線性代數(shù)考研講義完整版..docx

1、考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)講義目錄第一講基本概念線性方程組矩陣與向量初等變換和階梯形矩陣線性方程組的矩陣消元法第二講行列式完全展開式化零降階法其它性質(zhì)克萊姆法則第三講矩陣乘法 乘積矩陣的列向量和行向量矩陣分解矩陣方程逆矩陣伴隨矩陣第四講向量組線性表示向量組的線性相關(guān)性向量組的極大無關(guān)組和秩矩陣的秩第五講方程組解的性質(zhì)解的情況的判別基礎(chǔ)解系和通解第六講特征向量與特征值相似與對角化特征向量與特征值 概念 ,計(jì)算與應(yīng)用相似對角化 判斷與實(shí)現(xiàn)附錄一內(nèi)積 正交矩陣施密特正交化實(shí)對稱矩陣的對角化第七講二次型二次型及其矩陣可逆線性變量替換實(shí)對稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化慣性指數(shù)正定二次型與正定矩陣附錄二向量空間及其子空

2、間附錄三兩個(gè)線性方程組的解集的關(guān)系附錄四06,07 年考題1第一講基本概念1線性方程組的基本概念線性方程組的一般形式為:a11x1+a12x2+,+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+,+a2nxn=b2,a x +a x +,+a x =b ,m1 1m22mn nm其中未知數(shù)的個(gè)數(shù)n 和方程式的個(gè)數(shù)m不必相等 .線性方程組的解是一個(gè)n 維向量 (k ,k, , ,kn)( 稱為解向量 ), 它滿足 : 當(dāng)每個(gè)方程中的12未知數(shù) xi 都用 ki替代時(shí)都成為等式 .線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解 ,無窮多解 .對線性方程組討論的主要問題兩個(gè):(1)判斷解的情況.(2) 求解

3、, 特別是在有無窮多接時(shí)求通解 .b1=b2=,=bm=0 的線性方程組稱為齊次線性方程組 .n 維零向量總是齊次線性方程組的解, 稱為零解 . 因此齊次線性方程組解的情況只有兩種: 唯一解 ( 即只要零解 ) 和無窮多解 ( 即有非零解 ).把一個(gè)非齊次線性方程組的每個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)都換成0，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的 導(dǎo)出齊次線性方程組，簡稱 導(dǎo)出組 .2. 矩陣和向量(1) 基本概念矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展.由 m n 個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)m行 n 列的表格 , 兩邊界以圓括號或方括號 , 就成為一個(gè) m n型矩陣 . 例如2-101111102254-29333-

4、18是一個(gè) 45 矩陣 . 對于上面的線性方程組, 稱矩陣a11 a 12,a 1na11 a 12,a 1nb1A= a 21 a 22 , a 2n 和 ( A| )= a 21 a 22 , a 2nb2,am1am2,amnam1am2,amnbm為其 系數(shù)矩陣 和增廣矩陣 .增廣矩陣體現(xiàn)了方程組的全部信息, 而齊次方程組只用系數(shù)矩陣就體現(xiàn)其全部信息 .一個(gè)矩陣中的數(shù)稱為它的元素, 位于第 i行第 j 列的數(shù)稱為 (i,j)位元素 .元素全為0 的矩陣稱為 零矩陣 , 通常就記作 0.兩個(gè)矩陣 A 和 B 相等 ( 記作 A=B),是指它的行數(shù)相等, 列數(shù)也相等 ( 即它們的類型相同

5、),并且對應(yīng)的元素都相等 .由 n 個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n 維向量 , 稱這些數(shù)為它的 分量 .書寫中可用矩陣的形式來表示向量, 例如分量依次是a ,a, ,an的向量可表示成122a1(a 1,a 2,a n) 或a2,an請注意 , 作為向量它們并沒有區(qū)別, 但是作為矩陣, 它們不一樣 ( 左邊是 1 n 矩陣 , 右邊是n 1 矩陣 ). 習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量.( 請注意與下面規(guī)定的矩陣的行向量和列向量概念的區(qū)別.)一個(gè) m n 的矩陣的每一行是一個(gè)n 維向量 , 稱為它的行向量;每一列是一個(gè)m維向量 ,稱為它的列向量. 常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣, 例如當(dāng)矩陣A

