有限元期末大作業(yè)答案

1、第39 頁(yè) 共 39 頁(yè). 一 等參單元及其應(yīng)用11 概述11.1 等參單元的概念11.2 等參單元的原理11.3 工程應(yīng)用的意義22 等參單元的數(shù)值積分方法32.1 數(shù)值積分方法32.2 確定積分階的原理32.3 全積分單元與減縮積分單元討論43 線性等參單元和非協(xié)調(diào)元54 等參單元的應(yīng)用6二 分析與計(jì)算61 計(jì)算題一62 計(jì)算題二73 計(jì)算題三85 計(jì)算題四9三 上機(jī)實(shí)驗(yàn)133.1 實(shí)驗(yàn)一133.1.1 實(shí)驗(yàn)題目133.1.2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?43.1.3 建模概述143.1.4 計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論153.1.5 實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié)233.2實(shí)驗(yàn)二243.2.1實(shí)驗(yàn)題目243.2.2實(shí)驗(yàn)?zāi)康?43.

2、2.3 建模概述253.2.4 計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論263.2.5 實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié)273.3實(shí)驗(yàn)三273.3.1實(shí)驗(yàn)題目273.3.2實(shí)驗(yàn)?zāi)康?73.3.3建模概述283.3.4計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論283.3.5實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié)39一、課程論文：等參單元原理及應(yīng)用1、 等參單元概述1.1概念 在有限元的學(xué)習(xí)中，我們?cè)跁旧辖?jīng)?？梢钥吹饺切螁卧八倪呅螁卧膽?yīng)用，其邊界都是直線和平面，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的曲邊和曲面外形，只能通過減小單元尺寸，增加單元數(shù)量進(jìn)行逐漸進(jìn)行逼近，這樣自由度的數(shù)目隨之增加，并且使得計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，工作量大。另外這些單元的位移模式是線性模式，是實(shí)際位移模式的最低級(jí)逼近模式，問題的求解精度

3、收到了很大的限制。從本學(xué)期書本的學(xué)習(xí)中了解到，之前介紹的各種2、3維單元主要受到兩個(gè)方面的約束：第一是單元的精度，顯然單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，單元精度越高。因此在這一點(diǎn)上，矩形單元優(yōu)于3節(jié)點(diǎn)三角形單元，六面體單元優(yōu)于四面體單元；第二是單元幾何上的限制，上述矩形和六面體單元都不能模擬任意形狀幾何體，所有幾種單元都是直線邊界，處理曲邊界幾何體誤差較大。解決上述矛盾的出路就是突破矩形單元和六面體單元幾何方面的限制，使其成為任意四邊形和任意六面體單元，如果再增加邊中間節(jié)點(diǎn)，還可以成為曲邊四邊形和曲面六面體高精度實(shí)用單元。但是這類單元位移模式和形函數(shù)的構(gòu)造和單元列式的導(dǎo)出不能沿用前面構(gòu)造簡(jiǎn)單單元的方法，必須引

4、入所謂的等參變換，采用相同的插值函數(shù)對(duì)單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)位移在單元上進(jìn)行插值。這種單元稱為等參單元。等參單元的提出對(duì)于有限元法在工程實(shí)踐中的應(yīng)用具有重要意義。1.2原理 下圖為一個(gè)4節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元，單元有8個(gè)自由度。將矩形單元放松為4節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元將帶來許多好處。但在建立單元位移模式時(shí)產(chǎn)生了新的問題：?jiǎn)卧蠜]有一個(gè)如矩形單元中的簡(jiǎn)單直接的局部坐標(biāo)系，而又不能直接用x，y坐標(biāo)系下的雙線性位移模式（位移沿邊界二次變化，不協(xié)調(diào)）。 須建立一種新的局部坐標(biāo)系-（如圖），使得4條邊的坐標(biāo)為常數(shù)（±1），則在-平面內(nèi)，單元是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形。 同時(shí)，該局部坐標(biāo)系的建立在x-y平面上

