1-2圓周運(yùn)動(dòng)及曲線運(yùn)動(dòng).

1、自然坐標(biāo)系下的速度和加速度自然坐標(biāo)系：把坐標(biāo)建立在運(yùn)動(dòng)軌跡上的坐標(biāo)系統(tǒng)。切向坐標(biāo)軸沿質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)方向的切向?yàn)橹?，單位矢量為E法向坐標(biāo)軸沿軌跡的法向凹側(cè)為正，單位矢量為det= d3encf _ d(9 _ d(尺&dt=di6n=Rdt1 ds- u q=dt6n =Rn一、切向加速度和法向加速度d = en| = 1dd = E d& = d&環(huán)垂直于 W 并指向圓一 一 dW與藝方向一致切向加速度&法向加速度云=背瓦、P7Fadv_ dtv2=R或者用加速度與速度 方向的夾角來表示0一萬與T的夾角速度大小的變化。法向加速度 =骰的產(chǎn)生是由于速度方方向的變化。卩萬

2、與瓦的夾角討論:1.切向加速度& =霽乓 的產(chǎn)生是由于dn0 = arc tg物體在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中速度大小不變,只有速度方向的改變，所以加速度為vVR3對(duì)于任意曲線運(yùn)動(dòng)由數(shù)學(xué)知：曲線上每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)與之相切的 曲率圓，其半徑 Q 稱為曲率半徑。當(dāng)以尸點(diǎn)的曲率圓代替尸點(diǎn)附近元弧段時(shí)（以圓代 曲），則質(zhì)點(diǎn)在F點(diǎn)時(shí)的加速度可表示為：一 一 一 /一dv a = an+at= enH-exp dt2般加速度 N 并不指向0質(zhì)點(diǎn)減速 兀與萬方向相反成鈍角心。 0質(zhì)點(diǎn)加速 瓦與17方向相同成銳角VatV!3c (1 + y于P !V2anPp曲率半徑V二、圓運(yùn)動(dòng)的角量表示1.角位置,角位移3角

3、位置e角位移2角速度平均角速度瞬時(shí)角速度G)(rad&】 )3.角加速度平均角加速度瞬時(shí)角加速度單位：(rad.s2)3 =0ot勻變速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程o=e+* 廣CD=6?0+OC tQ 2=砒 +2ag -00)勻速圓周 運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)與勻變速率直線運(yùn)動(dòng)類比()=。0 + 4/co=爲(wèi)+20(0仇)0 + dT+ vot+-at2吠+2d(s $o)limg=R lim治=斥竽At一o A tA一o A t at4.線量和角量的關(guān)系=RG)limA t- Ov = R COlim今 = 一0tan =帶=尺彩=R32an= -RCc)例1一質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，其路程

4、與時(shí)間 的關(guān)系S= vot-b t2/2,&和彷都是正的常 數(shù)。求質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的速度；(2) t為何值時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法 向加速度的大小相等。(2)由前面得到:根據(jù)題意|%| = |%|得到:解得:,(Q-JbR)t=b解：(1)(-汀+v2dvdta=丿a；+ a；oc = arc tg 5at= arc tgRr(%-加門L -Rb例2 質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)沿R=3m的的圓周運(yùn)動(dòng)，,求( (1) )經(jīng)多少時(shí)間它的總加速度恰 肆住箴45。角。(2)在上述時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的 路程。dvr45 =魚方法4 : 2ats= v20(2)方法1：勻變速0=*/7/2 atpR例3|質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)

5、動(dòng),同表示位矢，S表示路程, 兔表示切向加速度，下夠表達(dá)式中是否正確？risdv(1)_ =adt(2)dr=Vdt、dsdv(3) = v dtdt=a t三、拋體運(yùn)動(dòng)以拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 20時(shí)，物體速度為rv dt = v0tcosG0i+(VsinOo-gt2) jx = v0cosOty = VoSin仇=/ .2任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度為:速度:V = v0cos()i +OoSin%-gF) jBP：vx=v0cosOGvy= v0sin0o-gt豎直方向的勻變速動(dòng)位矢:即方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)答案沙:cos26/g曲線運(yùn)動(dòng)可看作若干個(gè)獨(dú)立的分運(yùn)動(dòng)的疊加。從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間 t,得到

6、拋體運(yùn)動(dòng)的軌道方程當(dāng)e0= 45時(shí)射程最大以 x/2代入軌道方程，得拋體運(yùn)動(dòng)中的最大高度為:一物體作斜拋運(yùn)動(dòng)，初速度與水平方向夾 角為 曲率半徑血為為一拋物線方程上式中令y = 0,得拋體運(yùn)動(dòng)的射程為:VQSin 2%x =-g,如圖所示.物體軌道最高點(diǎn)處的24【例】一質(zhì)點(diǎn)作斜拋運(yùn)動(dòng)，初速度與水平方向夾角8 ,忽略空氣阻力，若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道最高點(diǎn)的曲率半徑為10m,則拋出時(shí)初速度大小是多少？q=05 = &【例】如圖所示，測得在軌道力點(diǎn)處速度 的大小為u,其方向與水平方向夾角成30。則物體在 占點(diǎn)的切向加速度a產(chǎn),軌道的曲率半徑_o （g為重力加速度）a sin30方向與講冃反a” =g

7、cos30v0 x= v0cos60 = |v0v223 2P = = -r-van 3g2、物體作斜拋運(yùn)動(dòng)，初速度與水平方向成 45。角 ,求：（1）在最高點(diǎn)處的切向加速度、法向加速 度；（2）在秒時(shí)的切向加速度、法向加速度。解：設(shè)重力加速度g =I Om/s2（1）最高點(diǎn)=5V2+V2 =9.24?w/52= 0y/2m/=v0sin45-燈=10法二：t = 2s 時(shí)(2)vx= v()cos 45 = 10/2m/5,vv= v0sin 45 gt = 102 10r(/w/5)0 arctan=22.5t= 2刪,一2m sVvJ彳 + 記=J400+ 100r - 2002/r=5

8、V2-V2=3.83W/52,b動(dòng)學(xué)的兩類問題r(t)一一v一a1、已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置、 汕度以及加速度O(r)罟IfflBR BHMddti.一物體懸掛在彈簧上作豎直振動(dòng)，其加速度為=切，式中斤為常數(shù)，9是以平衡位置為原點(diǎn)所測 的坐標(biāo)。假定振 動(dòng)的物體在坐標(biāo)9。處的速度為,:求 速度“與坐標(biāo)9的函數(shù)關(guān)系dv dv dydva = =- = v-dZd/ dydyfVvdv=kydy兒Jjo滬*：=&(y；一丿2)一dvd2ra =d7=dFdv = adt， dv =J%dr =vdt9 fdr =vdtJ心J2知質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，加速度為 礙弓関L十=o時(shí), 的初速度為砂0，初始位置為兀0，和位置？r-=一燦J:心J;咲七In v In v()=kt質(zhì)呈為加的小球，開始沉降時(shí)，受到水的粘滯阻力犬小對(duì)=2(*為常數(shù) .證明？球在水中豎直沉降的速度卩與時(shí)間 f 的關(guān)系為U=罕(l_e-”)，式中 f 為從沉降開始計(jì)算的時(shí)間.Kmg - F -kv = mdtdvdtjdvj