時(shí)間極短的分力的疊加；在脈沖力作用下的響應(yīng) 應(yīng)用動(dòng)量定理；總響應(yīng) 疊加原理

45、。脈沖力定義v如果F(t)的幅值很大，但作用時(shí)間很短，即 ，那么如果沖量： 仍然為通常的數(shù)量級(jí)，這種力稱(chēng)為脈沖力。v 通常硬物體之間的碰撞力、閃電、電容瞬間的放電（照相機(jī)的閃光燈）都具有脈沖力的類(lèi)似性質(zhì)。 1 FFt d t狀態(tài)描述v如果F(t)的作用時(shí)間為(，)(為任意非負(fù)實(shí)數(shù))，即當(dāng)t和t 0后，系統(tǒng)不受外力，自由振動(dòng)。系統(tǒng)受到脈沖力作用后的運(yùn)動(dòng)微分方程： 00 x0/xF m/,01cF mdtc脈沖力作用后的微分方程 v系統(tǒng)受到脈沖力作用后的運(yùn)動(dòng)微分方程：v它的解為：v這就是初始時(shí)刻靜止的系統(tǒng)在t=0時(shí)刻受到脈沖力 作用后的響應(yīng)。 000,0mxcxkxFxxm sin0ntddFx

46、tettm Ft系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù) v系統(tǒng)受到單位脈沖力作用，此時(shí)的系統(tǒng)的響應(yīng)稱(chēng)為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，用h(t)表示 ： 1sin0ntddh tettm一般脈沖響應(yīng)v顯然，在 以前靜止的系統(tǒng)在 時(shí)，受到一個(gè)單位脈沖激勵(lì)后的響應(yīng)為：tt1sinntddh tettm各時(shí)刻脈沖響應(yīng)的疊加v 時(shí)刻的脈沖力 v該脈沖力的響應(yīng)v系統(tǒng)在t時(shí)刻的響應(yīng)t把非周期激振力f（t）看作是一系列脈沖力的疊加；Ft（ ）Fh t（ ）0( )tx tFh t（ ） 0tx tFh td0 令，求和變成積分：如果系統(tǒng)初始條件不為零，即： 000,0 xxxx系統(tǒng)總的響應(yīng)為 0000cossinnttnd

47、ddxxx textth tFd脈沖響應(yīng)的意義v系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)由系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)決定。 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)反映了系統(tǒng)的振動(dòng)特性。 錘擊法 v在振動(dòng)試驗(yàn)中，有一種方法叫做錘擊法。用錘頭帶有力傳感器的錘子敲擊被測(cè)的結(jié)構(gòu)，力傳感器測(cè)出敲擊的力信號(hào)，裝在結(jié)構(gòu)上的加速度傳感器測(cè)出結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)信號(hào)，把測(cè)出的力信號(hào)和加速度信號(hào)經(jīng)過(guò)處理，可以求出系統(tǒng)的振動(dòng)參數(shù)。如固有頻率，阻尼比等。錘擊法測(cè)試速度快，所需設(shè)備少，便于現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試。 單自由度線(xiàn)性系統(tǒng)在非周期激勵(lì)非周期激勵(lì) 作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 非周期非周期強(qiáng)迫振動(dòng)求解脈沖響應(yīng)函數(shù)法傅立葉變換法拉普拉斯變換法Fourier變換方法求解 v前面講述的方法都是直接在 時(shí)域

48、中時(shí)域中 求解微分方程，得到是系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)歷程。v對(duì)于一個(gè)振動(dòng)問(wèn)題，可以用Fourier變換在頻頻率域率域 內(nèi)分析激勵(lì)頻譜，響應(yīng)頻譜以及系統(tǒng)特性的頻率域描述之間的關(guān)系。Fourier變換方法一 周期激勵(lì)的頻譜圖 0001cossinnnnf taantbnt001sinnnnaAnt22 nnnAab，nnnabarctg 2022cos TnTaf tntdtT， 2022sinTnTbf tntdtTFourier變換方法頻譜頻譜是信號(hào)中各頻率分量按頻率高低依次排列是信號(hào)中各頻率分量按頻率高低依次排列的總體。的總體。幅頻幅頻是信號(hào)中各頻率分量的幅值與頻率之間的是信號(hào)中各頻率分量的幅值與頻

49、率之間的關(guān)系。關(guān)系。相頻相頻是信號(hào)中各頻率分量的相位與頻率之間的是信號(hào)中各頻率分量的相位與頻率之間的關(guān)系。關(guān)系。Fourier變換方法()03070500A ()03050700頻域描述頻域描述 f (t)t-T/2T/20時(shí)域描述時(shí)域描述Fourier變換方法二、非周期激勵(lì)和傅里葉變換周期激勵(lì)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式為： 00221jntnnTjntnTf tc ecf t edtT 000221TjntjntjntnTnnf tc ef t edt eTFourier變換方法v譜線(xiàn)之間的頻率間隔v離散頻譜中相鄰的譜線(xiàn)無(wú)限接近，離散頻譜成為連續(xù)頻譜v離散變量 變成了連續(xù)變量，求和運(yùn)算就變成了求

50、積分運(yùn)算，于是得：2dTT 非周期信號(hào)0nFourier變換方法 22212j tj tj tj tjftjftdf tf t edt ef t edt edf t edt edfFourier變換方法稱(chēng) 為 的傅里葉變換或傅里葉積分 j tFf t edt , FfF f t 2jftF ff t edt傅里葉（正）變換Fourier變換方法稱(chēng) 為 的傅里葉逆變換，兩者互為傅里葉變換對(duì)，即 2jftf tF f edf f t F XtxFTIFT傅里葉逆變換 12j tf tFedFourier變換方法 , f t F FTIFTf tF傅里葉變換對(duì) Ff tF 1f tFF構(gòu)成傅里葉變換

51、對(duì)記為Fourier變換方法三、傅里葉變換的常用性質(zhì) 1. 線(xiàn)性疊加性 若 和 分別有傅里葉變換為 、 ，則 fX ty tx fY fbYfaXtbytaxFourier變換方法若則即把時(shí)域信號(hào)沿時(shí)間軸平移一常值t0，則使其頻域引起相應(yīng)的相移 fXtx 02 0jf tx ttXf e02 ft2. 時(shí)移特性Fourier變換方法3. 頻移特性若則v在頻域中將頻譜沿頻率軸平移一常值 ，則相當(dāng)于在對(duì) 應(yīng)時(shí)域中將信號(hào)乘以因子 。 fXtx 020ffXetxtfj0ftfje02Fourier變換方法若則 fXfjdttxdnnn2 fXtx fXfjdttxt214. 微分和積分特性Fourier變換方法5. 卷積特性若 ，則 tx1 tx2 12xxtd tx1 tx2 txx21 fXtx11 fXtx22 fX