5、的任意四邊形單元與-平面上的正方形之間形成了一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系。 稱-平面內(nèi)的正方形單元為基本單元或母單元。x-y平面內(nèi)的任意四邊形單元稱為實(shí)際單元。顯然，母單元的節(jié)點(diǎn)相應(yīng)于不同的x， y坐標(biāo)就得到不同的任意四邊形單元。 圖1 4節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元及其母單元 建立了局部坐標(biāo)系或映射后，我們只需要在-平面上的母單元中描述實(shí)際單元的位移模式和力學(xué)特性。任意四邊形單元在母單元中的位移模式（或者稱為-坐標(biāo)系下的位移模式）與矩形單元相同： 當(dāng)然，該位移模式在x，y坐標(biāo)系下不是雙線性位移模式，位移沿單元邊界線性變化，能保證單元的協(xié)調(diào)性。 為了得到上述映射的數(shù)學(xué)表達(dá)，引入對(duì)母單元節(jié)點(diǎn)上x，y坐標(biāo)進(jìn)行插

6、值的思想，將母單元上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x，y坐標(biāo)看成是對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的插值，插值函數(shù)與位移插值中的形函數(shù)相同： 這樣就得到了一個(gè)事實(shí)上的映射，該映射是用母單元描述實(shí)際單元力學(xué)特性的橋梁。由于該幾何變換式中采用了與位移模式相同的參數(shù)（插值函數(shù)），因此稱為等參變換。而所有采用等參變換的單元都稱為等參單元。1.3工程應(yīng)用的意義 由于等參變換的采用使等參單元的剛度、質(zhì)量、阻尼、載荷等特性矩陣的計(jì)算仍在原單元的規(guī)則域內(nèi)進(jìn)行，因此不管各個(gè)積分式的被積函數(shù)如何復(fù)雜，都可以方便地采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法進(jìn)行計(jì)算，從而使各類不同工程實(shí)際問題的有限元分析納入了統(tǒng)一的通用化的程序。借助于等參元可以對(duì)一般的任意幾何形狀的工程問

7、題和物理問題方便地進(jìn)行有限元離散。因此，等參元的提出為有限元法成為現(xiàn)代工程實(shí)際領(lǐng)域最有效的數(shù)值分析方法邁出了重要的一步。2、等參單元數(shù)值積分方法2.1、數(shù)值積分方法 等參單元?jiǎng)偠染仃嚨谋环e函數(shù)形式往往比較復(fù)雜，一般都不能進(jìn)行顯示積分而需求助于數(shù)值積分。計(jì)算單元特性矩陣的方法有Newton-Cotes積分、高斯積分、Irons積分、Hammer積分等。為了減少積分點(diǎn)的數(shù)目和便于程序編制，一般采用高斯數(shù)值積分方法。 高斯積分：一維高斯數(shù)值積分公式： 積分點(diǎn) 積分點(diǎn)數(shù)目，積分階 權(quán)重系數(shù)結(jié)論：n階高斯積分公式對(duì)2n-1次多項(xiàng)式被積函數(shù)可求得精確積分！ 同理，對(duì)二維高斯積分： 積分公式對(duì)，方向最高方次

8、為2n-1的多項(xiàng)式可求得精確值。2.2、確定積分階的原理 （1）保證剛度矩陣積分精度的積分階選擇 完全積分方案選擇積分階的基本考慮是保證被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分，這種積分方案稱為完全積分方案。以二維單元?jiǎng)偠染仃嚫咚箶?shù)值積分為例：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚍楦鶕?jù)這個(gè)原理，具有規(guī)則形狀的單元（|J|=常數(shù)）完全積分方案如下：二維4節(jié)點(diǎn)、三維8節(jié)點(diǎn)等參元分別是2×2、2×2×2積分；二維8節(jié)點(diǎn)、三維20節(jié)點(diǎn)等參元分別是3×3、3×3×3積分。對(duì)于|J| 常數(shù)，需要增加積分階數(shù)。2）減縮積分方案實(shí)際應(yīng)用中選取的積分階往往可以低于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需

9、要的階數(shù)，這種積分方案稱為減縮積分。對(duì)二、三維連續(xù)體單元，通常按形函數(shù)中完全多項(xiàng)式階數(shù) p 來選取積分階，即取 n=p。根據(jù)這個(gè)原理，具有規(guī)則形狀的單元（|J|=常數(shù)）減縮積分方案如下：二維4節(jié)點(diǎn)、三維8節(jié)點(diǎn)等參元分別是1×1、1×1×1積分；二維8節(jié)點(diǎn)、三維20節(jié)點(diǎn)等參元分別是2×2、2×2×2積分。實(shí)際計(jì)算表明，采用減縮積分往往可以取得較完全精確積分更好的精度。（2）保證結(jié)構(gòu)總剛度矩陣非奇異的積分階選擇 數(shù)值積分條件下剛度矩陣的秩單元?jiǎng)偠染仃嚁?shù)值計(jì)算公式為：根據(jù)矩陣秩的基本規(guī)則有，是高斯積分點(diǎn)數(shù)秩 ，為保證正確求解，數(shù)值積分的秩不

