球的體積教案Word版

1、傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！球的體積教案教學目的通過“球的體積”的教學，不僅要求學生熟記球的體積公式，更要培養(yǎng)學生觀察、估算、猜想、構(gòu)造和論證能力并注意完善學生的認知結(jié)構(gòu)若只要求學生記住有關(guān)公式，剩下的就是反復練習解幾個一元方程；已知半徑求體積；已知體積求半徑，；這是降低教學要求教學過程師：(板書)已知球的半徑為r，求v球=？(出示小黑板圖1)思維從問題開始師：為了計算半徑為r的球的體積，可以先計算半球的體積v半球觀察圖1，你一定能在v圓柱、v半球、v圓錐這三個量之間正確地寫上不等符號(學生完成)，得v圓柱v半球v圓錐提供類比，讓學生目測大小，溫故而知新，用以強化認識

2、過程向“量化”過渡你能猜測v半球=？引誘學生猜想猜想是發(fā)現(xiàn)的開始！生：師：可以大膽一些，準許猜錯(此答案不一定出自成績最好的學生，而是膽大者，思維活躍者)既鼓勵，又提出更高要求，使學生仍處于激奮境地(用行動支持敢于大膽猜想的學生)師：我們不妨做一個試驗，用以驗證這個猜想理、化有實驗，數(shù)學也可以有實驗美國盛行“數(shù)學實驗數(shù)學法”，這對激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學習能力都十分有利(取一個半徑為r的半球面，再取半徑和高都是r的圓桶和圓錐各一個，都是鐵皮制成的容器將圓錐放入圓桶內(nèi)(圖2)，再將半球容器裝滿細沙，然后把半球內(nèi)的細沙倒入圓桶內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被裝滿)師：你能將實驗結(jié)果用一個等式表達出來嗎？鼓勵學生

3、將實驗結(jié)果“量化”(構(gòu)造一個等式)是十分重要的數(shù)學方法生甲：(板書)v圓柱v圓錐=v半球生乙：(板書)v半球=v圓柱v圓錐師：于是得(板書)且 v圓柱v半球v圓錐=321師：中學數(shù)學是建立在推理的基礎(chǔ)上的，實驗結(jié)果是否可靠，還要進行論證才行中學理、化是建立在實驗基礎(chǔ)上的用數(shù)學工具去證明實驗結(jié)果，學生興趣盎然師：我們現(xiàn)在的任務是證明這個實驗結(jié)果或者說，是要證明圖2右邊充滿細沙的幾何體與左邊充滿細沙的半球是等積形而右邊幾何體的體積是已知的(板書)如果再能證明它又符合祖暅原理中的“條件”，我們就可以將它作為半球的參照體了(為了運用祖暅原理，所引入的幾何體必須符合兩個條件：一是它的計算公式是已知的；二

4、是它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體要夾在兩個平行平面之間，且用平行于這兩個平面的任意一個平面去截時，截得的截面面積總相等，符合以上兩個條件的幾何體可叫做原幾何體的參照體在前面推導柱、錐的體積的多次教學中應該引用這個術(shù)語，讓學生熟悉祖暅原理與該術(shù)語的關(guān)系)該幾何體與半球同高(r)，這說明它與半球可以夾在兩個平行平面之間，剩下的問題是要證明它與半球的等距截面的面積相等用與底面平行的任一平面去截圖2的兩個幾何體(圖3)，截面分別是圓面和圓環(huán)r，小圓半徑為l，因此s圓=r2=(r2l2)，s圓環(huán)=r2l2=(r2l2)，所以s圓=s環(huán)根據(jù)祖暅原理，這兩個幾何體的體積相等，即由此，“猜想”得到

5、證明，可以寫成定理形式：從猜想到證明是“質(zhì)”的升華！是學習數(shù)學的最重要的素質(zhì)定理：如果球的半徑是r，那么它的體積是師：你準備怎樣記憶這個結(jié)論呢？不管是意義識記或是機械識記，在這里都是有效的，都是可行的根據(jù)各個學生的學習習慣，不必強求一律生甲：根據(jù)“細沙實驗”，生乙：我只要記住v圓柱v半球v圓錐=321就行了師：還有其他的記憶方法嗎？例如，把球體視為擬柱體，采用擬柱體的體積公式試試看數(shù)學教師要不要培養(yǎng)學生的記憶能力，這是有爭議的看來，數(shù)學教師有可能，也有必要去培養(yǎng)學生的記憶能力生：(板演)(隨時復習與應用擬柱體體積公式)師：這能作為球體積公式的證明嗎？生：球體不是擬柱體，不能作為證明，但可以作為

6、一種記憶方法師：還有其他的記憶方法嗎？例如，將球體分割成許多小的錐體，球心是這些小錐體的頂點，錐的底面不是平面，而是球面的一小部分(是曲面)請看圖4是重要的數(shù)學思想于是，v球=許多小錐體之和，而這許多小錐體的高可視為球半徑r又因為所有小錐體的底面之和=球面積=4r2，所以發(fā)展學生的空間想象能力同樣，這也不能作為球體積公式的證明但是，使人感到興趣的是，擬柱體、小錐體與球體的這種“默契”，這種內(nèi)部的一致，給人們以合諧的感覺，它不僅幫助人們記憶，還給人以和諧美的感受！升華了！師：現(xiàn)在再請大家自己解答一個問題：(板書)不十分困難的例題由學生自己解答，然后再對照課本并進行議論，有時比教師直接講解要收效大