6、 的列向量組為1,2,n 時(shí) ( 它們都是表示為列的形式!) 可記 A=(1,2,n).矩陣的許多概念也可對向量來規(guī)定, 如元素全為0 的向量稱為 零向量 , 通常也記作0. 兩個(gè)向量和 相等 ( 記作= ), 是指它的維數(shù)相等, 并且對應(yīng)的分量都相等.(2) 線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置線性運(yùn)算是矩陣和向量所共有的, 下面以矩陣為例來說明.加 ( 減 ) 法 : 兩個(gè) m n 的矩陣 A 和 B 可以相加 ( 減 ), 得到的和 ( 差 ) 仍是 m n 矩陣 , 記作A+B ( A- B), 法則為對應(yīng)元素相加( 減 ).數(shù)乘 :一個(gè) m n 的矩陣 A 與一個(gè)數(shù)c 可以相乘 , 乘積仍為 m n 的矩

7、陣 , 記作 cA, 法則為 A的每個(gè)元素乘c.這兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算, 它們滿足以下規(guī)律: 加法交換律 :A+B=B+A. 加法結(jié)合律 :( A+B)+ C=A+( B+C). 加乘分配律 :c( A+B)=c A+c B.(c+d)A=cA+dA. 數(shù)乘結(jié)合律 : c(d)A=(cd) A. c A=0c=0或 A=0.轉(zhuǎn)置 : 把一個(gè) m n 的矩陣 A 行和列互換 , 得到的 n m的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置 , 記作 AT( 或 A ).有以下規(guī)律 : ( AT) T= A. ( A+B) T=AT+BT. (c A) T=cAT.轉(zhuǎn)置是矩陣所特有的運(yùn)算 , 如把轉(zhuǎn)置的符號用在向量上 ,

8、就意味著把這個(gè)向量看作矩陣了 . 當(dāng) 是列向量時(shí),T 表示行向量, 當(dāng) 是行向量時(shí) ,T表示列向量 .向量組的線性組合:設(shè) 1,2, ,s 是一組 n 維向量 , c1,c 2, , ,c s 是一組數(shù) , 則稱c11+c+, +cs2 2s為 1,2,s 的 ( 以 c1,c 2, ,c s 為系數(shù)的 ) 線性組合 .n 維向量組的線性組合也是n 維向量 .(3)n 階矩陣與幾個(gè)特殊矩陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣, 行列數(shù)都為n 的矩陣也常常叫做n 階矩陣 .把 n 階矩陣的從左上到右下的對角線稱為它對角線 .( 其上的元素行號與列號相等.)3下面列出幾類常用的 n 階矩陣 , 它們都是考

9、試大綱中要求掌握的 .對角矩陣 :對角線外的的元素都為0的 n 階矩陣 .單位矩陣 :對角線上的的元素都為1的對角矩陣 , 記作 E( 或 I ).數(shù)量矩陣 :對角線上的的元素都等于一個(gè)常數(shù)c 的對角矩陣 , 它就是 cE.上三角矩陣 :對角線下的的元素都為0 的 n 階矩陣 .下三角矩陣 :對角線上的的元素都為0 的 n 階矩陣 .對稱矩陣 : 滿足 AT=A 矩陣 . 也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和 (j,i)位的元素總是相等的 n 階矩陣 .( 反對稱矩陣 : 滿足 AT=- A矩陣 . 也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和 (j,i)位的元素之和總等于 0 的 n 階矩陣

