數(shù)值分析冪法課程設(shè)計(jì)用冪法求矩陣的最大特征值

1、課 程 設(shè) 計(jì) 報(bào) 告課程名稱 計(jì)算方法課程設(shè)計(jì) 課題名稱 用冪法求矩陣的最大特征值 專 業(yè) 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 指導(dǎo)教師 目錄1.設(shè)計(jì)內(nèi)容與設(shè)計(jì)要求32. 問題的描述及算法設(shè)計(jì)43. 算法的流程圖44. 算法的理論依據(jù)及其推導(dǎo)45. 相關(guān)的數(shù)值結(jié)果86. 數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析9 7.附件10 8.總結(jié)12一、設(shè)計(jì)內(nèi)容與設(shè)計(jì)要求1設(shè)計(jì)內(nèi)容： 對(duì)課程計(jì)算方法中的常見算法進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)或應(yīng)用（具體課題題目見后面的供選題目）。2設(shè)計(jì)要求：l 課程設(shè)計(jì)報(bào)告正文內(nèi)容a. 問題的描述及算法設(shè)計(jì)；b. 算法的流程圖（要求畫出模塊圖）；c. 算法的理論依據(jù)及其推導(dǎo)；d. 相關(guān)的數(shù)值結(jié)果（通過程序調(diào)試)，；e.

2、 數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析；f. 附件（所有程序的原代碼，要求對(duì)程序?qū)懗霰匾淖⑨專 書寫格式a要求用a4紙打印成冊(cè)b正文格式：一級(jí)標(biāo)題用3號(hào)黑體,二級(jí)標(biāo)題用四號(hào)宋體加粗,正文用小四號(hào)宋體;行距為22。c正文的內(nèi)容:正文總字?jǐn)?shù)要求在3000字左右（不含程序原代碼）。d封面格式如下頁。l 考核方式指導(dǎo)老師負(fù)責(zé)驗(yàn)收程序的運(yùn)行結(jié)果，并結(jié)合學(xué)生的工作態(tài)度、實(shí)際動(dòng)手能力、創(chuàng)新精神和設(shè)計(jì)報(bào)告等進(jìn)行綜合考評(píng)，并按優(yōu)秀、良好、中等、及格和不及格五個(gè)等級(jí)給出每位同學(xué)的課程設(shè)計(jì)成績(jī)。具體考核標(biāo)準(zhǔn)包含以下幾個(gè)部分：a平時(shí)出勤 （占10%）b系統(tǒng)需求分析、功能設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及程序總體結(jié)構(gòu)合理與否（占10%）c程序能

3、否完整、準(zhǔn)確地運(yùn)行，個(gè)人能否獨(dú)立、熟練地調(diào)試程序（占40%）d設(shè)計(jì)報(bào)告（占30%）注意：不得抄襲他人的報(bào)告（或給他人抄襲），一旦發(fā)現(xiàn)，成績(jī)?yōu)榱惴?。e獨(dú)立完成情況（占10%）。l 課程驗(yàn)收要求a判定算法設(shè)計(jì)的合理性，運(yùn)行相關(guān)程序，獲得正確的數(shù)值結(jié)果。b回答有關(guān)問題。c提交課程設(shè)計(jì)報(bào)告。d提交軟盤（源程序、設(shè)計(jì)報(bào)告文檔）。e依內(nèi)容的創(chuàng)新程度，完善程序情況及對(duì)程序講解情況打分。3、進(jìn)度安排1、 班級(jí)： 信息與計(jì)算科學(xué)：0501、0502、05032、 主講教師：聶 存 云3、 輔導(dǎo)教師：聶 存 云、趙 釷 焱4、 時(shí)間安排：第 16 周 星期一 8時(shí)：00分16時(shí)：30分 星期三 8時(shí)：00分16時(shí)

4、：30分 星期五 8時(shí)：00分16時(shí)：30分 星期天 8時(shí)：00分11時(shí)：00分二、 問題的描述及算法設(shè)計(jì) 對(duì)于給定矩陣a用冪法求解矩陣a的最大特征值；本算法用于求矩陣按模最大的特征值及其相應(yīng)特征向量。程序執(zhí)行后，先通過鍵盤輸入矩陣、迭代初值向量、精度控制和迭代允許最大次數(shù)，程序即可給出每次迭代的次數(shù)和對(duì)應(yīng)的迭代特征值、特征向量及誤差序列，它們都按10位有效數(shù)輸出。其中最后輸出的結(jié)果即為所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出次還沒有求出滿足精度的根則輸出迭代超限提示，此時(shí)可以根據(jù)輸出序列判別收斂情況。三、 算法的描述；（1）輸入矩陣、初始向量，誤差；（2）；（3）計(jì)算；（4）；（5）；（6）

