2021年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圓錐曲線橢圓大題練習(xí)教師版

1、2021年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圓錐曲線：橢圓大題練習(xí)已知點(diǎn)a(0，2)，橢圓e：=1(ab0)的離心率為，f是橢圓e的右焦點(diǎn)，直線af的斜率為，o為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求e的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)a的動(dòng)直線l與e相交于p，q兩點(diǎn).當(dāng)opq的面積最大時(shí)，求l的方程.【參考答案】解：(1)設(shè)f(c,0)，由條件知，=，得c=.又=，所以a=2，b2=a2c2=1.故e的方程為y2=1.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：y=kx2，p(x1，y1)，q(x2，y2).將y=kx2代入y2=1得(14k2)x216kx12=0.當(dāng)=16(4k23)0，即k2時(shí)，x1,2=.從而|pq|=|x1x2|=.又點(diǎn)o到直

2、線pq的距離d=，所以opq的面積sopq=d·|pq|=.設(shè)=t，則t0，sopq=.因?yàn)閠4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即k=±時(shí)等號(hào)成立，且滿足0，所以，當(dāng)opq的面積最大時(shí)，l的方程為y=x2或y=x2.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b1)的離心率e=,且橢圓c過(guò)點(diǎn)p(2,1).(1)求橢圓c的方程;(2)直線的l的斜率為12,直線l與橢圓c交于a,b兩點(diǎn).求pab面積的最大值.【參考答案】解:(1)因?yàn)閑2=c2a2=34,所以a2=4b2,則橢圓方程為+y2b2=1,即x2+4y2=4b2.因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)p(2,1),所以代入上式得

3、b2=2,a2=8,所以橢圓方程為+=1.(2)設(shè)l的方程為y=12x+m,代入橢圓方程中整理得x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,=4m2-4(2m2-4)>0m2<4.則|ab|=×(x1+x2)2-4x1x2=5(4-m2).點(diǎn)p到直線l的距離d=.因此spab=12d|ab|=12·=m2+4-m22=2.當(dāng)且僅當(dāng)m2=20,4),即m=±2時(shí)取得最大值2.已知橢圓c:x2a2+y27-a2=1(a>0)的焦點(diǎn)在x軸上,且橢圓c的焦距為2.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)r(4,0)的直線l與橢

4、圓c交于兩點(diǎn)p,q,過(guò)p作pnx軸且與橢圓c交于另一點(diǎn)n,f為橢圓c的右焦點(diǎn),求證:三點(diǎn)n,f,q在同一條直線上.【參考答案】 (1)解:因?yàn)闄E圓c:x2a2+y27-a2=1(a>0)的焦點(diǎn)在x軸上,所以a2>7-a2>0,即3.5<a2<7,因?yàn)闄E圓c的焦距為2,且a2-b2=c2,所以a2-(7-a2)=1,解得a2=4,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)證明:由題知直線l的斜率存在,設(shè)l的方程為y=k(x-4),點(diǎn)p(x1,y1),q(x2,y2),n(x1,-y1),則y=k(x-4),3x2+4y2=12得3x2+4k2(x-4)2=12,即(3+4

5、k2)x2-32k2x+64k2-12=0,>0,x1+x2=,x1x2=64k2-123+4k2,由題可得直線qn的方程為y+y1=y2+y1x2-x1(x-x1),又因?yàn)閥1=k(x1-4),y2=k(x2-4),所以直線qn的方程為y+k(x1-4)=(x-x1),令y=0,整理得x=x1x2-4x2-x12+4x1x1+x2-8+x1=2x1x2-4(x1+x2)x1+x2-8=1,即直線qn過(guò)點(diǎn)(1,0),又因?yàn)闄E圓c的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為f(1,0),所以三點(diǎn)n,f,q在同一條直線上.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓c的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)f1，f2在y軸上，離心率為.過(guò)f1的直線l0交c

6、于p，q兩點(diǎn)，且pqf2的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓c的方程；(2)圓(y2)2=與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)m，n(點(diǎn)m在點(diǎn)n的左側(cè))，過(guò)點(diǎn)m任作一條直線與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)，連接an，bn，求證anm=bnm. 【參考答案】解：(1)設(shè)橢圓c的方程為=1(ab0)因?yàn)殡x心率為，所以=，解得=，即a2=2b2.又pqf2的周長(zhǎng)為|pq|pf2|qf2|=(|pf1|pf2|)(|qf1|qf2|)=2a2a=4a，所以4a=8，即a=2，b=2，所以橢圓c的方程為=1.(2)證明：把y=0代入(y2)2=，解得x=1或x=4，即點(diǎn)m(1,0)，n(4,0)當(dāng)abx軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知anm=b

7、nm.當(dāng)ab與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線ab的方程為y=k(x1)聯(lián)立消去y，得(k22)x22k2xk28=0.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2=，x1x2=.因?yàn)閥1=k(x11)，y2=k(x21)，所以kankbn=.因?yàn)?x11)(x24)(x21)(x14)=2x1x25(x1x2)8=8=0，所以kankbn=0，所以anm=bnm.綜上所述，anm=bnm.設(shè)a，b分別是x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)p在直線ab上，且=，|=2.(1)求點(diǎn)p的軌跡e的方程；(2)已知曲線e上的定點(diǎn)k(2,0)及動(dòng)點(diǎn)m，n滿足·=0.試證：直線mn必過(guò)x軸上的定點(diǎn). 【參考答案】解

8、：(1)設(shè)p(x，y)，a(xa,0)，b(0，yb)，則=(xxa，y)，=(x，yby)，由=，得xa=xx，yb=yy，由|=2，即可求得點(diǎn)p的軌跡e的方程為=1.(2)證明：設(shè)直線km：y=k(x2)(k0)與=1聯(lián)立，消去y，得(34k2)x216k2x16k212=0.設(shè)m(x1，y1)，則2x1=，x1=2=，y1=k(x12)=，m，設(shè)直線kn：y=(x2)(k0)，同理可得n，kmn=(k21)，則mn：y=(x)，化簡(jiǎn)可得y=，即直線mn過(guò)定點(diǎn)，另mn斜率不存在時(shí)，也過(guò)定點(diǎn)，直線mn必過(guò)定點(diǎn).已知橢圓c：=1(ab0)上一點(diǎn)p與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于x軸，直線l：y=kxm與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)(均不在坐標(biāo)軸上).(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若aob的面積為，試判斷直線oa與ob的斜率之積是否為定值？【參考答案】解：(1)由題意知解得橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.(2)設(shè)點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(4k23)x28kmx4m212=0，由=(8km)216(4k23)(m23)0，得m24