10、 .反對稱矩陣對角線上的元素一定都是0.)3.矩陣的初等變換和階梯形矩陣矩陣有以下三種初等行變換 : 交換兩行的位置. 用一個(gè)非0 的常數(shù)乘某一行的各元素. 把某一行的倍數(shù)加到另一行上.( 稱這類變換為倍加變換)類似地 ,矩陣還有三種初等列變換 , 大家可以模仿著寫出它們, 這里省略了 .初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換 .階梯形矩陣 : 一個(gè)矩陣稱為階梯形矩陣, 如果滿足 : 如果它有零行 , 則都出現(xiàn)在下面. 如果它有非零行, 則每個(gè)非零行的第一個(gè)非0 元素所在的列號自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞增.把階梯形矩陣的每個(gè)非零行的第一個(gè)非0 元素所在的位置稱為臺角 .簡單階梯形矩陣: 是特殊的階梯形矩陣

11、, 特點(diǎn)為 :臺角位置的元素為1.并且其正上方的元素都為0.每個(gè)矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡單階梯形矩陣. 這種運(yùn)算是在線性代數(shù)的各類計(jì)算題中頻繁運(yùn)用的基本運(yùn)算, 必須十分熟練.請注意 : 1.一個(gè)矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的, 但是其非零行數(shù)和臺角位置是確定的.2.一個(gè)矩陣用初等行變換化得的簡單階梯形矩陣是唯一的.4. 線性方程組的矩陣消元法線性方程組的基本方法即中學(xué)課程中的消元法: 用同解變換 把方程組化為階梯形方程組( 即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組). 線性方程組的同解變換有三種 : 交換兩個(gè)方程的上下位置 . 用一個(gè)非0 的常數(shù)乘某個(gè)方程. 把某個(gè)方程的倍

12、數(shù)加到另一個(gè)方程上.以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換.線性方程組求解的基本方法是消元法, 用增廣矩陣或系數(shù)矩陣來進(jìn)行, 稱為 矩陣消元法 .4對非齊次線性方程組步驟如下:(1) 寫出方程組的增廣矩陣 ( A| ), 用初等行變換把它化為階梯形矩陣( B| ).(2) 用 ( B| ) 判別解的情況 :如果最下面的非零行為(0,0,0|d),則無解 , 否則有解 .有解時(shí)看非零行數(shù)r(r不會大于未知數(shù)個(gè)數(shù)n),r=n時(shí)唯一解； r<n 時(shí)無窮多解 .( 推論 : 當(dāng)方程的個(gè)數(shù)m<n時(shí) , 不可能唯一解.)(3) 有唯一解時(shí)求解的 初等變換法 :去掉 ( B| ) 的零行 ,

13、 得到一個(gè) n× (n+1) 矩陣 ( B0| 0), 并用初等行變換把它化為簡單階梯形矩陣(E| ), 則 就是解 .對齊次線性方程組:(1) 寫出方程組的系數(shù)矩陣 A, 用初等行變換把它化為階梯形矩陣B.(2) 用 B 判別解的情況 : 非零行數(shù) r=n 時(shí)只有零解； r<n 時(shí)有非零解 ( 求解方法在第五章講). ( 推論 : 當(dāng)方程的個(gè)數(shù) m<n時(shí), 有非零解 .)討論題1. 設(shè) A 是 n 階矩陣 , 則(A) A 是上三角矩陣A是階梯形矩陣 .(B) A 是上三角矩陣A是階梯形矩陣 .(C) A 是上三角矩陣A 是階梯形矩陣 .(D) A 是上三角矩陣與A 是

14、階梯形矩陣沒有直接的因果關(guān)系.2. 下列命題中哪幾個(gè)成立 ?(1)如果 A是階梯形矩陣 , 則 A 去掉任何一行還是是階梯形矩陣 .(2)如果 A是階梯形矩陣 , 則 A 去掉任何一列還是是階梯形矩陣 .(3) 如果 ( A| B) 是階梯形矩陣 , 則 A也是階梯形矩陣 .(4) 如果 ( A| B) 是階梯形矩陣 , 則 B也是階梯形矩陣 .(5)如果A是階梯形矩陣, 則 A和 B 都是階梯形矩陣.B5第二講 行列式一 . 概念復(fù)習(xí)1. 形式和意義形式 : 用 n2 個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)n 行 n 列的表格 , 兩邊界以豎線 , 就成為一個(gè) n 階行列式 :a11a 12,a 1na21a 2

