用函數(shù)觀點看不等式

1、北京四中用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式撰稿：徐長明 審稿：谷丹 責(zé)編：邵劍英一、重點知識1. 一元一次方程 ax+b=O(a工0)與一次函數(shù) y=ax+b(a工0)的關(guān)系(1) 一元一次方程ax+b=0(a工0)是一次函數(shù) y=ax+b(a工0)的函數(shù)值為 0時的特殊情形。bx =. 直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標(biāo)是一元一次方程ax+b=0的解；i2. 一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系：(1) 一元一次不等式 ax+b>0或ax+b<0(a工0)是一次函數(shù) y=ax+b (a工0)的函數(shù)值不等于0的情形。(2) 直線y=ax+b上使函數(shù)值y>0(x軸上方的圖像)的x的取值范

2、圍是 ax+b>0的解集；使函數(shù) 值y<0(x軸下方的圖像)的x的取值范圍是 ax+b<0的解集。3. 二元一次方程與一次函數(shù)的聯(lián)系(1) 任意一個二元一次方程都可化成y=ax+b的形式，即使每個二元一次方程都對應(yīng)一個一次函數(shù)，也對應(yīng)一條直線。(2) 直線y=kx+b的每一點的坐標(biāo)均為這個二元一次方程的解。4. 二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系(1) 二元一次方程組中的每個方程可看作函數(shù)解析式。(2) 求二元一次方程組的解可以看作求兩個一次函數(shù)的交點坐標(biāo)。二. 方法技巧1. 利用一次函數(shù)求一元一次方程的解題步驟。(1) 將一元一次方程化成 ax+b=0的形式(2) 畫岀y=ax

3、+b的圖像，確定其與 x軸交點的橫坐標(biāo)。2. 利用一次函數(shù)式求一元一次不等式的解集的技巧根據(jù)不等式的特點，靈活采用求解方程：(1)利用一個一次函數(shù)；(2)利用兩個一次函數(shù)。3. 利用一次函數(shù)解二元一次方程組的步驟(1) 將方程組中的每個方程轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)y=kx+b的形式。(2) 在同一直角坐標(biāo)系中畫岀兩函數(shù)的圖像。(3) 利用圖像的直觀性確定交點坐標(biāo)。4. 求兩個一次函數(shù)的交點坐標(biāo)的方法解由兩個一次函數(shù)的解析式組成的二元一次方程組，就能準(zhǔn)確地求岀交點坐標(biāo)。5. 兩個一次函數(shù)圖像交點的作用借助圖像的直觀性，利用交點坐標(biāo)，可以解決有關(guān)比較，決策等生活實際問題。三、典型例題例1.為了保護學(xué)生的視力

4、，課桌椅的高度都是按一定的關(guān)系配套設(shè)計的，研究表明，假設(shè)課桌的高度為ycm,椅子高度(不含靠背)為xcm,則y應(yīng)是x的一次函數(shù)，下表列岀兩套符合條件 的課桌椅高度：第二套37.070.2第一套椅子高度x(cm)40.0桌子高度y(cm)75.0(1)試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；78cm桌子的，它們是否配套？說明理由?現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高分析：由y是x的一次函數(shù)知(40.0，75.0)，(37.0，70.2)符合y與x的函數(shù)關(guān)系式，利 用特定系數(shù)法可求y與x的函數(shù)解析式。解：（1）設(shè)y=kx+b，由題意知；75.0 = 40.0k + b期護住二 1.6170,2= 37.0k

5、+bW>=11y=1.6x+11當(dāng) x=42.0 時,y=1.6 冶2.0+1 仁78.2>78這套桌椅是不配套的。例2.某市電力公司為了提倡節(jié)約用電，采用分段計費的方法計算電費，每月用電不超過100kWh，按每度0.57元計費，每月用電超過100kWh時，其中100kWh仍原標(biāo)準(zhǔn)收費， 超過部分按每度 0.50元收費。(1)設(shè)月用電xkW- h時，應(yīng)交電費y元，當(dāng)x< 10和x>100時，分別寫出y與x的函數(shù) 關(guān)系式；(2 )小王家第一季度交納電費情況如下：月份交費金額1月份76元2月份63元3月份45元6角合計184元6角問：小王家第一季度共用電多少度?分析：由系數(shù)

6、計費的方法分別寫出 用電量。y與x的函數(shù)關(guān)系式；再由每月交費金額確定每月的解：（1）當(dāng) 0W xw 10時，y=0.57x ;當(dāng) x>100 時，y=0.57 X100+0.50（x-100），即 y=0.50x+7。76>57，,1 月份用電量超過了100kWh，.0.50x+7=76，.x=138同理，由0.50x+7=63，解得x=112，T45.6<57，.3月份用電量未超過 100kW- h0.57x=45.6 ,.x=80。小王家第一季度用電 (138+112+80)=330(kWh)點拔：由系數(shù)計費寫出解析式，由每月電費與100kWh電的電費比較，確定用哪個解析

