全國通用高考數(shù)學大一輪復習推理與證明算法復數(shù)數(shù)學歸納法PPT課件

1、基礎(chǔ)知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引第1頁/共84頁基礎(chǔ)知識自主學習第2頁/共84頁數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取 (n0N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)當nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當 時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.知識梳理第一個值n0nk1第3頁/共84頁題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n1時結(jié)論成立.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題都必須用數(shù)

2、學歸納法證明.()(3)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用.()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)都增加了一項.()基礎(chǔ)自測123456第4頁/共84頁(5)用數(shù)學歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證n1時，左邊式子應(yīng)為122223.()(6)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時，n03.()123456第5頁/共84頁題組二教材改編題組二教材改編2.P99B組T1在應(yīng)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n3)條時，第一步檢驗n等于 A.1 B.2C.3 D.4答案解析123456解析解析凸n邊形邊數(shù)最小時是三角形，故第一步檢驗n3.第

3、6頁/共84頁3.P96A組T2已知an滿足an1 ，nN*，且a12，則a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案123456n1345第7頁/共84頁解析答案題組三易錯自糾題組三易錯自糾4.用數(shù)學歸納法證明1aa2an1 (a1，nN*)，在驗證n1時，等式左邊的項是 A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a3123456解析解析當n1時，n12，左邊1a1a21aa2.第8頁/共84頁則上述證法 A.過程全部正確 B.n1驗證得不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從nk到nk1的推理不正確解析答案123456解析解析在nk1時，沒有應(yīng)用nk時的假設(shè)，不是數(shù)學歸納法.第9頁/共84頁解析答案12

4、34566.用數(shù)學歸納法證明1232n2n122n1(nN*)時，假設(shè)當nk時命題成立，則當nk1時，左端增加的項數(shù)是_.2k解析解析運用數(shù)學歸納法證明1232n2n122n1(nN*).當nk時，則有1232k2k122k1(kN*)，左邊表示的為2k項的和.當nk1時，則左邊1232k(2k1)2k1，表示的為2k1項的和，增加了2k12k2k項.第10頁/共84頁題型分類深度剖析第11頁/共84頁1.用數(shù)學歸納法證明：題型一用數(shù)學歸納法證明等式自主演練證明第12頁/共84頁證明證明(1)當n1時，左邊右邊，所以等式成立.(2)假設(shè)當nk (kN*且k1)時等式成立，即有第13頁/共84頁

5、所以當nk1時，等式也成立，由(1)(2)可知，對于一切nN*等式恒成立.第14頁/共84頁證明求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).第15頁/共84頁證明證明(1)當n2時，左邊f(xié)(1)1，(2)假設(shè)當nk(k2，kN*)時，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當nk1時，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k第16頁/共84頁(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當nk1時結(jié)論成立.由(1)(2)可知當n2，nN*時，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1.第17頁/共84頁用數(shù)學歸納法證明恒等式應(yīng)注

6、意(1)明確初始值n0的取值并驗證當nn0時等式成立.(2)由nk證明nk1時，弄清左邊增加的項，且明確變形目標.(3)掌握恒等變形常用的方法：因式分解；添拆項；配方法.思維升華第18頁/共84頁題型二用數(shù)學歸納法證明不等式師生共研證明典例典例 設(shè)實數(shù)c0，整數(shù)p1，nN*.(1)證明：當x1且x0時，(1x)p1px；證明證明當p2時，(1x)212xx212x，原不等式成立.假設(shè)當pk(k2，kN*)時，不等式(1x)k1kx成立.則當pk1時，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以當pk1時，原不等式也成立.綜合可得，當x1，且x0時，對一切

7、整數(shù)p1，不等式(1x)p1px均成立.第19頁/共84頁證明1pc1pc第20頁/共84頁則當nk1時，1pc1pc1pc第21頁/共84頁1pc1pka1pc1pc1pc1pc則xpc，第22頁/共84頁1pc1pc1pc1pc1pc1pc1pa11pcap1pc1pc第23頁/共84頁1pc1pc1pc1pc1pc第24頁/共84頁數(shù)學歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵(1)適用范圍：當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學歸納法.(2)關(guān)鍵：由nk時命題成立證nk1時命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基

8、本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化.思維升華第25頁/共84頁證明跟蹤訓練跟蹤訓練 (2018衡水調(diào)研)若函數(shù)f(x)x22x3，定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過點P(4,5)，Qn(xn，f(xn)(nN*)的直線PQn與x軸的交點的橫坐標，試運用數(shù)學歸納法證明：2xnxn13.第26頁/共84頁證明證明當n1時，x12，f(x1)3，Q1(2，3).所以直線PQ1的方程為y4x11，即n1時結(jié)論成立.假設(shè)當nk(k1，kN*)時，結(jié)論成立，即2xkxk13.代入上式，令y0，第27頁/共84頁即xk1xk2，所以2xk1xk23，即當nk1時，結(jié)論成立.由知對任意的正整數(shù)

9、n，2xnxn11時，對x(0，a1，有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1時，存在x0，使(x)0(nN*).猜想an的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明.解答第35頁/共84頁解解分別令n1,2,3，得an0，a11，a22，a33，猜想：ann.第36頁/共84頁a20，a22.()假設(shè)當nk(k2，kN*)時，akk，那么當nk1時，即ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1，即當nk1時也成立.ann(n2)，顯然當n1時，也成立，故對于一切nN*，均有ann.第37頁/共84頁命題點命題點3存在性問題的證明存在性問題的證明解答(1)若