15、2,a 2n, .an1a n2,a nn如果行列式的列向量組為,2, , ,n, 則此行列式可表示為 |1, , |.12n意義 : 是一個(gè)算式 , 把這 n2 個(gè)元素按照一定的法則進(jìn)行運(yùn)算, 得到的數(shù)值稱為這個(gè)行列式的值 .請注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區(qū)別.當(dāng)兩個(gè)行列式的值相等時(shí), 就可以在它們之間寫等號 ! (不必形式一樣 ,甚至階數(shù)可不同.)每個(gè) n 階矩陣A對應(yīng)一個(gè) n 階行列式 , 記作 | |.A行列式這一講的的核心問題是值的計(jì)算, 以及判斷一個(gè)行列式的值是否為0.2. 定義 ( 完全展開式 )2階和 3階行列式的計(jì)算公式 :a 11a 12a21a 22= a 11a2

16、2-a 12a21 .aa12a1311a21a 22a 23= a 11a22a33 + a 12a23 a31 + a 13a21a32-a 13a22a31- a 11a23a32-a 12a21a33.a31a 32a 33一般地 , 一個(gè) n 階行列式a11 a 12,a 1na21 a 22,a 2n,an1 a n2,a nn的值是許多項(xiàng)的代數(shù)和, 每一項(xiàng)都是取自不同行, 不同列的 n 個(gè)元素的乘積 , 其一般形式為 :a1 ja2 janj,12n這里把相乘的n 個(gè)元素按照行標(biāo)的大小順序排列, 它們的列標(biāo) j 1j 2, j n 構(gòu)成 1,2, ,n 的一個(gè)全排列 ( 稱為一個(gè)

17、 n 元排列 ), 共有 n!個(gè) n 元排列 , 每個(gè) n 元排列對應(yīng)一項(xiàng) , 因此共有 n! 個(gè)項(xiàng) .所謂代數(shù)和是在求總和時(shí)每項(xiàng)先要乘+1 或-1. 規(guī)定 (j1 j 2,j n) 為全排列 j 1j 2,j n 的逆序數(shù)( 意義見下面 ),則項(xiàng) a1 j1 a2 j2anjn所乘的是 ( 1) ( j1 j 2jn ) .全排列的逆序數(shù)即小數(shù)排列在大數(shù)右面的現(xiàn)象出現(xiàn)的個(gè)數(shù).逆序數(shù)可如下計(jì)算 : 標(biāo)出每個(gè)數(shù)右面比它小的數(shù)的個(gè)數(shù),它們的和就是逆序數(shù). 例如求436512 的逆序數(shù) :323200436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.6至此我們可以寫出n 階行列式的值 :

18、a11 a 12,a 1na21 a 22 , a 2n =( 1) ( j1 j2 j n ) a1 j1 a2 j 2anj n .j1 j2j n,an1 a n2,a nn這里表示對所有 n 元排列求和 . 稱此式為 n 階行列式的 完全展開式 .j1 j2jn用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大. 只在有大量元素為0, 使得只有少數(shù)項(xiàng)不為0 時(shí) , 才可能用它作行列式的計(jì)算. 例如對角行列式 , 上 ( 下 ) 三角行列式的值就等于主對角線上的元素的乘積, 因?yàn)槠渌?xiàng)都為0.2. 化零降階法把 n 階行列式的第i 行和第 j 列劃去后所得到的n-1 階行列式稱為 (i,j)位元