7、式計算當(dāng)月用電量。例3.光華農(nóng)機租賃公司共有 50臺聯(lián)合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺，現(xiàn)將這50 臺聯(lián)合收割機派往 A，B兩地區(qū)收割小麥， 其中30臺派往A地區(qū)，20臺派往B地區(qū)，兩地 區(qū)與該農(nóng)機租賃公司商定的每天的租賃價格見下表：每臺乙型收割機的租金1600 元1200 元每臺甲型收割機的租金A地區(qū)1800元B地區(qū)1600元(1)設(shè)派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為y元,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫岀x的取值范圍；(2)若使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計岀來。(3) 如果

8、要使這50臺聯(lián)合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華農(nóng)機租賃公司提岀一條合 理建議。分析：由圖表中反映的租金情況寫岀y與x的函數(shù)關(guān)系式，再由瀘79600確定分派方案，最后由租金最高提合理建議。解：(1)若派往A地區(qū)的乙型收割機為 x臺，則派往 A地區(qū)的甲型的收割機為 (30-x)臺；派 往B地區(qū)的乙型收割機為(30-x)臺，派往B地區(qū)的甲型的收割機為(x-10)臺。 y=1600x+1800(30 -x)+1200(30-x)+1600(x-10)=200x+74000x的取值范圍是10< x< 30(x是正整數(shù))(2) 由題意得 200X+74000A 79600解不等式，得x&

9、gt; 28,由于10< x< 30， x取28，29，30這三個值。.有三種不同分配方案。 當(dāng)x=28時，即派往A地區(qū)甲型收割機2臺，乙型收割機28臺；派往B地區(qū)甲型收割機18臺, 乙型收割機2臺。 當(dāng)x=29時，即派往A地區(qū)甲型收割機1臺，乙型收割機29臺；派往B地區(qū)甲型收割機19臺, 乙型收割機1臺。 當(dāng)x=30時，即30臺乙型收割機全部派往 A地區(qū)；20臺甲型收割機全部派往B地區(qū)。(3) 由于一次函數(shù)y=200x+74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以，當(dāng)x=30時，y取得最大值。如果要使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機每天獲得租金最高，只須x=30，此時，y=6000

10、+74000=80000 。建設(shè)農(nóng)機租賃公司將 30臺乙型收割機全部派往 A地區(qū)，20臺甲型收割機全部派往 B地區(qū)，可 使公司獲得的租金最高。是解此類題目的常用點拔：建立不等式關(guān)系求自變量的取值范圍，再確定自變量的特殊值, 方法。)的收費標(biāo)準(zhǔn)如圖所示:乙公司每月收費標(biāo)準(zhǔn)如圖所示:月租賃本市接聽費本市拔打費外市通話費0.90 元/min0.10 元 /min400min時啟付的話費金額；求岀甲公50元0元/月(1)觀察圖形，寫岀甲公司用戶月通話時間不超過 司的用戶通話400min后，每分鐘的通話費。(2)王先生由于工作需要， 從4月份開始經(jīng)常去外市岀差， 估計每月各種通話時間的比例是本 地接聽時

11、間：本地拔打時間：外地通話時間 =2 : 1: 1，你認為王先生的月通話時間不少于多少分 鐘時，入乙通訊公司更合算？請說明理由。分析：由函數(shù)圖像求甲公司用戶不超過400min時應(yīng)付的話費，以及400min后每分鐘的話費,在中通話總時間可設(shè)為 4t，易知4t>400時入乙公司才合算，再分別寫岀在各公司的通話費解 析式，最后確定通話時間。解：(1) 月通話時間不超過 400min應(yīng)付30元。根據(jù)圖形知，400min后，100min的通話費用為40元，所以400min后每分鐘通話費用 為0.4元。(2) 設(shè)王先生通話時間為 4tmin，要使乙公司的通話費更合算，須t > 100,設(shè)甲、乙

12、公司的月通話費用分別為 y、y2元，顯然4t>400。甲公司的通話時間和費用的函數(shù)關(guān)系為y1=1.6t-130(4t>400時)乙公司的通話時間和費用的函數(shù)關(guān)系為y 2=50+0.1t+0.9t由題意， y >y 2，即 1.6t- 13050+0.1t+0.9t解得 t > 300,4t > 1200答：當(dāng)王先生月通話時間不少于1200min時，入乙公司通訊網(wǎng)更合算。點拔：巧設(shè)通話時間為4t，而且在確定乙公司更合算的情況下，確定4t>400，這是很關(guān)鍵的,它避免了分類討論。例5.近海處有一可疑船只 B正向公海方向行駛,我邊防局接到情報后速派出快艇A追趕，圖