10、能小于，即，是系統(tǒng)的獨(dú)立自由度數(shù)，也就是系數(shù)矩陣的階數(shù)。因此系數(shù)矩陣非奇異的必要條件是。 減縮積分情況下剛度矩陣的奇異性減縮積分得到的往往缺秩，即是奇異的，即存在單元發(fā)生非剛體位移模式情況下，單元應(yīng)變能為零的情況零能模式（沙漏模式）。因此要注意檢查奇異性的必要條件，即。2.3、全積分單元與減縮積分單元討論 雖然減縮積分會(huì)出現(xiàn)零能模式，但在實(shí)際計(jì)算中減縮積分應(yīng)用的十分廣泛。實(shí)際計(jì)算表明減縮積分往往可以取得較完全精確積分更好的精度。這是主要由于：(1) 精確積分常常是由插值函數(shù)中非完全項(xiàng)的最高方次所要求，而決定有限元精度的，通常是完全多項(xiàng)式的方次。這些非完全的最高方次項(xiàng)往往并不能提高精度，反而可能

11、帶來不好的影響。取較低階的高斯積分，使積分精度正好保證完全多項(xiàng)式方次的要求，而不包括更高次的非完全多項(xiàng)式的要求，其實(shí)質(zhì)是相當(dāng)于用一種新的插值函數(shù)替代原來的插值函數(shù)，從而一定情況下改善了單元的精度。(2) 在最小位能原理基礎(chǔ)上建立的位移有限元，其解答具有下限性質(zhì)。即有限元的計(jì)算模型具有較實(shí)際結(jié)構(gòu)偏大的整體剛度。選取減縮積分方案將使有限元計(jì)算模型的剛度有所降低，因此可能有助于提高計(jì)算精度。(3) 減縮積分方案對(duì)于泛函中包含罰函數(shù)的情況也常常是必須的，用以保證和罰函數(shù)相應(yīng)的矩陣的奇異性，否則將可能導(dǎo)致完全歪曲了的結(jié)果。由于減縮積分單元的特性，因此在使用時(shí)須注意一些問題，在網(wǎng)格扭曲嚴(yán)重的情況下，優(yōu)先使

12、用網(wǎng)格細(xì)化的線性減縮積分單元，對(duì)于接觸問題，采用細(xì)網(wǎng)格的線性減縮積分單元，對(duì)于規(guī)則單元等選用完全積分單元。3、線性等參單元在ANSYS軟件中采用等截面懸臂梁端部受彎矩，求端部位移的平面應(yīng)力問題來說明全積分、減縮積分線性等參單元在計(jì)算精度、剪力自鎖、零能模式與總剛的奇異性等方面的差異。懸臂梁左端固定，右端受一大小為M6 N·m的彎矩。梁的長(zhǎng)度l=0.3m,橫截面高度h=0.03m，寬度b=0.01m。材料為鋼，彈性模量E=210GPa，泊松比u=0.3，速度的理論解：（1）采用ANSYS14.0中的PLANE182完全積分雙線性單元，計(jì)算結(jié)果如下：?jiǎn)卧?×102×2

13、04×208×40PLANE1820.386e-40.521e-40.520e-40.561e-4（2）采用ANSYS14.0中的PLANE182減縮積分單元，計(jì)算結(jié)果如下：?jiǎn)卧?×102×204×208×40PLANE1820.1590.756e-40.614e-40.588e-4從計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：雖然與理論計(jì)算結(jié)果有差異，但是在網(wǎng)格劃分密度相當(dāng)?shù)那闆r下，完全積分的計(jì)算結(jié)果較為精確 這是由于完全積分的線性單元出現(xiàn)了剪力自鎖，剪力自鎖引起單元在彎曲時(shí)過于剛硬，造成應(yīng)變偏小，同時(shí)隨網(wǎng)格的加密，剪力自鎖效應(yīng)可以得到改善，但與實(shí)際結(jié)果偏差仍較