19、素 aij 的余子式 , 記作 Mij . 稱 Aij =(-1) i+j Mij 為元素 aij 的代數(shù)余子式 .定理 ( 對某一行或列的展開) 行列式的值等于該行( 列 ) 的各元素與其代數(shù)余子式乘積之和.命題第三類初等變換( 倍加變換 ) 不改變行列式的值.化零降階法用命題把行列式的某一行或列化到只有一個(gè)元素不為0, 再用定理 . 于是化為計(jì)算一個(gè)低1 階的行列式 .化零降階法是實(shí)際計(jì)算行列式的主要方法, 因此應(yīng)該熟練掌握.3. 其它性質(zhì)行列式還有以下性質(zhì) :把行列式轉(zhuǎn)置值不變, 即| T|=| .AA某一行 ( 列 ) 的公因子可提出 .n|.于是 , |c |=c |AA對一行或一列

20、可分解, 即如果某個(gè)行 ( 列 ) 向量則原行列式等于兩個(gè)行列式之和, 這兩個(gè)行列式分別是把原行列式的該行(列)向量換為 或 所得到的行列式 . 例如| ,1+ 2|=|,1|+|,2|. 把兩個(gè)行 ( 列) 向量交換 ,行列式的值變號. 如果一個(gè)行 ( 列 ) 向量是另一個(gè)行( 列 ) 向量的倍數(shù) , 則行列式的值為0. 某一行 ( 列 ) 的各元素與另一行( 列 ) 的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和=0. 如果 A與B都是方陣 (不必同階 ), 則A * =A O=|A|B|.OB*B范德蒙行列式：形如111,1a1a2a 3,an2a22,a2a12a 3n,an-ian-in-i,an-

21、i12a 3n7的行列式 ( 或其轉(zhuǎn)置 ). 它由 a1,a 2 ,a 3, ,a n 所決定 , 它的值等于(a j ai ).i j因此范德蒙行列式不等于 0a ,a,a, , ,an兩兩不同 .123對于元素有規(guī)律的行列式( 包括 n階行列式 ), 常?？衫眯再|(zhì)簡化計(jì)算, 例如直接化為三角行列式等 .4. 克萊姆法則克萊姆法則應(yīng)用在線性方程組的方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n ( 即系數(shù)矩陣為n 階矩陣 )的情形 . 此時(shí) , 如果它的系數(shù)矩陣的行列式的值不等于0, 則方程組有唯一解, 這個(gè)解為(D1/D, D 2/D,D n/D),這里 D是系數(shù)行列式的值, Di 是把系數(shù)行列式的第i 個(gè)列

22、向量換成常數(shù)列向量所得到的行列式的值 .說明與改進(jìn) :按法則給的公式求解計(jì)算量太大，沒有實(shí)用價(jià)值. 因此法則的主要意義在理論上, 用在對解的唯一性的判斷, 而在這方面法則不夠.法則的改進(jìn) : 系數(shù)行列式不等于0 是唯一解的充分必要條件 .實(shí)際上求解可用初等變換法: 對增廣矩陣 ( A|) 作初等行變換, 使得 A 變?yōu)閱挝痪仃?:(A|)(E|),就是解 .用在齊次方程組上 : 如果齊次方程組的系數(shù)矩陣 A 是方陣 , 則它只有零解的充分必要條件是 | A| 0.二 .典型例題1. 利用性質(zhì)計(jì)算元素有規(guī)律的行列式例 1 2 a a a a 1+x 111 1+a 1 11a2a a a1 1+

23、x 112 2+a 2 2a a 2 a a .11 1+x 1 .3 3 3+a 3 .aaa 2 a111 1+x4 4 4 4+aa a a a 2例2 12345 2345134512.4512351234例 31+x111111+x21 1.111+x311111+x4例 4a 0 b c 0 a c b . b c a 0c b 0 a8例 5 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 00-1 1-a a0. (96四 )00 -1 1-aa0 0 0 -1 1-a2. 測試概念與性質(zhì)的題例 6x3-3 1 -3 2x+2多項(xiàng)式 f(x)= -7 5 -2x 1，求 f(x)