5、如果,則顯示特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量),終止； （7）,轉(zhuǎn)（3）注：如上算法中的符號(hào)表示取向量中絕對(duì)值最大的分量。本算法使用了數(shù)據(jù)規(guī)范化處理技術(shù)以防止計(jì)算過程中出現(xiàn)益出錯(cuò)誤。四、 算法的理論依據(jù)及其推導(dǎo)； 冪法是通過求矩陣特征向量來求出特征值的一種迭代法.其基本思想是:若我們求某個(gè)n階方陣a的特征值和特征向量,先任取一個(gè)初始向量x(0),構(gòu)造如下序列: x(0) ,x(1) =ax(0) ,x(2) =ax(1) , x(k) =ax(k+1) , 當(dāng)k增大時(shí),序列的收斂情況與絕對(duì)值最大的特征值有密切關(guān)系,分析這一序列的極限,即可求出按模最大的特征值和特征向量. 假定矩陣a有n個(gè)線性無關(guān)的特征向

6、量.n個(gè)特征值按模由大到小排列: 1>=2>=>=n 其相應(yīng)的特征向量為: v1 ,v2 , ,vn 它們構(gòu)成n維空間的一組基.任取的初始向量x(0)由它們的線性組合給出 x(0)=a1v1+a2v2+anvn 由此知,構(gòu)造的向量序列有 x(k) =ax(k-1) = a2x(k-2) =akx(0) = a11kv1+a2 2kv2+annkvn 下面按模最大特征值1是單根的情況討論: 由此公式(5)可寫成 x(k) = 1k (a1v1+a2 (2/1)kv2+an(n/1)kvn ) 若a10，由于|i/1 |<1 (i2),故k充分大時(shí)， x(k) = 1k (

7、a1v1+k) 其中k為一可以忽略的小量，這說明x(k)與特征向量v1相差一個(gè)常數(shù)因子，即使a1=0，由于計(jì)算過程的舍入誤差，必將引入在方向上的微小分量，這一分量隨著迭代過程的進(jìn)展而逐漸成為主導(dǎo)，其收斂情況最終也將與相同。特征值按下屬方法求得： 1 xj(k+1)/ xj(k) 其中xj(k+1)， xj(k)分別為x(k+1)，x(k)的第j各分量。 實(shí)際計(jì)算時(shí)，為了避免計(jì)算過程中出現(xiàn)絕對(duì)值過大或過小的數(shù)參加運(yùn)算，通常在每步迭代時(shí)，將向量“歸一化”即用的按模最大的分量 max |xj(k)| 1jn去除x(k)的各個(gè)分量,得到歸一化的向量y(k),并令x(k+1) = ay(k)由此得到下列

8、選代公式 : y(k) = x(k)/ x(k) x(k+1) = ay(k) k=0,1,2, 當(dāng)k充分大時(shí),或當(dāng) x(k)- x(k+1)<時(shí), y(k)v1 max |xj(k)| 1 1jn五、 相關(guān)的數(shù)值結(jié)果（通過程序調(diào)試)，； 六、 數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析；對(duì)于同一個(gè)矩陣，給定不同的處值及精度計(jì)算出的結(jié)果如下七、 附件 #include <stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#define eps 1e-6int main() float maxline(float* p); float matr

9、ix1616 = 0 , x16 = 0 , init16 = 0 , fore16 = 0; float maxcv = 0 , eps2 = 100; int i = 0 , j = 0 , t = 0 , col = 0; printf("the matrix's col is : "); scanf("%d" , &col); printf("the matrix is n"); for(i = 0 ; i < col ; i +) for(j = 0 ; j < col ; j +) scanf(

10、"%f" , &matrixij); printf("the init is n"); for(i = 0 ; i < col ; i +) scanf("%f" , &initi); for(j = 0 ; j < 10 ; j +) maxcv = maxline(init); for(i = 0 ; i < col ; i +) xi = (initi / maxcv); for(i = 0 ; i < col ; i +) printf("%.4ft" , initi

11、); printf("t%.4ftt" , maxcv); for(i = 0 ; i < col ; i +) printf("%.4ft" , xi); for(i = 0 ; i < col ; i +) forei = initi; initi = 0; for(t = 0 ; t < col ; t +) initi += (matrixit * xt); if(fabs(initi - forei) < eps2) eps2 = fabs(initi - forei); printf("n"); if(eps2 < eps) break; getch();float maxline(float* p) float max = 0; int i = 0; for(i = 0 ; *(p + i) != '0' ; i +) if(max < *(p + i) max = *(p + i); return max;八，總結(jié) 在這次的編程練習(xí)中我學(xué)到了很多東西，在多