14、大。而減縮積分單元存在沙漏問題（零能模式），使得結(jié)構(gòu)過于柔軟，變形偏大，甚至在在粗劃網(wǎng)格情況下，產(chǎn)生無意義的結(jié)果，但在加密網(wǎng)格后，結(jié)果能夠改善，但依然偏大。非協(xié)調(diào)元在一次單元中引入了非節(jié)點(diǎn)的附加自由度，克服了剪力自鎖和零能模式的不良影響，可以產(chǎn)生與二次單元相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果，而計(jì)算量卻明顯的降低，但其對(duì)于單元的過度變形很敏感，可能影響結(jié)果，所以在網(wǎng)格劃分上，對(duì)于使用者有著較高的要求。4、等參單元的應(yīng)用 等參單元通常用來模擬二維、三維實(shí)體單元。應(yīng)用時(shí)可選擇線性位移模式或二次位移模式，完全積分或減縮積分。二維四邊形和三維六面體線性單元有非協(xié)調(diào)位移模式可選擇。 平面問題中的單元使用一般應(yīng)力分析，優(yōu)先使用8節(jié)

15、點(diǎn)四邊形二次單元（減縮積分、完全積分），其次使用四節(jié)點(diǎn)非協(xié)調(diào)元、6節(jié)點(diǎn)三角形二次單元，但非協(xié)調(diào)元要避免扭曲的單元形狀。在網(wǎng)格扭曲嚴(yán)重的情況下，優(yōu)先使用網(wǎng)格細(xì)化的線性減縮積分單元。有彎曲變形情況下，避免使用4節(jié)點(diǎn)雙線性位移模式完全積分單元。因?yàn)樵搯卧屑袅ψ枣i，會(huì)引起單元彎曲時(shí)過于剛硬。對(duì)于接觸問題，采用細(xì)網(wǎng)格的線性減縮積分單元或者非協(xié)調(diào)模式單元。 三維問題中的單元選擇對(duì)于中小規(guī)模的一般結(jié)構(gòu)分析，優(yōu)先采用20節(jié)點(diǎn)六面體減縮積分、完全積分單元，應(yīng)力集中區(qū)域，應(yīng)采用完全積分單元。對(duì)大規(guī)模分析或接觸問題，優(yōu)先采用8節(jié)點(diǎn)六面體非協(xié)調(diào)模式單元。網(wǎng)格扭曲嚴(yán)重的情況下，應(yīng)使用細(xì)網(wǎng)格8節(jié)點(diǎn)六面體減縮積分單元。要

16、求快速建模情況下，可考慮采用10節(jié)點(diǎn)四面體二次單元，但得到的模型規(guī)模（節(jié)點(diǎn)數(shù)）大于等效網(wǎng)格的六面體單元，否則結(jié)果不精確。二、分析與計(jì)算1、證明平面4節(jié)點(diǎn)等參元滿足收斂的協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則。（10分）證明：任意四邊形單元在母單元中的位移模式（或者稱為-坐標(biāo)系下的位移模式）與矩形單元相同： （1） （i=1,2,3,4） 該位移模式在x，y坐標(biāo)系下不是雙線性位移模式，位移沿單元邊界線性變化，能保證單元的協(xié)調(diào)性。在實(shí)際單元中取四個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)（）為參數(shù)，用上式的形函數(shù)構(gòu)造插值函數(shù)，建立用坐標(biāo)變量確定實(shí)際單元中任一點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）的關(guān)系式： （2） 這樣可以將局部坐標(biāo)系中矩形單元的節(jié)點(diǎn)變?yōu)檎w坐標(biāo)系中任意四邊形

17、單元的對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)。位移模式（1）在單元邊界上線性變化，并且根據(jù)單元公共邊界上兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位移插值得到，因此單元的協(xié)調(diào)性得到滿足。同理，坐標(biāo)變換式（2）也能保證變換后的實(shí)際圖形仍然保持單元公共邊界上的坐標(biāo)值處處相同，滿足收斂的協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則。 2、計(jì)算圖示平面等參單元在2-6-3邊作用均布水平載荷q時(shí)的等效節(jié)點(diǎn)力。單元厚度為t。（10分）由題意可知，建立如圖2.1所示直角坐標(biāo)系圖2.1直角坐標(biāo)下的平面等參單元由于只有2-6-3邊受均布載荷作用，故只有2、6、3這三個(gè)節(jié)點(diǎn)有等效節(jié)點(diǎn)力，由8節(jié)點(diǎn)平面等參單元的形函數(shù)可得： 由x-y坐標(biāo)系與坐標(biāo)系重合，O點(diǎn)為兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則有如下的坐標(biāo)變換又因?yàn)?-6-3邊對(duì)