24、的次數(shù)和最高次項(xiàng)的系數(shù) .X+3 -1 33x2-29 x3 6-6例 7 求 x-3 a -1 4f(x)=5 x-802的 x4 和 x3 的系數(shù) .0 b x+1 12 2 1 x例 8設(shè)4階矩陣 A=(,1,2,3),B=(,1,2,3),|A| =2,|B|=3,求|A+B|.例 9a b c d已知行列式 x -1 -y z+1的代數(shù)余子式 A =-9,A12=3,A13=-1,A =3, 求 x,y,z.11141 -z x+3yy-2 x+1 0z+3例 10求行列式3040的第四行各元素的余子式的和.(01)22220-7005 3-2 23. 幾個(gè) n 階行列式兩類爪形行列

25、式及其值 :例 11aa2a3,an-1an1b1 c 20,00ni 1b1bi 1ai ci 1 cn .證明 0 bc0 0 =23( 1)i 1,000,bn-1 cn提示 :只用對第1 行展開 (M都可直接求出 ).1i例 12a0a 1 a 2 , a n-1a nb1c10,0 0nn證明 b 2 0 c 2 ,0 0 =a0cic1ci 1ai bi ci 1 cn .i1i 1,bn,0cn提示 :只用對第1 行展開 (M1i都可直接求出 ).另一個(gè)常見的n 階行列式 :9例13 證明a+b b0,00a a+b b,00nn 1n1,=an ibiaab( 當(dāng) a b 時(shí)

26、).i 0b000,a+b b000a a+b提示 : 把第 j 列 ( 行 ) 的 (-1) j-1倍加到第1 列 ( 行 ) 上 (j=2, ,n), 再對第 1 列 ( 行 ) 展開 .4. 關(guān)于克萊姆法則的題例 14設(shè)有方程組x1+x2+x3=a+b+c,ax1+bx2+cx 3=a2+b2+c2,bcx1+acx 2+abx 3=3abc.(1) 證明此方程組有唯一解的充分必要條件為a,b,c 兩兩不等 .(2) 在此情況求解 .參考答案例 1 (2+4a)(2-a)4. x 3(x+4). a 3(a+10).例 2 1875.例 3 x 1x2 x3x4+x2x3x4+x 1x3

27、x4+x1x2x4+x1x2x3. 例 4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例 5 1-a+a 2-a 3+a4-a 5. 例 6 9,-6 例 7 1,-10.例840.例 9 x=0,y=3,z=-1. 例 10 -28.例 14 x 1=a,x 2=b,x 3=c.10第三講矩陣一概念復(fù)習(xí)1. 矩陣乘法的定義和性質(zhì)定義 2.1當(dāng)矩陣 A 的列數(shù)和B 的行數(shù)相等時(shí) , 和 A 和 B 可以相乘 , 乘積記作 AB. AB 的行數(shù)和 A 相等 , 列數(shù)和 B相等 . AB 的 (i,j)位元素等于A 的第 i 個(gè)行向量和B 的第 j 個(gè)列向量( 維數(shù)相同 ) 對應(yīng)分

28、量乘積之和.設(shè)a11 a 12,a 1nb11 b 12,b 1sc11 c12,c 1sA=a21 a 22 ,a 2nB= b 21 b 22 ,b 2sC=AB=c21 c 22 ,c 2s,am1 a m2 ,a mn ,bn1 b n2,b ns ,cm1 c m2,c ms ,則cij =ai1 b1j +ai2 b2j +,+ain bnj .矩陣的乘法在規(guī)則上與數(shù)的乘法有不同: 矩陣乘法有條件. 矩陣乘法無交換律. 矩陣乘法無消去律, 即一般地由 AB=0 推不出 A=0 或 B=0.由 AB=AC和 A 0 推不出 B=C.( 無左消去律 ) 由 BA=CA和 A 0 推不出