10、b1，求a2，a3及數(shù)列an的通項公式；第38頁/共84頁再由題設(shè)條件知(an11)2(an1)21.從而(an1)2是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，下面用數(shù)學歸納法證明上式：當n1時結(jié)論顯然成立.第39頁/共84頁所以當nk1時結(jié)論成立.第40頁/共84頁解答(2)若b1，問：是否存在實數(shù)c使得a2nca2n1對所有nN*成立？證明你的結(jié)論.第41頁/共84頁則an1f(an).下面用數(shù)學歸納法證明加強命題：a2nca2n11.第42頁/共84頁假設(shè)當nk(k1，kN*)時結(jié)論成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上為減函數(shù)，得cf(c)

11、f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.因此a2(k1)ca2(k1)11.這就是說，當nk1時結(jié)論成立.先證：0an1(nN*). 當n1時，結(jié)論顯然成立.第43頁/共84頁假設(shè)當nk(k1，kN*)時結(jié)論成立，即0ak1.即0ak11.這就是說，當nk1時結(jié)論成立.故成立.再證：a2na2n1(nN*). 有a2a3，即n1時成立.假設(shè)當nk(k1，kN*)時，結(jié)論成立，即a2kf(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2n1)，即a2n1a2n2，第45頁/共84頁第46頁/共84頁(1)利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納

12、猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性.(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題.思維升華第47頁/共84頁跟蹤訓練跟蹤訓練 (2018西安模擬)已知正項數(shù)列an中，對于一切的nN*均有證明0an0，第48頁/共84頁證明第49頁/共84頁下面用數(shù)學歸納法證明：當n2，且nN*時猜想正確.當n2時已證；第50頁/共84頁當nk1時，猜想正確.第51頁/共84頁典例典例 (12分)數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*).(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)證明(1)中的猜想.思維點

13、撥思維點撥(1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，觀察所得數(shù)值的特征猜出通項公式.(2)用數(shù)學歸納法證明.歸納猜想證明問題答題模板答題模板規(guī)范解答答題模板思維點撥第52頁/共84頁規(guī)范解答規(guī)范解答(1)解解當n1時，a1S12a1，a11；當n4時，a1a2a3a4S424a4，第53頁/共84頁(2)證明證明當n1時，a11，結(jié)論成立. 5分假設(shè)當nk(k1且kN*)時，結(jié)論成立，那么當nk1時， 7分ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak. 9分第54頁/共84頁當nk1時，結(jié)論成立. 11分第55頁/共84頁答題模板答題模板歸納歸納猜

14、想猜想證明問題的一般步驟證明問題的一般步驟第一步：計算數(shù)列前幾項或特殊情況，觀察規(guī)律猜測數(shù)列的通項或一般第一步：計算數(shù)列前幾項或特殊情況，觀察規(guī)律猜測數(shù)列的通項或一般 結(jié)論；結(jié)論；第二步：驗證一般結(jié)論對第一個值第二步：驗證一般結(jié)論對第一個值n0(n0N*)成立；成立；第三步：假設(shè)當?shù)谌剑杭僭O(shè)當nk(kn0，kN*)時結(jié)論成立，證明當時結(jié)論成立，證明當nk1時結(jié)論時結(jié)論 也成立；也成立；第四步：下結(jié)論，由上可知結(jié)論對任意第四步：下結(jié)論，由上可知結(jié)論對任意nn0，nN*成立成立.第56頁/共84頁課時作業(yè)第57頁/共84頁1.(2018商丘周測)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足

15、：“當f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命題總成立的是 A.若f(1)1成立，則f(10)100成立B.若f(2)右邊，不等式成立.假設(shè)當nk(k2，且kN*)時不等式成立，則當nk1時，12345678第64頁/共84頁當nk1時，不等式也成立.由知對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立.12345678第65頁/共84頁5.求證：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).證明12345678第66頁/共84頁證明證明(1)當n1時，等式左邊2，右邊2，故等式成立；(2)假設(shè)當nk(k1，kN*)時等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(

16、2k1)，那么當nk1時，左邊(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，所以當nk1時等式也成立.由(1)(2)可知，對所有nN*等式成立.12345678第67頁/共84頁(1)證明：xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0；技能提升練證明12345678第68頁/共84頁證明證明充分性：所以數(shù)列xn是遞減數(shù)列.必要性：若xn是遞減數(shù)列，則x2x1，且x10.故xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0.12345678第69頁/共84頁證明12345678第70頁/共84頁12345678第71頁/共84頁這就是

17、說當nk1時，結(jié)論也成立.12345678第72頁/共84頁解答(1)求a的值；12345678第73頁/共84頁解得a1.又因為a21，所以a1.所以a21.12345678第74頁/共84頁證明12345678第75頁/共84頁證明證明用數(shù)學歸納法證明：故當n2時，原不等式也成立.12345678第76頁/共84頁所以當nk1時，原不等式也成立.12345678第77頁/共84頁證明拓展沖刺練8.(2017浙江)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*).證明：當nN*時，(1)0 xn1xn；12345678第78頁/共84頁證明證明用數(shù)學歸納法證明xn0.當n1時，x110.假設(shè)當nk時，xk0，那么當nk1時，若xk10，則0 xkxk1ln(1xk1)0，與假設(shè)矛盾，故