18、應(yīng)=-1，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得作用在邊界上的面積力為T=q，單元等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式為：=,其中 N= 將N和T代入上式得3、證明平面問題三節(jié)點(diǎn)三角形單元發(fā)生剛體位移（小位移平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）時(shí)，單元中將不產(chǎn)生應(yīng)力。（10分）證明：設(shè)3節(jié)點(diǎn)單元在x方向有剛性位移，y方向有剛性位移，則有位移列陣為 應(yīng)變系數(shù)行列式 得 所以 可得 ，同理 應(yīng)變矩陣 應(yīng)力矩陣 ，即單元中不產(chǎn)生應(yīng)力。5、如圖示一根直桿，長(zhǎng)度2L，截面積A，彈性模量E。桿受到沿軸向的線分布力：q=cx。試用2個(gè)3節(jié)點(diǎn)一維桿單元求解其位移、應(yīng)力。要求推導(dǎo)詳細(xì)的有限元求解列式，設(shè)置合理的參數(shù)值將求解結(jié)果繪制成曲線，并與精確解進(jìn)行對(duì)比分析。（10分）解：將

19、直桿分成兩個(gè)單元，在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)簡(jiǎn)單的位移場(chǎng)。單元1中根據(jù)單元內(nèi)3個(gè)節(jié)點(diǎn)上的位移未知量進(jìn)行插值得到單元上任意點(diǎn)的位移，設(shè) ，由此可得當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，聯(lián)立方程解得 對(duì)單元2也同樣可得到插值函數(shù)形式的假定線性位移場(chǎng)。單元2： 在兩個(gè)單元分別進(jìn)行總勢(shì)能計(jì)算有單元內(nèi)有 計(jì)算可得 所以一個(gè)單元內(nèi)的應(yīng)變能為：其中 單元2的與單元1相同。兩個(gè)單元桿上的載荷分別為：代入外力功積分式，對(duì)兩個(gè)單元計(jì)算外力功。單元1： 單元2： 位移 系統(tǒng)總勢(shì)能表達(dá)為 應(yīng)用駐值條件：，得到節(jié)點(diǎn)平衡方程：即可得 考慮到 ，并劃去第一個(gè)方程，解出其余四個(gè)方程得到：，對(duì)于一維桿的精確解為：位移精確解： 應(yīng)力的精確解：用MATL

20、AB繪制位移和應(yīng)力曲線圖如下： 圖 5.1 從上圖可以看出，單元1,2的理論解與精確解幾乎重合，說明3節(jié)點(diǎn)的桿單元的解有很高的精度。 圖 5.2 從上圖可以看出，單元1,2的理論解逼近精確解，說明3節(jié)點(diǎn)桿單元解應(yīng)力也很準(zhǔn)確。綜上所述得到的位移場(chǎng)在一般位置上均為近似解。單元應(yīng)力由公式：得到。三、上機(jī)實(shí)驗(yàn)3.1實(shí)驗(yàn)一3.1.1實(shí)驗(yàn)題目1、圖示一個(gè)簡(jiǎn)支梁平面應(yīng)力模型。梁截面為矩形，高度h=160mm，長(zhǎng)度L=1000mm，厚度t=10mm。上邊承受均布?jí)毫 =1N/mm2，材料E=206GPa，=0.29。X方向正應(yīng)力彈性力學(xué)理論解為：分別應(yīng)用3節(jié)點(diǎn)三角形單元、4節(jié)點(diǎn)線性等參元（完全積分、減縮積分