29、 B=C. ( 無右消去律 )請注意不要犯一種常見的錯(cuò)誤: 把數(shù)的乘法的性質(zhì)簡單地搬用到矩陣乘法中來.矩陣乘法適合以下法則: 加乘分配律A ( B+C)=AB+AC, ( A+B) C=AC+BC. 數(shù)乘性質(zhì)(c)=c().ABAB 結(jié)合律(AB)C= A ( BC).TTT (AB)=BA.2. n 階矩陣的方冪和多項(xiàng)式任何兩個(gè) n 階矩陣 A 和 B都可以相乘 , 乘積 AB仍是 n 階矩陣 . 并且有行列式性質(zhì):| AB|=| A| B|.如果= ,則說A和B可交換 .AB BA方冪設(shè) k 是正整數(shù) , n階矩陣 A 的 k 次方冪 Ak 即 k 個(gè) A 的連乘積 . 規(guī)定 A 0 =E

30、 .顯然 A 的任何兩個(gè)方冪都是可交換的, 并且方冪運(yùn)算符合指數(shù)法則 : A k A h = A k+h . ( Ak ) h= A kh .但是一般地 ( AB) k 和 A k Bk 不一定相等 !n 階矩陣的多項(xiàng)式設(shè) f(x)=amxm+am-1xm-1+,+a1x+a0, 對 n 階矩陣 A 規(guī)定m mm-1m-1+,10f( A)=a A+aA+ a A +a E.稱為 A 的一個(gè)多項(xiàng)式 . 請?zhí)貏e注意在常數(shù)項(xiàng)上加單位矩陣E.乘法公式一般地 , 由于交換性的障礙 , 小代數(shù)中的數(shù)的因式分解和乘法公式對于n 階矩11陣的不再成立 . 但是如果公式中所出現(xiàn)的 n 階矩陣互相都是乘法交換的

31、 , 則乘法公式成立 . 例如當(dāng) A和 B可交換時(shí) ,有:( A B) 2=A2 2AB+B2;A2- B2=( A+B)( A- B)=( A+B)( A- B).二項(xiàng)展開式成立 :(A B)C AB等等 .1前面兩式成立還是A 和 B可交換的充分必要條件 .同一個(gè) n 階矩陣的兩個(gè)多項(xiàng)式總是可交換的.一個(gè) n 階矩陣的多項(xiàng)式可以因式分解 .3.分塊法則矩陣乘法的分塊法則是簡化矩陣乘法的一種方法. 對兩個(gè)可以相乘的矩陣A和 B, 可以先用縱橫線把它們切割成小矩陣 ( 一切 A 的縱向切割和 B 的橫向切割一致 !), 再用它們來作乘法.(1) 兩種常見的矩陣乘法的分塊法則A11 AA21 A

32、12 B11 B22B21 B12 = A11B11+A12B21 A 11B12+A12B2222 A21B11+A22B21 A 21 B12+A22B22要求 Aij 的列數(shù) Bjk 和的行數(shù)相等 .準(zhǔn)對角矩陣的乘法:形如A10,0A=0A2,0,0 0,nA的矩陣稱為準(zhǔn)對角矩陣, 其中 A1 , A2, , Ak 都是方陣 .兩個(gè)準(zhǔn)對角矩陣A10,0B10,0A=0 A2,0 ,B= 0B2,0,0 0,Ak00,Bk如果類型相同 ,即i 和i 階數(shù)相等 , 則ABA B 0,011AB= 0A2B2,0 .,0 0 ,Ak Bk(2) 乘積矩陣的列向量組和行向量組設(shè) A是 m n 矩

33、陣 B是 ns矩陣 . A的列向量組為 1, 2, , ,n, B的列向量組為1,2, , s,AB的列向量組為1,s, 則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出( 也是分塊法則的特殊情形):2 AB的每個(gè)列向量為 :i =A i ,i=1,2,s.即 (1,2, ,s)= (A1,A2, ,As ).A12n)T, 則 A = b1 122+,n n=(b ,b, ,b+b+b .12應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)可以得到: 如果i =(b 1i ,b 2i , ,b ni ) T, 則i =AI =b1i1+b2i2+,+bnin.即 : 乘積矩陣 AB的第 i 個(gè)列向量i 是 A的列向量組1,2, ,n 的線性組合