7、些，不妨一試有一種空心鋼球，重142 g，測得外徑等于5.0 cm，求它的內(nèi)徑(鋼比重是7.9g/cm3)師：這是課本的例題，解完后自行對照課本(學生議論，同時由一位學生板演)師：今天這堂課的關(guān)鍵是構(gòu)造一個球的參照體，而“細沙實驗”幫助我們解決了這個問題你能離開實驗，經(jīng)過分析直接構(gòu)造這個參照體嗎？(代替小結(jié)，將課內(nèi)效果引向課外直接構(gòu)造參照體)教案說明這份教案顯然是寫給別人看的，如果只是為了自己教學，我想，只要記下教學過程就行了：(1)提出問題：v球=？(2)自測圓柱、半球、圓錐這三者之間的大小關(guān)系(圖1)(4)細沙實驗驗證“猜想”(5)構(gòu)造參照體，證明“猜想”(6)得定理、談記憶(7)例題、小

8、結(jié)、作業(yè)我為什么要采取上面這幾個環(huán)節(jié)？理由如下：目前的數(shù)學教材是從少數(shù)公理和原理出發(fā)，通過演繹，將知識展開于是，過程(1)(4)都可以省略并且，“參照體”也是由教材直接給出的(不需要構(gòu)造)師生的和方法用定論的形式直接呈現(xiàn)在學生面前，新、舊知識的銜接點直接給出，內(nèi)化任務很快就完成因此，這種做法的優(yōu)點是直截了當，節(jié)約時間；缺點是學生缺乏一個完整的認識過程，把知識或方法不是作為“過程”而是作為“結(jié)果”直接拋給學生長此以往，越“拋”越多，學生頭腦中很難形成一個有效的認知結(jié)構(gòu)，結(jié)果成績分化，出現(xiàn)大量差生反之，插入環(huán)節(jié)(1)(4)，則環(huán)節(jié)(5)的“構(gòu)造參照體”(這是全課的關(guān)鍵)就十分自然從“目測”到“猜想

9、”，這是“發(fā)現(xiàn)”；從“猜想”到“實驗”，這是強化“發(fā)現(xiàn)”，而環(huán)節(jié)(5)則是內(nèi)化這種先發(fā)現(xiàn)后內(nèi)化的過程又是在教師指導下進行的，教師的主導作用和學生的學習積極性十分融洽“目測”、“大膽猜想”、“實驗”等環(huán)節(jié)，所有差生都有發(fā)言權(quán)，優(yōu)生也不乏味；從“實驗”到“構(gòu)造參照體”，隨流而下，直闖關(guān)鍵(出現(xiàn)參照體)，終達彼岸(得定理)最后“談記憶”，生動活潑，乃至升華；“小結(jié)提問”，余味不盡數(shù)學教學的實質(zhì)是思維過程的教學，“直截了當”則掩蓋了“思維過程”，把知識和方法不是作為思維過程暴露在學生面前，而是作為結(jié)果拋給學生，這種“奉送”的做法勢必回避了數(shù)學思想的培養(yǎng)長此以往，學生的數(shù)學素質(zhì)很難得到提高最后，還要說明

10、一點，“構(gòu)造參照體”是本課的難點，本教案采用了“細沙實驗”，也就回避了“構(gòu)造性困難”，因此本教案是為普通班設(shè)計的而“好班”就不應該回避構(gòu)造困難，何況“構(gòu)造參照體”是運用祖暅原理的關(guān)鍵，也是學習這一段教材(從柱體開始)的關(guān)鍵所在因此，建議根據(jù)學生情況補充下述內(nèi)容：參照體與祖暅原理為了利用祖暅原理計算某個幾何體的體積，常要構(gòu)造另一個幾何體，此幾何體必須符合兩個條件：(1)它的計算公式是已知的；(2)它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體能夾在兩個平行平面之間，且用平行于這兩個平面的任意一個平面去截它們時，截得的截面面積總相等為了下面的敘述方便起見，把符合這兩個條件的幾何體叫做原幾何體的參照體，或簡稱參照體用祖暅原理求幾何體的體積，關(guān)鍵在于構(gòu)造參照體軸，求該旋轉(zhuǎn)體的體積解 將此旋轉(zhuǎn)體放在平面上(圖5)，用與平面平行且相距h的平面去截，得這說明參照體的截面可以是一個矩形，其一邊長，另一邊長為變量h于是得例2 求半徑為r的半球的體積例3 汽車內(nèi)胎或游泳時用的救生圈是旋轉(zhuǎn)體(圖6)，它的母線是半徑為r的圓，圓心與旋轉(zhuǎn)軸mn的距離等于d(dr)，能否用構(gòu)造參照體的思想方法去尋求它的體積公式？解 取環(huán)體的上半部研究，它的下底面是圓環(huán)(圖6，外半徑=d+r，內(nèi)半徑=dr)，上底是半徑為d的圓周(面積為零)，