21、、非協(xié)調(diào)模式）、8節(jié)點(diǎn)二次等參元進(jìn)行下列數(shù)值實(shí)驗(yàn)：1）用較粗單元網(wǎng)格求解梁中部應(yīng)力分量的最大值和上下邊法向應(yīng)力分量，并對(duì)計(jì)算精度進(jìn)行比較；2）用密網(wǎng)格進(jìn)行上述計(jì)算并比較計(jì)算精度；3）對(duì)粗網(wǎng)格下梁中部最大位移進(jìn)行對(duì)比和分析?？偨Y(jié)出研究結(jié)論，撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。3.1.2實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）掌握平面應(yīng)力問題下的有限元解法，學(xué)習(xí)如何使用ANSYS軟件對(duì)三節(jié)點(diǎn)三角形單元和四節(jié)點(diǎn)線性等參單元（完全積分、減縮積分、非協(xié)調(diào)模式）及八節(jié)點(diǎn)二次等參單元進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。并會(huì)使用軟件進(jìn)行有限元的幾何建模、網(wǎng)格劃分、載荷施加、運(yùn)算求解以及后處理。通過實(shí)驗(yàn)比較單元網(wǎng)格粗細(xì)和算法的選擇對(duì)求解精度的影響；（2）通過實(shí)驗(yàn)比較3節(jié)點(diǎn)三角形單

22、元、4節(jié)點(diǎn)線性等參元和理論解的差異，學(xué)習(xí)網(wǎng)格密度對(duì)系統(tǒng)求解精度的影響，考察有限元解的收斂性。3.1.3建模概述（1） 選用單元類型對(duì)于3節(jié)點(diǎn)三角形單元和4節(jié)點(diǎn)線性等參元選用solid182單元，并對(duì)solid182單元的算法進(jìn)行相應(yīng)設(shè)置。對(duì)于8節(jié)點(diǎn)二次等參元?jiǎng)t采用solid182單元對(duì)應(yīng)的高階單元solid183單元。（2） 設(shè)定材料屬性 創(chuàng)建材料，創(chuàng)建截面屬性，并給部件賦予截面屬性設(shè)定材料參數(shù)E=206GPa，=0.29。（3） 建模由于問題具有對(duì)稱性，建模時(shí)只需以其中的一個(gè)平面來建模。建立長(zhǎng)度為1m，高度為0.16m的平面四邊形區(qū)域。（4） 劃分網(wǎng)格為單元分配屬性并劃分成單元。（5） 施加

23、載荷選擇圖元左側(cè)中點(diǎn)并限制全部自由度以及右側(cè)中點(diǎn)Y方向的自由度。選擇圖元上表面并施加壓強(qiáng)q=106N/m。（6） 提交計(jì)算（7） 查看結(jié)果3.1.4計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論1）理論解X方向正應(yīng)力由下式計(jì)算：已知q=1N/mm2,h=160mm,L=1000mm，代入上式得2） 粗網(wǎng)格（）情況下應(yīng)力分析結(jié)果如下：圖1粗網(wǎng)格三角形單元 圖2粗網(wǎng)格四邊形單元圖3三角形單元應(yīng)力云圖圖4三角形單元上邊法向應(yīng)力 圖5三角形單元下邊法向圖6四邊形全積分單元應(yīng)力云圖 圖7四邊形全積分單元上邊法向應(yīng)力 圖8四邊形全積分單元下邊法向應(yīng)力 圖9四邊形減縮積分單元應(yīng)力云圖 圖10四邊形減縮積分單元上邊法向應(yīng)力 圖11四邊形

24、減縮積分單元下邊法向應(yīng)力圖12非協(xié)調(diào)元應(yīng)力云圖 圖13非協(xié)調(diào)元上邊法向應(yīng)力 圖14非協(xié)調(diào)元下邊法向應(yīng)力圖15二次等參元應(yīng)力云圖 圖16二次等參元上邊法向應(yīng)力 圖17二次等參元下邊法向應(yīng)力現(xiàn)將粗網(wǎng)格下梁中部應(yīng)力分量x的最大最小值列于下表：?jiǎn)卧愋腿切螁卧e分單元減縮積分非協(xié)調(diào)元二次等參元xmax(MPa)12.725.519.128.729.6xmin(MPa)-12.6-25.5-19.1-28.7-29.6從計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在粗網(wǎng)格劃分情況下，二次等參元計(jì)算精度最高，其次是非協(xié)調(diào)元，其它單元計(jì)算誤差均非常大，尤其是減縮積分單元，產(chǎn)生了嚴(yán)重的沙漏，影響了計(jì)算的精確性。粗網(wǎng)格下梁中部最大位移如