34、, 組合系數(shù)就是 B 的第 i 個(gè)列向量i 的各分量.類似地 , 乘積矩陣 AB 的第 i 個(gè)行向量是 B 的行向量組的線性組合 , 組合系數(shù)就是 A 的第 i 個(gè)行向量的各分量 .以上規(guī)律在一般教材都沒有強(qiáng)調(diào), 但只要對矩陣乘法稍加分析就不難得出. 它們無論在理論上和計(jì)算中都是很有用的.(1) 當(dāng)兩個(gè)矩陣中 , 有一個(gè)的數(shù)字很簡單時(shí) , 直接利用以上規(guī)律寫出乘積矩陣的各個(gè)列向量或行向量 , 從而提高了計(jì)算的速度 .(2) 利用以上規(guī)律容易得到下面幾個(gè)簡單推論:用對角矩陣從左側(cè)乘一個(gè)矩陣, 相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各行向量 ;用對角矩陣從右側(cè)乘一個(gè)矩陣, 相當(dāng)于用的對角線上的各

35、元素依次乘此矩陣的各列向量 .數(shù)量矩陣kE 乘一個(gè)矩陣相當(dāng)于用k 乘此矩陣；單位矩陣乘一個(gè)矩陣仍等于該矩陣.兩個(gè)同階對角矩陣的相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘.求對角矩陣的方冪只需把對角線上的每個(gè)元素作同次方冪.(3)矩陣分解 : 當(dāng)一個(gè)矩陣C 的每個(gè)列向量都是另一個(gè)A 的列向量組的線性組合時(shí), 可以構(gòu)造一個(gè)矩陣B, 使得 C=AB.例如設(shè)A=(,), C=(+2-,3-+,+2),令131B= 2 -10 ,則C=AB.-112(4) 初等矩陣及其在乘法中的作用對單位矩陣 E 作一次初等 ( 行或列 ) 變換 , 所得到的矩陣稱為 初等矩陣 .有三類初等矩陣 :E(i,j):交換 E 的 i

36、,j 兩行 ( 或列 ) 所得到的矩陣 .(i(c):用非 0數(shù) c 乘E的第 i 行 ( 或列 ) 所得到的矩陣 . 也就是把E的對角線上的第 iE個(gè)元素改為 c.E(i,j(c)(ij):把 E 的第 j行的 c 倍加到第 i 行上 ( 或把第 i 列的 c倍加到第 j 列上 )所得到的矩陣 , 也就是把 E 的(i,j)位的元素改為 c.命題 對矩陣作一次初等行( 列 ) 變換相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣從左(右)乘它 .4. 矩陣方程和可逆矩陣 ( 伴隨矩陣 )(1)矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法, 乘法的逆運(yùn)算是解下面兩種基本形式的矩陣方程 :(I)AX=B.(II)XA=B.這里假定 A

37、是行列式不為 0 的 n 階矩陣 , 在此條件下 , 這兩個(gè)方程的解都是存在并且唯一的.( 否則解的情況比較復(fù)雜 .)13當(dāng)B 只有一列時(shí) ,(I) 就是一個(gè)線性方程組 . 由克萊姆法則知它有唯一解. 如果B 有 s 列 ,設(shè) B=(1,2, , s ), 則 X 也應(yīng)該有 s 列 , 記 X=( X1, X2, , Xs ), 則有 AXi=i ,i=1,2, ,s, 這是s 個(gè)線性方程組 . 由克萊姆法則 , 它們都有唯一解 , 從而 AX=B 有唯一解 .這些方程組系數(shù)矩陣都是A, 可同時(shí)求解 , 即得(I)的解法 :將A和B并列作矩陣 ( |), 對它作初等行變換, 使得A變?yōu)閱挝痪仃?, 此時(shí)B變?yōu)榻?.A BX(A| B)(E|X)(II)的解法T TTT.: 對兩邊轉(zhuǎn)置化為 (I) 的形式 : A X=B . 再用解 (I) 的方法求出 X ,轉(zhuǎn)置得 X.(AT| B