13、中丨1,1 2分別表示A艇和B船相對于海岸的距離y(n mil)與追趕時間x(min)之間的一次函數(shù)的關(guān)答：當(dāng)王先生月通話時間不少于1200min時，入乙公司通訊網(wǎng)更合算。答：當(dāng)王先生月通話時間不少于1200min時，入乙公司通訊網(wǎng)更合算。系，根據(jù)圖像,答：當(dāng)王先生月通話時間不少于1200min時，入乙公司通訊網(wǎng)更合算。(1) 分別求岀丨1,丨2的函數(shù)關(guān)系式；(2) 當(dāng)B船逃到離海岸12n mil的公海時，A艇將無法對其進行檢查，問A艇能否在B船逃入公海前將其攔截(A，B速度均保持不變)先假設(shè)A艇能追上B船，通過求岀追分析：由直線通過已知點的坐標(biāo)可分別求函數(shù)解析式, 上時x,y的值，再判斷此時

14、是否已經(jīng)逃離出公海。解:(1) vi 1通過原點設(shè)丨1的解析式為y1=kx.k = l將點(8,4)代入得，4=8k,-71 1的函數(shù)解析式是答：當(dāng)王先生月通話時間不少于1200min時，入乙公司通訊網(wǎng)更合算。答：當(dāng)王先生月通話時間不少于1200min時，入乙公司通訊網(wǎng)更合算。設(shè)l 2的解析式為y2=k2x+b，它的圖像通過(0，4)和(8,6)<8町 +t>= 6答：當(dāng)王先生月通話時間不少于1200min時，入乙公司通訊網(wǎng)更合算。答：當(dāng)王先生月通話時間不少于1200min時，入乙公司通訊網(wǎng)更合算。12的解析式為兀=-x+424答：當(dāng)王先生月通話時間不少于1200min時，入乙公司

15、通訊網(wǎng)更合算。答：當(dāng)王先生月通話時間不少于1200min時，入乙公司通訊網(wǎng)更合算。(2)若l 2,l 1相交案所獲利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量多于400件時，選擇方案一獲利潤較大。解得y=-x+44 y=8W12,.A艇能在B船逃離公海前將其攔截。再由方程組的解來點拔：將實際問題中能否將其攔截的問題轉(zhuǎn)化為求二元一次方程組的解, 說明實際問題是本題的重點，請同學(xué)們注意領(lǐng)會案所獲利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量多于400件時，選擇方案一獲利潤較大。案所獲利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量多于400件時，選擇方案一獲利潤較大。例6.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的岀廠價為0.55萬元，同時在生產(chǎn)過程中，平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有 需要對廢渣

16、進行脫硫處理，現(xiàn)有兩種方案可供選擇： 方案一：由于工廠對廢渣直接進行處理，每處理 月設(shè)備維護及損耗費為 20萬元。1萬元，其原材料成本價 （含設(shè)備損耗等）為1噸的廢渣產(chǎn)生。為達到國家環(huán)保要求，1噸廢渣所用的原料費為0.05萬元，并且每案所獲利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量多于400件時，選擇方案一獲利潤較大。案所獲利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量多于400件時，選擇方案一獲利潤較大。方案二：工廠將廢渣集中到廢渣處理廠統(tǒng)一處理，每處理1噸廢渣須付0.1萬元的處理費問：（1）設(shè)工廠每月生產(chǎn) x件產(chǎn)品，每月利潤為 y萬元，分別求岀方案一和方案二處理廢渣 時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（利潤=總收入-總支岀）（2）若你作為工廠負責(zé)

17、人，如何根據(jù)月生產(chǎn)量選擇處理方案，既能達到環(huán)保要求又最合算。分析：方案一的利潤等于總收入-總成本總原料費-維護費；方案二的利潤等總收入 -總成本- 處理費。解： 由題意得方案一的利潤為 y=x-0.55x-0.05x-20 ，即y=0.4x-20 方案二的利潤為 y=x-0.55x-0.1x=0.35xy = 0.4x - 20解方程組b: 'l解得x 二 400y = 140案所獲利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量多于400件時，選擇方案一獲利潤較大。案所獲利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量多于400件時，選擇方案一獲利潤較大。所以畫圖像兩直線交于（400，140）由圖像知，當(dāng) 0<x<400 時，

18、 0.4x-20<0.35x案所獲利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量多于400件時，選擇方案一獲利潤較大。案所獲利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量多于400件時，選擇方案一獲利潤較大。當(dāng) x=400 時，0.4x-20=0.35x當(dāng) x>400 時，0.4x-20>0.35x因此，當(dāng)月生產(chǎn)量少于400件時，選擇方案二獲利潤較大；當(dāng)月生產(chǎn)量等于400件時，兩種方點拔：結(jié)合題意，建立函數(shù)模型，通過解方程組，確定兩直線的交點，再通過觀察圖像選擇 方案，這樣解題的好處是十分形象，直觀。例7.遼南素有“蘋果之鄉(xiāng)”美稱，某鄉(xiāng)組織20輛汽車裝運A、B、C三種蘋果42噸到外地銷售,按規(guī)定每輛車只裝同一種蘋果，且必須裝滿，每種蘋果不少于2車。(1)設(shè)有x輛車裝A種蘋果，用y輛車裝B種蘋果，根據(jù)下表提供的信息求y與x