25、下表所示單元類型三角形單元全積分單元減縮積分非協(xié)調(diào)元二次等參元最大位移0.131mm0.165mm1.055mm0.193mm0.197mm由表可知二次等參元和非協(xié)調(diào)元的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)，而減縮積分單元存在嚴(yán)重的沙漏，變形嚴(yán)重失真，完全不能反映實(shí)際情況。其次還可發(fā)現(xiàn)全積分單元計(jì)算精度比三角形單元高。通過網(wǎng)格加密后，在密網(wǎng)格（）的情況下的應(yīng)力分析結(jié)果如下圖所示，密網(wǎng)格三角形單元：圖1密網(wǎng)格三角形單元圖 2密網(wǎng)格三角形單元圖3三角形單元應(yīng)力云圖 圖4三角形單元上邊法向應(yīng)力 圖5三角形單元下邊法向應(yīng)力圖6四邊形全積分單元應(yīng)力云圖 圖7四邊形全積分單元上邊法向應(yīng)力 圖8四邊形全積分單元下邊法向應(yīng)力圖9四邊

26、形減縮積分單元應(yīng)力云圖 圖10四邊形減縮積分單元上邊法向應(yīng)力 圖11四邊形減縮積分單元下邊法向應(yīng)力圖12非協(xié)調(diào)元應(yīng)力云圖 圖13非協(xié)調(diào)元上邊法向應(yīng)力 圖14非協(xié)調(diào)元下邊法向應(yīng)力圖15二次等參元應(yīng)力云圖 圖16二次等參元上邊法向應(yīng)力 圖17二次等參元下邊法向應(yīng)力現(xiàn)將密網(wǎng)格下梁中部應(yīng)力分量x的最大最小值列于下表：?jiǎn)卧愋腿切螁卧e分單元減縮積分非協(xié)調(diào)元二次等參元xmax(MPa)27.829.726.129.529.5xmin(MPa)-27.8-29.7-26.1-29.5-29.5從計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在細(xì)網(wǎng)格劃分情況下，各單元均取得了較理想的計(jì)算結(jié)果，尤其是二次等參元和非協(xié)調(diào)元，兩者取得了和理

27、論解相一致的解。3.1.5實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié)通過此次實(shí)驗(yàn)，并且結(jié)合了書本上的知識(shí)以及仿真軟件的運(yùn)用，使得我對(duì)三角形單元、四邊形完全積分單元、四邊形減縮積分單元、非協(xié)調(diào)元和二次等參元有了深刻認(rèn)識(shí)，尤其是減縮積分單元。減縮積分單元在計(jì)算時(shí)會(huì)產(chǎn)生沙漏，因此對(duì)這類單元應(yīng)使用足夠密的單元網(wǎng)格。另外還可以看出在結(jié)構(gòu)分析計(jì)算中進(jìn)行數(shù)值積分時(shí)，積分單元、積分方法、積分階次、網(wǎng)格密度的不同選擇會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的差異。如果單元算法選擇不當(dāng)，除影響到計(jì)算精度外，還有可能導(dǎo)致計(jì)算的失敗。3.2實(shí)驗(yàn)二3.2.1 實(shí)驗(yàn)題目圖示一管接頭，內(nèi)壁受均勻壓力。自行建立其三維幾何模型，運(yùn)用二次六面體單元對(duì)其建模并求解。要求利用對(duì)稱性，自

28、行設(shè)置載荷大小和位移約束條件,并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。（10分）3.2.2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）掌握平面應(yīng)力問題下的有限元解法，學(xué)習(xí)如何使用軟件對(duì)二次六面體等參單元進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。并會(huì)使用軟件進(jìn)行有限元的幾何建模、網(wǎng)格劃分、載荷施加、運(yùn)算求解以及后處理。3.2.3 建模概述 （1）首先建立管接頭實(shí)體模型，建模從Solidworks建好，尺寸如下：大管道外徑D1=80mm，內(nèi)徑d1=70mm,小管道外徑D2=40mm,內(nèi)徑=30mm,長(zhǎng)度為100mm，且管接頭參數(shù)如下：內(nèi)壁承受均布?jí)毫=20N/mm2,材料E=200Gpa, =0.3,模型如下： 圖 1 管接頭實(shí)體模型（2）設(shè)置有限單元類型。選擇類型為C3D20。（3）定義材料屬性。 （4）進(jìn)行網(wǎng)格劃分。 圖 2 網(wǎng)格劃分圖3.2.4 計(jì)算結(jié)果與分析 進(jìn)行仿真之后所得的應(yīng)力云圖如下圖： 圖 3 管接頭應(yīng)力云圖3.2.5 實(shí)驗(yàn)總結(jié)